2025屆福建省永春三中數學高一下期末統考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．把函數的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），然后把圖象向左平移個單位，則所得圖形對應的函數解析式為（）A． B．C． D．2．已知圓O1：x2+y2=1與圓O2：（x﹣3）2+（x+4）2=16，則圓O1與圓O2的位置關系為（）A．外切 B．內切 C．相交 D．相離3．已知，其中，則（）A． B． C． D．4．已知向量，滿足且，若向量在向量方向上的投影為，則（）A． B． C． D．5．將函數的圖像先向右平移個單位，再將所得的圖像上每個點的橫坐標變為原來的倍，得到的圖像，則的可能取值為（）A． B． C． D．6．書架上有2本數學書和2本語文書，從這4本書中任取2本，那么互斥但不對立的兩個事件是（）A．“至少有1本數學書”和“都是語文書”B．“至少有1本數學書”和“至多有1本語文書”C．“恰有1本數學書”和“恰有2本數學書”D．“至多有1本數學書”和“都是語文書”7．已知向量，滿足：則A． B． C． D．8．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的體積是（）A． B． C． D．9．已知、為銳角，，，則（）A． B． C． D．10．已知圓經過點，且圓心為，則圓的方程為A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若則的最小值是__________．12．在△中，三個內角、、的對邊分別為、、，若，，，則________13．一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與某一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為.14．已知數列中，，當時，，數列的前項和為_____．15．等差數列中，公差.則與的等差中項是_____（用數字作答）16．函數是定義域為R的奇函數，當時，則的表達式為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．一只紅鈴蟲的產卵數和溫度有關，現收集了4組觀測數據列于下表中，根據數據作出散點圖如下：溫度20253035產卵數/個520100325（1）根據散點圖判斷與哪一個更適宜作為產卵數關于溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立關于的回歸方程（數字保留2位小數）；（3）要使得產卵數不超過50，則溫度控制在多少以下？（最后結果保留到整數）參考數據：，，，，，，，，，，5201003251.6134.615.7818．如圖，是正方形，是正方形的中心，底面是的中點.（1）求證：平面；（2）若,求三棱錐的體積.19．已知數列為單調遞增數列，，其前項和為，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）若數列，其前項和為，若成立，求的最小值.20．如圖，四面體中，分別是的中點，，.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．21．已知等差數列中，與的等差中項為，.（1）求的通項公式；（2）令，求證：數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

函數的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），的系數變為原來的2倍，即為2，然后根據平移求出函數的解析式．【詳解】函數的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），得到，把圖象向左平移個單位，得到故選：．【點睛】本題考查函數的圖象變換．準確理解變換規則是關鍵，屬于中檔題．2、A【解析】

先求出兩個圓的圓心和半徑，再根據它們的圓心距等于半徑之和，可得兩圓相外切.【詳解】圓的圓心為，半徑等于1，圓的圓心為，半徑等于4，它們的圓心距等于，等于半徑之和，兩個圓相外切.故選A.【點睛】判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法．3、D【解析】

先根據同角三角函數關系求得,再根據二倍角正切公式得結果.【詳解】因為，且，所以，因為，所以，因此，從而，，選D.【點睛】本題考查同角三角函數關系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.4、A【解析】由，即，所以，由向量在向量方向上的投影為，則，即，所以，故選A．5、D【解析】由題意結合輔助角公式有：，將函數的圖像先向右平移個單位，所得函數的解析式為：，再將所得的圖像上每個點的橫坐標變為原來的倍，所得函數的解析式為：，而，據此可得：，據此可得：.本題選擇D選項.6、C【解析】

兩個事件互斥但不對立指的是這兩個事件不能同時發生，也可以都不發生，逐一判斷即可【詳解】對于A：“至少有1本數學書”和“都是語文書”是對立事件，故不滿足題意對于B：“至少有1本數學書”和“至多有1本語文書”可以同時發生，故不滿足題意對于C：“恰有1本數學書”和“恰有2本數學書”互斥但不對立，滿足題意對于D：“至多有1本數學書”和“都是語文書”可以同時發生，故不滿足題意故選：C【點睛】本題考查互斥而不對立的兩個事件的判斷，考查互斥事件、對立事件的定義等基礎知識，是基礎題．7、D【解析】

利用向量的數量積運算及向量的模運算即可求出．【詳解】∵||=3，||=2，|+|=4，∴|+|2=||2+||2+2=16，∴2=3，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，∴|﹣|=，故選D．【點睛】本題考查了向量的數量積運算和向量模的計算，屬于基礎題．8、B【解析】

三棱錐是正三棱錐，取為外接圓的圓心，連結，則平面，設為三棱錐外接球的球心，外接球的半徑為，可求出，然后由可求出半徑，進而求出外接球的體積.【詳解】由題意，易知三棱錐是正三棱錐，取為外接圓的圓心，連結，則平面，設為三棱錐外接球的球心.因為，所以.因為，所以.設三棱錐外接球的半徑為，則，解得，故三棱錐外接球的體積是.故選B.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球體積的求法，考查了學生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.9、B【解析】

