江蘇省鎮江市2025屆高一下數學期末學業水平測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若向量＝，||＝2，若·(－)＝2，則向量與的夾角()A． B． C． D．2．過點的直線的斜率為，則等于（）A． B．10 C．2 D．43．已知直線l和平面，若直線l在空間中任意放置，則在平面內總有直線和A．垂直 B．平行 C．異面 D．相交4．把等差數列1,3,5,7,9,…依次分組,按第一個括號一個數,第二個括號二個數,第三個括號三個數,第四個括號一個數,…循環分為,,,,,,,…,則第11個括號內的各數之和為()A．99 B．37 C．135 D．805．．設、是關于x的方程的兩個不相等的實數根，那么過兩點，的直線與圓的位置關系是（）A．相離. B．相切. C．相交. D．隨m的變化而變化.6．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則角=（）A． B． C． D．7．等差數列中，，且，且，是其前項和，則下列判斷正確的是（）A．、、均小于，、、、均大于B．、、、均小于，、、均大于C．、、、均小于，、、均大于D．、、、均小于，、、均大于8．如圖，在正四棱錐中，，側面積為，則它的體積為（）A．4 B．8 C． D．9．若且則的值是().A． B． C． D．10．點到直線的距離是（）A． B． C．3 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若三角形ABC的三個角A，B，C成等差數列，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，三角形ABC的面積，則b的最小值是________．12．已知向量滿足，則與的夾角的余弦值為__________．13．已知數列是正項數列，是數列的前項和，且滿足.若，是數列的前項和，則_______.14．102,238的最大公約數是________．15．某學校成立了數學，英語，音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39，32，33個成員，一些成員參加了不止一個小組，具體情況如圖.現隨機選取一個成員，他恰好只屬于2個小組的概率是____.16．若在上是減函數，則的取值范圍為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．正項數列的前n項和Sn滿足：(1)求數列的通項公式；(2)令，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜.18．已知圓：和點，，，.(1)若點是圓上任意一點，求；(2)過圓上任意一點與點的直線，交圓于另一點,連接，，求證：.19．在中，三個內角所對的邊分別為，滿足.（1）求角的大小；（2）若，求，的值.（其中）20．已知兩個不共線的向量a，b滿足，，．（1）若，求角θ的值；（2）若與垂直，求的值；（3）當時，存在兩個不同的θ使得成立，求正數m的取值范圍.21．記公差不為零的等差數列{an}的前n項和為Sn，已知=2，是與的等比中項．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數列{}的前n項和Tn．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據向量的數量積運算，向量的夾角公式可以求得.【詳解】由已知可得：，得，設向量與的夾角為，則所以向量與的夾角為故選A.【點睛】本題考查向量的數量積運算和夾角公式，屬于基礎題.2、B【解析】

直接應用斜率公式，解方程即可求出的值.【詳解】因為過點的直線的斜率為，所以有，故本題選B.【點睛】本題考查了直線斜率公式，考查了數學運算能力.3、A【解析】

本題可以從直線與平面的位置關系入手：直線與平面的位置關系可以分為三種：直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行，在這三種情況下再討論平面中的直線與已知直線的關系，通過比較可知：每種情況都有可能垂直．【詳解】當直線l與平面相交時，平面內的任意一條直線與直線l的關系只有兩種：異面、相交，此時就不可能平行了，故B錯．當直線l與平面平行時，平面內的任意一條直線與直線l的關系只有兩種：異面、平行，此時就不可能相交了，故D錯．當直線a在平面內時，平面內的任意一條直線與直線l的關系只有兩種：平行、相交，此時就不可能異面了，故C錯．不管直線l與平面的位置關系相交、平行，還是在平面內，都可以在平面內找到一條直線與直線垂直，因為直線在異面與相交時都包括垂直的情況，故A正確．故選:A．【點睛】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系，空間中直線與平面之間的位置關系，考查空間想象能力和思維能力．4、D【解析】

由已知分析，尋找數據的規律，找出第11個括號的所有數據即可.【詳解】因為每三個括號，總共有數據1+2+3=6個，相當于一個“周期”，故第11個括號，在第4個周期的第二個括號；則第11個括號中有兩個數，其數值為首項為1，公差為2的等差數列數列中的第20項(6，第21項的和，即.故選：D.【點睛】本題考查數列新定義問題，涉及歸納總結，屬中檔題.5、D【解析】直線AB的方程為.即，所以直線AB的方程為,因為,所以,所以,所以直線AB與圓可能相交，也可能相切，也可能相離.6、A【解析】

由正弦定理可解得，利用大邊對大角可得范圍，從而解得A的值．【詳解】，由正弦定理可得：，，由大邊對大角可得：，解得：．故選A．【點睛】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，正弦函數的圖象和性質等知識的應用，解題時要注意分析角的范圍．7、C【解析】

由，且可得，，，，結合等差數列的求和公式即等差數列的性質即可判斷.【詳解】，且，，數列的前項都是負數，，，，由等差數列的求和公式可得，，由公差可知，、、、均小于，、、均大于.故選：C.【點睛】本題考查等差數列前項和符號的判斷，解題時要充分結合等差數列下標和的性質以及等差數列求和公式進行計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8、A【解析】

