《植樹問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容：

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)106頁(yè)例1及相關(guān)內(nèi)容。

二、教學(xué)目標(biāo)：

1.通過猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生初步體會(huì)兩端都栽

的植樹問題的規(guī)律，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際生活中的有關(guān)問題。

2.培養(yǎng)學(xué)生通過“化繁為簡(jiǎn)”從簡(jiǎn)單問題中探索規(guī)律，找出解

決問題的有效方法的能力，初步培養(yǎng)學(xué)生的模型思想和化歸思想。

3.在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，鍛煉數(shù)學(xué)思維

能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決問題上的應(yīng)用，感受日常生活中處處

有數(shù)學(xué)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探索的興趣。

三、教學(xué)重、難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)并理解兩端都栽的植樹問題中棵樹與間隔數(shù)之間

的關(guān)系。

教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用“植樹問題”的模型靈活解決生活中的實(shí)際問題。

四、學(xué)情分析：

從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，五年級(jí)學(xué)生仍以形象思維為主，但抽象思

維能力也有了初步的發(fā)展，具備了一定的分析綜合、抽象概括、歸類

梳理的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這部分內(nèi)容放在這個(gè)學(xué)段，說明這個(gè)內(nèi)容本身

具有很高的數(shù)學(xué)思維和很強(qiáng)的探究空間，既需要教師的有效引領(lǐng)，也

需要學(xué)生的自主探究。本節(jié)課根據(jù)實(shí)際問題情境，從簡(jiǎn)單的情況入手,

在解決問題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)

學(xué)模型的過程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決實(shí)際問

題的能力。整個(gè)過程承載的主要學(xué)科德育滲透點(diǎn)是理性精神。加強(qiáng)數(shù)

學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界

的習(xí)慣，有利于學(xué)生發(fā)展用數(shù)學(xué)的思維分析實(shí)際問題的能力，有利于

學(xué)生形成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)實(shí)際問題的能力。

五、教學(xué)過程：

(-*)借助現(xiàn)實(shí)情境，初步感知“間隔”

師：同學(xué)們，我們都有一雙靈巧的小手，它不但會(huì)寫字、畫畫、

做事，而且我們的手上還隱藏著數(shù)學(xué)奧秘，你們想知道嗎？好，現(xiàn)在

請(qǐng)同學(xué)們伸出你的右手，一只手有幾根手指？

生：五根。

師：手指分開，手指與手指之間有什么？

生：縫隙(空格……)

師：對(duì)，在數(shù)學(xué)中，我們把這樣的縫隙叫做間隔。間隔的數(shù)量叫

做間隔數(shù)。也就是說，五根手指之間有4個(gè)間隔，間隔數(shù)是4.

師：生活中也有很多間隔的現(xiàn)象，你能舉個(gè)例子嗎？

生舉例。

師：今天，老師也帶來(lái)了一些生活中的間隔，我們一起來(lái)看一看。

師出示圖片

師：兩棵小樹之間產(chǎn)生幾個(gè)間隔？三棵呢？五棵呢？十棵呢？一

百棵呢？一千棵呢?如果是這樣的一排小樹，一共產(chǎn)生2000個(gè)間隔,

那么，有多少棵小樹？

生答。

師：間隔在我們的生活中真是無(wú)處不在。你研究過和間隔有關(guān)的

問題嗎？

生：沒有。

師：這節(jié)課我們就一起來(lái)研究和間隔有關(guān)的數(shù)學(xué)問題一植樹問

題。

【設(shè)計(jì)意圖：借助學(xué)生熟悉的“手”引入間隔，讓學(xué)生充分感知

“什么是間隔”，初步感知“間隔數(shù)和手指數(shù)之間的關(guān)系”“生活中

哪里有間隔”，初步體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活的理性精神，從而抽象出簡(jiǎn)

單的植樹問題模型。這樣的導(dǎo)入親切自然，借助現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生體

驗(yàn)各種不同類型的間隔，感受到生活中處處洋溢著數(shù)學(xué)的氣息。】

（二）創(chuàng)設(shè)生活情境，充分感知兩端都栽的植樹問題

說到植樹啊，我們?nèi)〉耐瑢W(xué)也要進(jìn)行植樹活動(dòng)，我們一起來(lái)看

一看。

出示例題：同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100米的小路一邊植樹，每隔5米栽

一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？

用數(shù)學(xué)的眼光仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)信息？誰(shuí)來(lái)說一說？