利用同角三角函數的基本關系求出的值，然后利用兩角差的正切公式可求得的值.【詳解】因為，且為銳角，則，所以，因為，所以故選：B.【點睛】本題考查利用兩角差的正切公式求值，解答的關鍵就是弄清角與角之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.10、D【解析】

先計算圓半徑，然后得到圓方程.【詳解】因為圓經過，且圓心為所以圓的半徑為，則圓的方程為.故答案選D【點睛】本題考查了圓方程，先計算半徑是解題的關鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據對數相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求結果.【詳解】則，即由題意知，則，則當且僅當，即時取等號本題正確結果：【點睛】本題考查基本不等式求解和的最小值問題，關鍵是能夠利用對數相等得到的關系，從而構造出符合基本不等式的形式.12、【解析】

利用正弦定理求解角,再利用面積公式求解即可.【詳解】由,因為,故,.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了解三角形的運用,根據題中所給的邊角關系選擇正弦定理與面積公式等.屬于基礎題型.13、【解析】

設球的半徑為r,則,，，所以，故答案為.考點：圓柱，圓錐，球的體積公式.點評：圓柱，圓錐，球的體積公式分別為.14、．【解析】

首先利用數列的關系式的變換求出數列為等差數列，進一步求出數列的通項公式，最后求出數列的和．【詳解】解：數列中，，當時，，整理得，即，∴數列是以為首項，6為公差的等差數列，故，所以，故答案為：．【點睛】本題主要考查定義法判斷等差數列，考查等差數列的前項和，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．15、5【解析】

根據等差中項的性質，以及的值，求出的值即是所求.【詳解】根據等差中項的性質可知，的等差中項是，故.【點睛】本小題主要考查等差中項的性質，考查等差數列基本量的計算，屬于基礎題.16、【解析】試題分析：當時，，，因是奇函數，所以，是定義域為R的奇函數，所以，所以考點：函數解析式、函數的奇偶性三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）選擇更適宜作為產卵數關于溫度的回歸方程類型；（II）；（III）要使得產卵數不超過50，則溫度控制在以下.【解析】

（I）由于散點圖類似指數函數的圖像，由此選擇.（II）對；兩邊取以為底底而得對數，將非線性回歸的問題轉化為線性回歸的問題，利用回歸直線方程的計算公式計算出回歸直線方程，進而化簡為回歸曲線方程.（III）令，解指數不等式求得溫度的控制范圍.【詳解】（I）依散點圖可知，選擇更適宜作為產卵數關于溫度的回歸方程類型。（II）因為，令，所以與可看成線性回歸，，所以，所以，即，（III）由即，解得，要使得產卵數不超過50，則溫度控制在以下。【點睛】本小題主要考查散點圖的判斷，考查非線性回歸的求解方法，考查線性歸回直線方程的計算公式，考查了利用回歸方程進行預測.屬于中檔題.解題的關鍵點有兩個，首先是根據散點圖選擇出恰當的回歸方程，其次是要將非線性回歸的問題，轉化為線性回歸來求解.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由平面得出，由底面為正方形得出，再利用直線與平面垂直的判定定理可證明平面；（2）由勾股定理計算出，由點為線段的中點得知點到平面的距離等于，并計算出的面積，最后利用錐體的體積公式可計算出三棱錐的體積．【詳解】（1）平面，平面，，又為正方形，，又平面，平面，，平面；（2）由題意知：，又，，，點到面的距離為，.【點睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查三棱錐體積的計算，在計算三棱錐的體積時，充分利用題中的線面垂直關系和平面與平面垂直的關系，尋找合適的底面和高來進行計算，考查計算能力與推理能力，屬于中等題．19、（1）；（2）10.【解析】

（1）先根據和項與通項關系得項之間遞推關系，再根據等差數列定義及其通項公式得數列的通項公式；（2）先根據裂項相消法求，再解不等式得，即得的最小值.【詳解】（1）由知：，兩式相減得:，即，又數列為單調遞增數列，，∴，∴，又當時，，即，解得或(舍），符合，∴是以1為首項，以2為公差的等差數列，∴.（2），∴，又∵，即，解得，又，所以的最小值為10.點睛：裂項相消法是指將數列的通項分成兩個式子的代數差的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如(其中是各項均不為零的等差數列，c為常數)的數列.裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和(如本例)，還有一類隔一項的裂項求和，如或.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）連接，由等腰三角形三線合一，可得，，再勾股定理可得，進而根據線面垂直的判定定理得到平面；（2）根據等積法可得，結合（1）中結論，可得即為棱錐的高，代入棱錐的體積公式，可得答案．【詳解】證明：（1）連接．，，．，為中點，，，為中點，，,在中，，，，，，即．又，，平面平面.（2）等邊的面積為,為中點而，.【點睛】本題考查