山東棗莊市薛城區2025屆高一下數學期末學業質量監測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設公差為－2的等差數列，如果，那么等于()A．－182 B．－78 C．－148 D．－822．如圖所示，在正方體中，側面對角線，上分別有一點E，F，且，則直線EF與平面ABCD所成的角的大小為（）A．0° B．60° C．45° D．30°3．向量，，若，則實數的值為A． B． C． D．4．我國古代數學名著九章算術記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．645．在正方體中，異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．6．已知，，，，那么（）A． B． C． D．7．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的個數為①若，，則②若，則③若，則④若，則A．1 B．2 C．3 D．48．已知數列的前項和為，且，若，，則的值為（）A．15 B．16 C．17 D．189．菱形ABCD，E是AB邊靠近A的一個三等分點，DE=4，則菱形ABCD面積最大值為（）A．36 B．18 C．12 D．910．函數（其中為自然對數的底數）的圖象大致為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數的反函數為____________．12．利用數學歸納法證明不等式“”的過程中，由“”變到“”時，左邊增加了_____項．13．記，則函數的最小值為__________．14．把二進制數1111（2）化為十進制數是______．15．用數學歸納法證明“”，在驗證成立時，等號左邊的式子是______.16．已知為直線，為平面，下列四個命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的序號是______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在平面直角坐標系中，銳角、的終邊分別與單位圓交于、兩點.（1）如果，點的橫坐標為，求的值；（2）已知點，函數，若，求.18．某工廠要制造A種電子裝置45臺，B種電子裝置55臺，需用薄鋼板給每臺裝置配一個外殼，已知薄鋼板的面積有兩種規格：甲種薄鋼板每張面積2m2，可做A、B的外殼分別為3個和5個，乙種薄鋼板每張面積3m2，可做A、B的外殼分別為6個和6個，求兩種薄鋼板各用多少張，才能使總的面積最小．19．設函數f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．（1）求f（x）的周期和最大值；（2）已知△ABC中，角A．B．C的對邊分別為A，B，C，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．20．已知正項數列的前項和為，對任意，點都在函數的圖象上.（1）求數列的通項公式；（2）若數列，求數列的前項和；（3）已知數列滿足，若對任意，存在使得成立，求實數的取值范圍.21．如圖，在平面直角坐標系中，點為單位圓與軸正半軸的交點，點為單位圓上的一點，且，點沿單位圓按逆時針方向旋轉角后到點（1）當時，求的值；（2）設，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據利用等差數列通項公式及性質求得答案．【詳解】∵{an}是公差為﹣2的等差數列，∴a3+a6+a9+…+a99＝（a1+2d）+（a4+2d）+（a7+2d）+…+（a97+2d）＝a1+a4+a7++a97+33×2d＝50﹣132＝﹣1．故選D．【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式及性質的應用，考查了運算能力，屬基礎題．2、A【解析】

證明一條直線與一個平面平行，除了可以根據直線與平面平行的判定定理以外，通常還可以通過平面與平面平行進行轉化，比如過E作EG∥AB交BB1于點G，連接GF，根據三角形相似比可知：平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，故可以證得：EF∥平面ABCD．【詳解】解：過E作EG∥AB交BB1于點G，連接GF，則，∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴．∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，∴EF∥平面ABCD．故答案為A【點睛】本題主要考查空間直線和平面平行的判定，根據面面平行的性質是解決本題的關鍵．3、C【解析】

利用向量平行的坐標表示，即可求出．【詳解】向量，，，即解得．故選．【點睛】本題主要考查向量平行的坐標表示．4、A【解析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據三視圖中的數據可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據三視圖中的數據，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.5、C【解析】

連接、，可證四邊形為平行四邊形，得，得（或補角）就是異面直線與所成角，由正方體的性質即可得到答案．【詳解】連接、，如下圖：在正方體中，且；四邊形為平行四邊形，則；（或補角）就是異面直線與所成角；又在正方體中，，為等邊三角形，，即異面直線與所成角的大小為；故答案選C【點睛】本題考查正方體中異面直線所成角的大小，屬于基礎題．6、C【解析】由于故，故，所以.由于，由于，所以，故.綜上所述選.7、A【解析】

根據面面垂直的定義判斷①③錯誤，由面面平行的性質判斷②錯誤，由線面垂直性質、面面垂直的判定定理判定④正確．【詳解】如圖正方體，平面是平面，平面是平面，但兩直線與不垂直，①錯；平面是平面，平面是平面，但兩直線與不平行，②錯；直線是直線，直線是直線，滿足，但平面與平面不垂直，③錯；由得，∵，過作平面與平面交于直線，則，于是，∴，④正確．∴只有一個命題正確．故選A．【點睛】本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關系．對一個命題不正確，可只舉一例說明即可．對正確的命題一般需要證明．8、B【解析】

推導出數列是等差數列，由解得，由此利用能求出的值.【詳解】數列的前項和為，且數列是等差數列解得解得故選：【點睛】本題考查等差數列的判定和基本量的求解，屬于基礎題.9、B【解析】

設出菱形的邊長，在三角形ADE中，用余弦定理表示出cosA【詳解】設菱形的邊長為3a，在三角形ADE中，AD=3a,AE=a,DE=4，有余弦定理得cosA=10a2-166a故選：B【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函數的基本關系式，考查菱形的面積公式，考查二次函數最值的求法，屬于中檔題.10、C【解析】