生答。

師：在100米的小路植樹，這100米是小路的全長(zhǎng)。“一邊”是

什么意思？

指名用教具指一指。

師：每隔5米栽一棵，這五米是什么？

生：兩棵樹之間的距離。

師：說的很好，兩棵樹之間的距離，我們把它叫做間距。

師：“兩端要栽”又是什么意思？

指名用教具指一指。

師：對(duì)，也就是頭尾都栽。

師：這節(jié)課我們就一起來(lái)研究植樹問題中兩端都栽的情況。

師：一共要栽多少棵樹呢？沒有大膽的猜想就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)，

哪位同學(xué)能夠借助已有的經(jīng)驗(yàn)大膽的猜測(cè)一下一共要栽多少棵樹呢，

還有嗎？誰(shuí)還想說？這是我們的猜想。到底誰(shuí)的猜測(cè)正確呢，你能不

能想一個(gè)既直觀又形象的辦法來(lái)驗(yàn)證一下？

生：畫圖

師：好辦法，可以用畫圖的方法進(jìn)行驗(yàn)證。可是100米太長(zhǎng)了，

怎么辦？

生：可以用簡(jiǎn)單的數(shù)試一試。

師：不錯(cuò)，老子有一句話，天下難事，必作于易，也就是說，我

們?cè)谟龅綇?fù)雜的問題不便于研究時(shí)，可以先從簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)入手，在數(shù)

學(xué)上，這種方法叫做化繁為簡(jiǎn)，它是解決復(fù)雜問題的好方法。那么，

把小路看成20米可以嗎？

生：可以。

師：好，那我們就在20米的小路上植樹，我們一起來(lái)看看活動(dòng)

要求，誰(shuí)來(lái)給大家讀一讀?

生讀。

師：知道要求了嗎？

生：知道了。

師：好，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們拿出學(xué)習(xí)單一，量一量，畫一畫，看看一

共要栽多少棵樹。

師：哪位同學(xué)愿意上臺(tái)展示下你的作品？

（生上臺(tái)展示并說一說）

師：你們也是4個(gè)間隔5棵樹嗎？

生：是。

師：老師這也有一條20米的小路，誰(shuí)愿意上來(lái)栽一栽樹。

（生上臺(tái)栽樹，邊演示邊說）

師：誰(shuí)還有不同的想法？

生：.....

師：好，我們一起回顧在20米的小路上栽樹，老師先在這一端

栽第一棵樹，然后每5米栽一棵，每5米栽一棵，一共栽了5棵樹。

實(shí)際上，我們可以用一條線段代替小路，用一條條豎線代替小樹，剛

才的示意圖就變成了這樣的線段圖，我們也能看出一共有4個(gè)間隔5

棵樹。

師：現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們觀察棵數(shù)與間隔數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？把你的

發(fā)現(xiàn)在小組內(nèi)說一說。

生：棵數(shù)比間隔數(shù)多1（間隔數(shù)比棵數(shù)少1）。

師：哪位同學(xué)還想再來(lái)說一說？（生再回答一遍）

師：多了哪個(gè)1?你能上來(lái)指著說一說嗎？

（生上臺(tái)）

師：你是怎么想的？

（引導(dǎo)學(xué)生用一一對(duì)應(yīng)的方法數(shù)一數(shù)）

師：同學(xué)們同意他的說法嗎？

生：同意。

師：剛才我們用一一對(duì)應(yīng)的方法找到了棵數(shù)比間隔數(shù)多1的原

因。

【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)旨在滲透“遇到復(fù)雜的先想簡(jiǎn)單的（即化繁

為簡(jiǎn)）”這一重要的數(shù)學(xué)思想方法。借助兒何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)

問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路。本環(huán)節(jié)將大家熟

知的生活場(chǎng)景利用示意圖的形式展現(xiàn)出來(lái)，使學(xué)生的視覺一一空間表

征得以顯性化。學(xué)生通過在直觀的示意圖上栽樹，初步感知棵數(shù)和間

隔數(shù)之間的關(guān)系，感知在“兩端都栽”的情況下，4個(gè)間隔5棵樹，

4個(gè)間隔對(duì)應(yīng)著4棵樹，引導(dǎo)學(xué)生指出多的哪一棵樹；通過示意圖讓

學(xué)生經(jīng)歷“一個(gè)間隔對(duì)應(yīng)一棵樹”的思考過程，充分體會(huì)“一一對(duì)應(yīng)”

