廣東省汕頭市名校2024屆高一數學第二學期期末綜合測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知、是平面上兩個不共線的向量，則下列關系式：①；②；③；④.正確的個數是()A．4 B．3 C．2 D．12．為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上的所有的點（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位3．若,且,,則（）A． B． C． D．4．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A． B． C． D．5．如圖，直角的斜邊長為2，，且點分別在軸，軸正半軸上滑動，點在線段的右上方．設，（），記，，分別考察的所有運算結果，則（）A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值6．已知函數向左平移個單位長度后，其圖象關于軸對稱，則的最小值為()A． B． C． D．7．設集合，，則（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標系中，，分別是軸和軸上的動點，若直線恰好與以為直徑的圓相切，則圓面積的最小值為（）A． B． C． D．9．在正四棱柱，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．10．點直線與線段相交，則實數的取值范圍是()A． B．或C． D．或二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設數列滿足,,,，______.12．數列滿足，則等于______.13．某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數據如下表所示（單位：人）.參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230若從該班隨機選l名同學，則該同學至少參加上述一個社團的概率為__________.14．方程的解集是__________.15．函數的定義域________．16．在中，，，，則的面積是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．2015年我國將加快階梯水價推行，原則是“保基本、建機制、促節約”，其中“保基本”是指保證至少80%的居民用戶用水價格不變．為響應國家政策，制定合理的階梯用水價格，某城市采用簡單隨機抽樣的方法分別從郊區和城區抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進行調研，抽取的數據的莖葉圖如下（單位：噸）：（1）在郊區的這5戶居民中隨機抽取2戶，求其年人均用水量都不超過30噸的概率；（2）設該城市郊區和城區的居民戶數比為，現將年人均用水量不超過30噸的用戶定義為第一階梯用戶，并保證這一梯次的居民用戶用水價格保持不變．試根據樣本估計總體的思想，分析此方案是否符合國家“保基本”政策．18．已知分別是數列的前項和，且.（1）求數列與的通項公式；（2）求數列的前項和.19．請你幫忙設計2010年玉樹地震災區小學的新校舍，如圖，在學校的東北力有一塊地，其中兩面是不能動的圍墻，在邊界內是不能動的一些體育設施．現準備在此建一棟教學樓，使樓的底面為一矩形，且靠圍墻的方向須留有5米寬的空地，問如何設計，才能使教學樓的面積最大？20．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求內角B的大小；（2）設，，的最大值為5，求k的值.21．已知數列滿足若數列滿足：（1）求數列的通項公式；（2）求證：是等差數列.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據數量積的運算性質對選項進行逐一判斷，即可得到答案．【詳解】①.，滿足交換律，正確.②.,滿足分配律，正確.③.,所以不正確.④.,

，可正可負可為0，所以④不正確.故選：C【點睛】本題考查向量數量積的運算性質，屬于中檔題2、D【解析】

把系數2提取出來，即即可得結論．【詳解】，因此要把圖象向右平移個單位．故選D．【點睛】本題考查三角函數的圖象平移變換．要注意平移變換是加減平移單位，即向右平移個單位得圖象的解析式為而不是．3、B【解析】

利用兩角和差的正弦公式將β＝α-(α﹣β)進行轉化求解即可．【詳解】β＝α-(α﹣β)，∵＜α，＜β，β＜，∴α，∵sin（）0，∴＜0，則cos（），∵sinα，∴cosα，則sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）（），故選B【點睛】本題主要考查利用兩角和差的正弦公式,同角三角函數基本關系，將β＝α-(α﹣β)進行轉化是解決本題的關鍵，是基礎題4、C【解析】

根據三視圖還原直觀圖，根據長度關系計算表面積得到答案.【詳解】根據三視圖還原直觀圖，如圖所示：幾何體的表面積為：故答案選C【點睛】本題考查了三視圖，將三視圖轉化為直觀圖是解題的關鍵.5、B【解析】

設，用表示出，根據的取值范圍，利用三角函數恒等變換化簡，進而求得最值的情況.【詳解】依題意，所以.設，則，所以，，所以，當時，取得最大值為.，所以，所以，當時，有最小值為.故選B.【點睛】本小題主要考查平面向量數量積的坐標運算，考查三角函數化簡求值，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.6、A【解析】

根據函數的圖象變換規律，三角函數的圖象關于軸對稱,即為偶函數.，求得的最小值．【詳解】把函數向左平移個單位長度后.可得的圖象.再根據所得圖象關于軸對稱,即為偶函數.所以即，當時，的值最小.所以的最小值為：故選：A【點睛】本題主要考查函數的圖象變換規律，三角函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．7、C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化簡集合，由子集的定義可得結果.詳解：，，，故選C.點睛：本題主要考查解一元二次不等式，集合的子集的定義，屬于容易題，在解題過程中要注意考慮端點是否可以取到，這是一個易錯點，同時將不等式與集合融合，體現了知識點之間的交匯.8、A【解析】

