二極坐標系1．極坐標系的概念(1)極坐標系的建立：在平面內取一個定點O，叫做極點，自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系．(2)極坐標系內一點的極坐標的規定：設M是平面內一點，極點O與M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ.有序數對(ρ，θ)就叫做點M的極坐標，記為M(ρ，θ)．2．極坐標和直角坐標的互化(1)互化的前提條件：①極坐標系中的極點與直角坐標系中的原點重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③兩種坐標系取相同的長度單位．(2)互化公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0.))求點的極坐標已知點Q(ρ，θ)，分別按下列條件求出點P的極坐標．(1)點P是點Q關于極點O的對稱點；(2)點P是點Q關于直線θ＝eq\f(π,2)的對稱點．確定一點的極坐標關鍵是確定它的極徑和極角兩個量，為此應明確它們的含義．(1)由于P，Q關于極點對稱，得極徑|OP|＝|OQ|，極角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，點P的極坐標為(ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．(2)由P，Q關于直線θ＝eq\f(π,2)對稱，得它們的極徑|OP|＝|OQ|，點P的極角θ′滿足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，所以點P的坐標為(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．設點M的極坐標是(ρ，θ)，則M點關于極點的對稱點的極坐標是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M點關于極軸的對稱點的極坐標是(ρ，－θ)；M點關于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的點與這一點的極坐標不是一一對應的．1．設點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)))，直線l為過極點且垂直于極軸的直線，分別求：(1)點A關于極軸的對稱點；(2)點A關于直線l的對稱點；(3)點A關于極點的對稱點．(規定ρ>0，－π＜θ≤π)．解：如圖所示：(1)點A關于極軸的對稱點為Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,3))).(2)點A關于直線l的對稱點為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2π,3))).(3)點A關于極點O的對稱點為Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(2π,3))).2．在極坐標系中，點A的極坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))，求點A關于直線θ＝eq\f(π,2)的對稱點的極坐標(規定ρ>0，θ∈)．解：作出圖形，可知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))關于直線θ＝eq\f(π,2)的對稱點是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5π,6))).點的極坐標與直角坐標的互化(1)把點A的極坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7π,6)))化成直角坐標；(2)把點P的直角坐標(1，－eq\r(3))化成極坐標．(ρ>0，0≤θ<2π)．依據極坐標與直角坐標互化的公式解題．(1)x＝2coseq\f(7π,6)＝－eq\r(3)，y＝2sineq\f(7π,6)＝－1，故點A的直角坐標為(－eq\r(3)，－1)．(2)ρ＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，tanθ＝eq\f(－\r(3),1)＝－eq\r(3).又因為點P在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝eq\f(5π,3).因此點P的極坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3))).(1)極坐標和直角坐標互化的前提條件有三，即極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合，有相同的長度單位，三者缺一不可．(2)熟記互化公式，必要時可畫圖來分析．3．點P的直角坐標為(－eq\r(2)，eq\r(2))，那么它的極坐標可表示為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7π,4)))解析：選B點P(－eq\r(2)，eq\r(2))在第二象限，與原點的距離為2，且與極軸的夾角為eq\f(3π,4).4．若以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系．(1)已知點A的極坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(5π,3)))，求它的直角坐標；(2)已知點B和點C的直角坐標為(2，－2)和(0，－15)，求它們的極坐標．(ρ＞0,0≤θ＜2π)解：(1)∵x＝ρcosθ＝4coseq\f(5π,3)＝2.y＝ρsinθ＝4sineq\f(5π,3)＝－2eq\r(3).∴A點的直角坐標為(2，－2eq\r(3))．(2)∵ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(22＋－22)＝2eq\r(2)，tanθ＝eq\f(－2,2)＝－1.且點B位于第四象限內，∴θ＝eq\f(7π,4)，∴點B的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4))).又∵x＝0，y＜0，∴ρ＝15，θ＝eq\f(3π,2).∴點C的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15，\f(3π,2))).課時跟蹤檢測(二)一、選擇題1．在極坐標平面內，點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，200π))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π,3)，201π))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，－200π))，Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)，200π))中互相重合的兩個點是()A．M和NB．M和GC．M和HD．N和H解析：選A由極坐標的定義知，M，N表示同一個點．2．將點M的極坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(π,3)))化成直角坐標是()A．(5,5eq\r(3))B．(5eq\r(3)，5)C．(5,5)D．(－5，－5)解析：選Ax＝ρcosθ＝10coseq\f(π,3)＝5，y＝ρsinθ＝10sineq\f(π,3)＝5eq\r(3).3．在極坐標系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是兩點M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A前者顯然能推出后者，但后者不一定推出前者，因為θ1與θ2可相差2π的整數倍．4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，則點M1(ρ1，θ1)與點M2(ρ2，θ2)的位置關系是()A．關于極軸所在直線對稱B．關于極點對稱C．關于過極點垂直于極軸的直線對稱D．兩點重合解析：選A因為點(ρ，θ)關于極軸所在直線對稱的點為(－ρ，π－θ)．由此可知點(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)滿足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，關于極軸所在直線對稱．二、填空題5．點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))關于極點的對稱點為________．解析：如圖，易知對稱點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,6)π)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,6)π))6．在極坐標系中，已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))兩點，則|AB|＝________.解析：|AB|＝eq\r(12＋22－2×1×2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－\f(π,4))))＝eq\r(5).答案：eq\r(5)7．直線l過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))，則直線l與極軸的夾角等于________．解析：如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個銳角)，然后根據點A，B的位置分析夾角大?。驗閨AO|＝|BO|＝3，∠AOB＝eq\f(π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，所以∠OAB＝eq\f(π－\f(π,6),2)＝eq\f(5π,12)，所以∠ACO＝π－eq\f(π,3)－eq\f(5π,12)＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)三、解答題8．在極軸上求與點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)，\f(π,4)))的距離為5的點M的坐標．解：設M(r,0)，因為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)，\f(π,4)))，所以eq\r(4\r(2)2＋r2－8\r(2)rcos\f(π,4))＝5，即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7.所以M點的坐標為(1,0)或(7,0)．9．將下列各點的直角坐標化為極坐標(ρ＞0,0≤θ＜2π)．(1)(eq\r(3)，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．解：(1)ρ＝eq\r(\r(3)2＋32)＝2eq\r(3).tanθ＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3).又因為點在第一象限，所以θ＝eq\f(π,3).所以點(eq\r(3)，3)的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,3))).(2)ρ＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2)，tanθ＝1.又因為點在第三象限，所以θ＝eq\f(5π,4).所以點(－1，－1)的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(5π,4))).(3)ρ＝eq\r(－32＋02)＝3，畫圖可知極角為π，所以點(－3,0)的極坐標為(3，π)．10．已知定點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3))).(1)將極點移至O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6)))處極軸方向不變，求P點的新坐標；(2)極點不變，將極軸順時針轉動eq\f(π,6)角，求P點的新坐標．解：(1)設點P新坐標為(ρ，θ)，如圖所示，由題意可知|OO′|＝2eq\r(3)，|OP|＝4，∠POx＝eq\f(π,3)，∠O′Ox＝eq\f(π,6)，∴∠POO′＝eq\f(π,6).在△POO′中，ρ2＝42＋(2eq\r(3))2－2·4·2eq\r(3)·coseq\f(π,6)＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵eq\f(sin∠OPO′,2\r(3))＝eq\f(sin∠POO′,2)，∴sin∠OPO′＝eq\f(sin\f(π,6),2)·2eq\r(3)＝eq\f(\