的數(shù)學(xué)思想。從圖上體會(huì)一一對(duì)應(yīng)，而一一對(duì)應(yīng)又是這算式成立的基

礎(chǔ)，因此在得到后面這些算式的過程中，反復(fù)引導(dǎo)學(xué)生說出有多少個(gè)

間隔就對(duì)應(yīng)著多少棵樹，充分理解算式的含義，充分體會(huì)一一對(duì)應(yīng)的

數(shù)學(xué)思想。】

（三）自主選擇，在“變與不變中”深入探究、驗(yàn)證

師：同學(xué)們，剛才我們找到了植樹問題中兩端都栽的情況下棵數(shù)

比間隔數(shù)多1和間隔數(shù)比棵數(shù)少1這個(gè)規(guī)律，但是在數(shù)學(xué)上，規(guī)律僅

僅靠一個(gè)例子并不能說明問題。下面，我們?cè)賮?lái)驗(yàn)證一下，看看這個(gè)

規(guī)律是不是正確的。我們一起看學(xué)習(xí)導(dǎo)航。

（出示學(xué)習(xí)導(dǎo)航：1.小組合作：請(qǐng)你設(shè)置適當(dāng)?shù)娜L(zhǎng)和合理的間

距。2.想想畫畫：根據(jù)自己設(shè)置的全長(zhǎng)和間距，用畫線段圖的方法,

找出間隔數(shù)和棵數(shù)。

3.觀察棵數(shù)和間隔數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系嗎？把你們的發(fā)

現(xiàn)在小組內(nèi)說一說。）

師：誰(shuí)來(lái)讀一讀？

師：理解了嗎？

生：理解了。

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們拿出學(xué)習(xí)單二，開始驗(yàn)證吧。

（生驗(yàn)證，師巡視）

師：完成了嗎?誰(shuí)來(lái)展示下你們小組的成果？

（學(xué)生上臺(tái)展示并說一說）

師：同學(xué)們，我們?cè)O(shè)置的全長(zhǎng)和間距都不同，但是得到的結(jié)論卻

都是一樣的，所以，我們可以肯定地說，植樹問題兩端都栽的情況下,

棵數(shù)比間隔數(shù)多1,間隔數(shù)比棵數(shù)少1。

師：你能用一個(gè)式子把規(guī)律表示出來(lái)嗎？

生：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

師：也就是說，要想知道小樹的棵數(shù)，必須先知道間隔數(shù)。反過

來(lái)，間隔數(shù)就等于.....

生：間隔數(shù)=棵數(shù)T

師：現(xiàn)在我們一起來(lái)回顧剛才的研究過程，我們首先進(jìn)行了猜想,

然后化繁為簡(jiǎn)，用畫圖以及擺一擺的方法進(jìn)行驗(yàn)證，最后得到了結(jié)論:

棵數(shù)=間隔數(shù)+1。現(xiàn)在我們用研究出的這個(gè)規(guī)律來(lái)驗(yàn)證一下我們剛才

的猜測(cè)正確嗎？

嘗試?yán)?：（回到情景1中的題目）同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100米的小路

一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？

師：現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們拿出學(xué)習(xí)單三，動(dòng)手做一做。

（師巡視）

師：誰(shuí)愿意上臺(tái)說一說你的方法？

生：100+5=20（個(gè)）20+1=21（棵）

師：你能說一說你是怎么想的嗎？

生答。

師：我們一起來(lái)看一看，20指的是什么？

生：間隔數(shù)。

師：間隔數(shù)怎么來(lái)的？

生：間隔數(shù)=全長(zhǎng)?間距。

師：對(duì)，我們根據(jù)間隔數(shù)=全長(zhǎng)個(gè)間距求出間隔數(shù)，又根據(jù)棵數(shù)=

間隔數(shù)+1求出一共要栽21棵樹。所以剛才的猜想誰(shuí)是對(duì)的？

師：現(xiàn)在，老師想把小路變成1000米，其他信息不變，要栽多少

棵樹呢？

師：看來(lái)無(wú)論這條小路有多長(zhǎng)，只要我們掌握了解決問題的方法

和策略，所有難題都迎刃而解。

【設(shè)計(jì)意圖：一個(gè)充滿教育智慧的教師，不僅要教給學(xué)生知識(shí)，

更要教給學(xué)生方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考。小學(xué)生的思維以具體形象思維