連交于，連，根據正四棱錐的定義可得平面，取中點，連，則由側面積和底面邊長，求出側面等腰三角形的高，在中，求出，即可求解.【詳解】連交于，連，取中點，連因為正四棱錐，則平面，，側面積，在中，，.故選:A.【點睛】本題考查正四棱錐結構特征、體積和表面積，屬于基礎題.9、C【解析】由題設，又，則，所以，，應選答案C．點睛：角変換是三角變換中的精髓，也是等價化歸與轉化數學思想的具體運用，求解本題的關鍵是巧妙地將一個角變為已知兩角的差，再運用三角變換公式進行求解．10、D【解析】

根據點到直線的距離求解即可.【詳解】點到直線的距離是.故選：D【點睛】本題主要考查了點到線的距離公式,屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先求出，再根據面積得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.【詳解】由題得,所以.由余弦定理得，當且僅當時取等.所以b的最小值是.故答案為：【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12、【解析】

由得，結合條件，即可求出，的值，代入求夾角公式，即可求解．【詳解】由得與的夾角的余弦值為.【點睛】本題考查數量積的定義，公式的應用，求夾角公式的應用，計算量較大，屬基礎題．13、【解析】

利用將變為，整理發現數列{}為等差數列，求出，進一步可以求出，再將，代入，發現可以裂項求的前99項和。【詳解】當時，符合，當時，符合，【點睛】一般公式的使用是將變為，而本題是將變為，給后面的整理帶來方便。先求，再求，再求，一切都順其自然。14、34【解析】試題分析：根據輾轉相除法的含義，可得238=2×102+34，102=3×34，所以得兩個數102、238的最大公約數是34.故答案為34.考點：輾轉相除法.15、【解析】

由題中數據，確定課外小組的總人數，以及恰好屬于2個小組的人數，人數比即為所求概率.【詳解】由題意可得，課外小組的總人數為，恰好屬于2個小組的人數為，所以隨機選取一個成員，他恰好只屬于2個小組的概率是.故答案為【點睛】本題主要考查古典概型，熟記列舉法求古典概型的概率即可，屬于常考題型.16、【解析】

化簡函數解析式，，時，是余弦函數單調減區間的子集，即可求解.【詳解】,時，,且在上是減函數，，，因為解得.【點睛】本題主要考查了函數的三角恒等變化，余弦函數的單調性，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

（1）因為數列的前項和滿足：，所以當時，，即解得或，因為數列都是正項，所以，因為，所以，解得或，因為數列都是正項，所以，當時，有，所以，解得，當時，，符合所以數列的通項公式，;（2）因為，所以，所以數列的前項和為：，當時，有，所以，所以對于任意，數列的前項和.18、(1)2(2)見證明【解析】

（1）設點的坐標為，得出，利用兩點間的距離公式以及將關系式代入可求出的值；（2）對直線的斜率是否存在分類討論。①直線的斜率不存在時，由點、的對稱性證明結論；②直線的斜率不存在時，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與圓的方程聯立，列出韋達定理，通過計算直線和的斜率之和為零來證明結論成立。【詳解】（1）證明：設，因為點是圓上任意一點，所以，所以，（2）①當直線的傾斜角為時，因為點、關于軸對稱，所以.②當直線的傾斜角不等于時，設直線的斜率為，則直線的方程為.設、，則，.，，.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系問題，考查兩點間的距離公式、韋達定理在直線與圓的綜合問題的處理，本題的關鍵在于將角的關系轉化為斜率之間的關系來處理，另外，利用韋達定理求解直線與圓的綜合問題時，其基本步驟如下：（1）設直線的方程以及直線與圓的兩交點坐標、；（2）將直線方程與圓的方程聯立，列出韋達定理；（3）將問題對象利用代數式或等式表示，并進行化簡；（4）將韋達定理代入（3）中的代數式或等式進行化簡計算。19、（1）；（2）4，6【解析】

（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡，求出的值，即可確定出的度數；（2）根據平面向量數量積的運算法則計算得到一個等式，記作①，把的度數代入求出的值,記作②,然后利用余弦定理表示出，把及的值代入求出的值，利用完全平方公式表示出，把相應的值代入，開方求出的值,由②③可知與為一個一元二次方程的兩個解,求出方程的解,根據大于，可得出，的值.【詳解】（1）已知等式，利用正弦定理化簡得，整理得，即，，則.（2）由，得，①又由（1），②由余弦定理得，將及①代入得，，，③由②③可知與為一個一元二次方程的兩個根，解此方程，并由大于，可得.【點睛】以三角形和平面向量為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數及解三角形進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.20、（1）（2）（3）【解析】

（1）由題得，再寫出方程的解即得解；（2）先求出，再利用向量的模的公式求出；（3）等價于在有兩解，結合三角函數分析得解.【詳解】（1）由題得所以角的集合為.（2）由條件知，，又與垂直，所以，所以.所以，故.（3）由，得，即，即，，所以.由得，又要有兩解，結合三角函數圖象可得，，即，又因為，所以.即m的范圍.【點睛】本題主要考查向量平行垂直的坐標表示，考查向量的模的計算，考查三角函數圖像和性質的綜合應用，意在