根據題意畫出圖像，數形結合，根據圓面積最小的條件轉化為直徑等于原點到直線的距離，再求解圓面積即可.【詳解】根據題意畫出圖像如圖所示，圓心為線段中點，為直角三角形，所以，作直線且交于點，直線與圓相切，所以，要使圓面積的最小，即使半徑最小，由圖知，當點、、共線時，圓的半徑最小，此時原點到直線的距離為，由點到直線的距離公式：，解得，所以圓面積的最小值.故選：A【點睛】本題主要考查點到直線距離公式和圓切線的應用，考查學生分析轉化能力和數形結合的思想，屬于中檔題.9、A【解析】

作出兩異面直線所成的角，然后由余弦定理求解．【詳解】在正四棱柱中，則異面直線與所成角為或其補角，在中，，，．故選A．【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是根據定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形求之．10、C【解析】

直線經過定點，斜率為，數形結合利用直線的斜率公式，求得實數的取值范圍，得到答案．【詳解】如圖所示，直線經過定點，斜率為，當直線經過點時，則,當直線經過點時，則，所以實數的取值范圍，故選C．【點睛】本題主要考查了直線過定點問題，以及直線的斜率公式的應用，著重考查了數形結合法，以及推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、8073【解析】

對分奇偶討論求解即可【詳解】當為偶數時，當為奇數時，故當為奇數時，故故答案為8073【點睛】本題考查數列遞推關系，考查分析推理能力，對分奇偶討論發現規律是解決本題的關鍵，是難題12、15【解析】

先由，可求出，然后由，代入已知遞推公式即可求解。【詳解】故答案為15.【點睛】本題考查是遞推公式的應用，是一道基礎題。13、【解析】

直接利用公式得到答案.【詳解】至少參加上述一個社團的人數為15故答案為【點睛】本題考查了概率的計算，屬于簡單題.14、【解析】

令，，將原方程化為關于的一元二次方程，解出得到，進而得出方程的解集.【詳解】令，，故原方程可化為，解得或，故而或，即方程的解集是，故答案為.【點睛】本題主要考查了指數方程的解法，轉化為一元二次方程是解題的關鍵，屬于基礎題.15、.【解析】

根據反正弦函數的定義得出，解出可得出所求函數的定義域.【詳解】由反正弦的定義可得，解得，因此，函數的定義域為，故答案為：.【點睛】本題考查反正弦函數的定義域，解題的關鍵就是正弦值域的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.16、【解析】

計算，等腰三角形計算面積，作底邊上的高，計算得到答案.【詳解】，過C作于D，則故答案為【點睛】本題考查了三角形面積計算，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）符合【解析】

：（1）先列舉出從5戶郊區居民用戶中隨機抽取2戶，其年人均用水量構成的所有基本事件，再列舉其中年人均用水量都不超過30噸的基本事件，最后計算即可．（2）設該城市郊區的居民用戶數為，則其城區的居民用戶數為5a．依題意計算該城市年人均用水量不超過30噸的居民用戶的百分率．【詳解】解：（1）從5戶郊區居民用戶中隨機抽取2戶，其年人均用水量構成的所有基本事件是：（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10個．其中年人均用水量都不超過30噸的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3個．設“從5戶郊區居民用戶中隨機抽取2戶，其年人均用水量都不超過30噸”的事件為，則所求的概率為．（2）設該城市郊區的居民用戶數為，則其城區的居民用戶數為5a．依題意，該城市年人均用水量不超過30噸的居民用戶的百分率為：．故此方案符合國家“保基本”政策．【點睛】本題考查了古典概型在實際生活中的應用，要緊扣題意從題目中抽象出數學計算的模型．18、（1），，（2）【解析】

（1）分別求出和時的，，再檢驗即可.（2）利用錯位相減法即可求出數列的前項和【詳解】（1）當時，，當時，.檢驗：當時，，所以.因為，所以.當時，，即，當時，整理得到：.所以數列是以首項為，公差為的等差數列.所以，即.（2）…………①，……②，①②得：……，，.【點睛】本題第一問考查由數列前項和求數列的通項公式，第二問考查數列求和中的錯位相減法，屬于難題.19、在線段上取點，過點分別作墻的平行線，建一個長、寬都為17米的正方形，教學樓的面積最大【解析】

可建立如圖所示的平面直角坐標系，根據截距式寫出AB所在直線方程，然后可設G點的坐標為，再根據題目中的要求可列出教學樓的面積的表達式,,然后利用一元二次函數求最值即可．【詳解】解：如圖建立坐標系，可知所在直線方程為，即.設，由可知．∴.由此可知，當時，有最大值289平方米．故在線段上取點，過點分別作墻的平行線，建一個長、寬都為17米的正方形，教學樓的面積最大．【點睛】本題考查一元二次函數求最值解決實際問題，屬于中檔題20、（1）,（2）【解析】

解：(1)（3分）又在中，，所以，則………（5分）(2),.………………（