為主，他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解是從動(dòng)手操作開始的。規(guī)律僅僅靠一個(gè)例子

并不能說明問題。為此，讓學(xué)生自主設(shè)置適當(dāng)?shù)娜L(zhǎng)和合理的間距進(jìn)

行驗(yàn)證研究，尊重學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生尊重事實(shí)、研究問題要

透徹的理性精神，也為后期的類比、遷移做了鋪墊；讓學(xué)生體會(huì)復(fù)雜

問題簡(jiǎn)單化的數(shù)學(xué)思想，在回顧栽樹、理解算式意義的過程中，讓學(xué)

生經(jīng)歷“每5米栽一棵樹”、“每5米一個(gè)間隔”“一個(gè)間隔對(duì)應(yīng)一

棵樹”這三次層層遞進(jìn)的認(rèn)識(shí)，也充分體會(huì)“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想;

整個(gè)過程都是算式與圖形結(jié)合，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；最后通過

合作交流，發(fā)現(xiàn)這組算式中的變與不變，自然而然的找到棵數(shù)與間隔

數(shù)之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生言必有據(jù)的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)

的思維習(xí)慣。這樣創(chuàng)造性地使用教材，讓學(xué)生經(jīng)歷了兩次有效的探究

體驗(yàn)，使每個(gè)學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手，為理解植樹問題中棵數(shù)與間隔數(shù)之間

的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為構(gòu)建植樹問題的數(shù)學(xué)模型夯實(shí)了基礎(chǔ)。】

（四）感受生活中不同的“植樹問題”

師：同學(xué)們，咱們?cè)粤艘还?jié)課的樹了，現(xiàn)在我們想一想，植樹問

題僅限于植樹嗎？（出示圖片）這里面有植樹問題嗎？樹在哪里？

生：紐扣就相當(dāng)于樹、人就相當(dāng)于樹，電線桿就相當(dāng)于樹。

出示練習(xí)1：在一條全長(zhǎng)150米的街道一旁安裝路燈（兩端都要安

裝），每隔10米安一個(gè)。一共要安裝（）個(gè)路燈。

師：一共要安裝多少個(gè)路燈呢？看大屏幕，同學(xué)們自己讀一讀,

有想法了請(qǐng)舉手。

生答。

師：同意嗎？

生：同意。

師：其實(shí)，同學(xué)們?cè)诮鉀Q這個(gè)問題的時(shí)候，不知不覺中就把路燈

看成了……

眾生：樹。

師：我們用剛剛發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決了路燈問題。

出示練習(xí)2：在人民公園里一條筆直的林蔭大道一側(cè)，從頭到尾

放了51盆牡丹花，每?jī)蓚€(gè)花盆之間的距離都是2米，這條林蔭大道

全長(zhǎng)（）米。

師：我們接著看第2題，同學(xué)們先自己讀一讀題。

師：誰(shuí)來(lái)說一說你的想法？

師：你們和他的想法一樣嗎？

生：一樣。

出示練習(xí)3：運(yùn)動(dòng)會(huì)上，在筆直的跑道的兩側(cè)插彩旗，每隔10

米插一面（兩端要插）。這條跑道長(zhǎng)100米，一共要插多少面彩旗？

師：同學(xué)們先自己讀一讀題，這道題需要注意什么？

師：該怎么求呢？在學(xué)習(xí)單四上列式計(jì)算。

師：誰(shuí)來(lái)說一說你是怎么想的？

（生說想法）

師：同學(xué)們覺得他說的有道理嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活。植樹問題的模型是

現(xiàn)實(shí)世界中一類相近問題的拓展，它源于現(xiàn)實(shí)，又高于生活。所以，

在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值。為了讓學(xué)生理解這一建模的意義，在

教學(xué)中把植樹問題推廣到與植樹問題相近的一些問題中，以圖片、文

字等形式讓學(xué)生了解生活中與植樹問題相似的現(xiàn)象，讓學(xué)生進(jìn)一步體

會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中的許多不同事件（如衣服上的紐扣、隊(duì)列問題、公交站

問題、擺花盆、插彩旗等），這些問題都含有與植樹問題相同的數(shù)量

關(guān)系，它們都可以利用植