由題意，可知，即為奇函數，排除，，又時，，可排除D，即可選出正確答案.【詳解】由題意，函數定義域為，且，即為奇函數，排除，，當時，，，即時，，可排除D，故選C.【點睛】本題考查了函數圖象的識別，考查了函數奇偶性的運用，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由原函數的解析式解出自變量x的解析式，再把x和y交換位置，即可得到結果.【詳解】解：記∴故反函數為：【點睛】本題考查函數與反函數的定義，求反函數的方法和步驟，注意反函數的定義域是原函數的值域．12、.【解析】

分析題意，根據數學歸納法的證明方法得到時，不等式左邊的表示式是解答該題的突破口，當時，左邊，由此將其對時的式子進行對比，得到結果.【詳解】當時，左邊，當時，左邊，觀察可知，增加的項數是，故答案是.【點睛】該題考查的是有關數學歸納法的問題，在解題的過程中，需要明確式子的形式，正確理解對應式子中的量，認真分析，明確哪些項是添的，得到結果.13、4【解析】

利用求解.【詳解】，當時，等號成立.故答案為：4【點睛】本題主要考查絕對值不等式求最值，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.14、.【解析】

由二進制數的定義可將化為十進制數.【詳解】由二進制數的定義可得，故答案為：.【點睛】本題考查二進制數化十進制數，考查二進制數的定義，考查計算能力，屬于基礎題.15、【解析】

根據左邊的式子是從開始，結束，且指數依次增加1求解即可.【詳解】因為左邊的式子是從開始，結束，且指數依次增加1所以，左邊的式子為，故答案為.【點睛】項數的變化規律，是利用數學歸納法解答問題的基礎，也是易錯點，要使問題順利得到解決，關鍵是注意兩點：一是首尾兩項的變化規律；二是相鄰兩項之間的變化規律.16、③④【解析】

①和②均可以找到不符合題意的位置關系，則①和②錯誤；根據線面垂直性質定理和空間中的平行垂直關系可知③和④正確.【詳解】若，此時或，①錯誤；若，此時或異面，②錯誤；由線面垂直的性質定理可知，若，則，③正確；兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條直線必垂直于該平面，可知④正確本題正確結果：③④【點睛】本題考查空間中的平行與垂直關系相關命題的判斷，考查學生對于平行與垂直的判定和性質的掌握情況.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

（1）根據條件求出的正余弦值，利用兩角和的余弦公式計算即可（2）利用向量的數量積坐標公式運算可得，由求出即可求解.【詳解】（1），為銳角，則，點的橫坐標為，即有，，則；（2）由題意可知，，，則，即，由，可得，則，即有．.【點睛】本題主要考查了單位圓，三角函數的定義，同角三角函數之間的關系，向量數量積的坐標運算,屬于中檔題.18、甲、乙兩種薄鋼板各5張，能保證制造A、B的兩種外殼的用量，同時又能使用料總面積最小．【解析】

本題可先將甲種薄鋼板設為x張，乙種薄鋼板設為y張，然后根據題意，得出兩個不等式關系，也就是3x+6y≥45、5x+6y≥55以及薄鋼板的總面積是z=2x+3y，然后通過線性規劃畫出圖像并求出總面積z=2x+3y的最小值，最后得出結果．【詳解】設甲種薄鋼板x張，乙種薄鋼板y張，則可做A種產品外殼3x+6y個，B種產品外殼5x+6y個，由題意可得3x+6y≥455x+6y≥55x≥0,y≥0，薄鋼板的總面積是可行域的陰影部分如圖所示，其中l1：3x+6y=45、l2：因目標函數z=2x+3y在可行域上的最小值在區域邊界的A5此時z的最小值為2×5+3×5=25即甲、乙兩種薄鋼板各5張，能保證制造A、【點睛】（1）利用線性規劃求目標函數最值的步驟①作圖：畫出約束條件所確定的平面區域和目標函數所表示的平面直角坐標系中的任意一條直線l；②平移：將l平行移動，以確定最優解所對應的點的位置．有時需要進行目標函數l和可行域邊界的斜率的大小比較；③求值：解有關方程組求出最優解的坐標，再代入目標函數，求出目標函數的最值．（2）用線性規劃解題時要注意z的幾何意義．19、（1）周期為π，最大值為2.（2）【解析】

（1）利用倍角公式降冪，展開兩角差的余弦，將函數的關系式化簡余弦型函數，可求出函數的周期及最值；（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．【詳解】（1）函數f（x）＝2cos2x﹣cos（2x）＝1+cos2x＝cos（2x）+1，∵﹣1≤cos（2x）≤1，∴T，f（x）的最大值為2；（2）由題意，f（π﹣A）＝f（﹣A）＝cos（﹣2A）+1，即：cos（﹣2A），又∵0＜A＜π，∴2A，∴﹣2A，即A．在△ABC中，b+c＝2，cosA，由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣bc，由于：bc，當b＝c＝1時，等號成立．∴a2≥4﹣1＝3，即a．則a的最小值為．【點睛】本題考查三角函數的恒等變換，余弦形函數的性質的應用，余弦定理和基本不等式的應用，是中檔題．20、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）將點代入函數的解析式得到，令，由可求出的值，令，由得，兩式相減得出數列為等比數列，確定該數列的公比，利用等比數列的通項公式可求出數列的通項公式；（2）求出數列的通項公式，利用錯位相減法求出數列的前項和；（3）利用分組求和法與裂項法求出數列的前項和，由題意得出，判斷出數列各項的符號，得出數列的最大值為，利用函數的單調性得出該