浙江省2023-2024學年高一下學期3月四校聯考數學試題

學校:.姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.已知集合A={1,2,3,4},AB={1,2,3,4,6},Ac3={2,4},則3=()

A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{2,4,6}D,{1,4,6)

2.設4=(%,%)力=億,%)，則"是"a//6”的()

玉x2

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件

D.非充分非必要條件

3.已知向量@=(3,4),b=(-2,m),c=(2,-l),若貝()

.’13

A.—6B.—2C.6D.—

2

4.在四邊形ABC。中，。為任意一點，若。4-02+0。-0￡)=0,則()

A.四邊形A2CD是矩形B.四邊形ABC。是菱形

C.四邊形ABC。是正方形D.四邊形是平行四邊形

5.在，ABC中，分別根據下列條件解三角形，其中有兩解的是()

A.<7=4,b=5,c=6B.a=拒,b=2,A=45°

C.a=10,A=45°,3=70D.a=3,b=2,A=60

6.已知六邊形ABCDEF為正六邊形，且AC=o，BD=b>以下不正確的是()

21

A.DE=——a+-bB.BC=—ciH—b

3333

2224

C.AF=——a+—bD.BE=——a+—b

3333

7.鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風景名勝區，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著

一汪小湖，傳說黃帝煉丹鼎墜積水成湖.白居易曾以詩賦之：“黃帝旌旗去不回，片云

孤石獨崔嵬.有時風激鼎湖浪，散作晴天雨點來”.某校開展數學建模活動，有建模課

題組的學生選擇測量鼎湖峰的高度，為此，他們設計了測量方案.如圖，在山腳A測得

山頂尸得仰角為45。，沿傾斜角為15。的斜坡向上走了90米到達8點（A,B,P,。在

同一個平面內），在8處測得山頂尸得仰角為60。，則鼎湖峰的山高尸。為（）米

A.45(5/6-5/2)B.45(A/6+V2)

C.90(V3-l)D.90(V3+l)

ABAC

8.已知點P是ASC所在平面內的動點，且滿足。尸=。4+2----1----W>0）,射

AB\\AC\

線”與邊3c交于點。，若=IAD|=1,則13cl的最小值為（）

A.退B.2C.273D.4石

二、多選題

9.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）

A.G=(—1,2),6=(5,7)B.,=(4,-5),

C.ex—(2,3),4=(°，°)D.ex—(―1,2),e2=(2,1)

10.函數/(x)=2相sinoxcosox+Zco/ox—i(0<ty<l)的圖象如圖所示，貝(！()

A./W的最小正周期為2兀

7T

B.y"（2x+g）是奇函數

c.y=/（x+F）cosx的圖象關于直線天=三對稱

612

1117

D.若（?>o）在［o,可上有且僅有兩個零點，貝

試卷第2頁，共4頁

11.在MC中，AB=AC=5,BC=6,O為ABC內的一點，設AO=/UB+〃AC,

則下列說法正確的是()

2

A.若。為二ABC的重心，貝!1彳+〃=§

25

B.若。為"WC的外心，則2+〃=至

3

C.若。為二ABC的內心，則4+〃=g

8

7

D.若。為二ABC的垂心，則4+〃=7

三、填空題

12.已知向量Q與人的夾角為30。，|Q|=6，?匕|=1,貝lJ|〃+b|=----------?

13.在MC中，內角A,2,C所對的邊分別為a,b,c.已知優8,c=2,sinA=4，

cos2A-cos2B=A/3sinAcosA-^-sin2B,則二.ABC的面積是.

14.已知函數/(x)=msin(gx-弓)-sinx+2在兀上有兩個不同的零點，則滿足條

件的所有m的值組成的集合是.

四、解答題

15.在平面直角坐標系中，已知點A(-l,-2),B(3,l),C(-4,-3).

⑴求向量AB在AC的投影向量的坐標；

(2)求ABC的面積.

16.已知函數〃x)=(log2X)2-log2X-2.

⑴若/(x)<0,求x的取值范圍;

⑵當;4xW8時，求函數〃尤)的值域.

17.如圖，在；ABC中，。是BC中點，E在邊上，且3E=2E4,AO與CE交于點

O.

⑴用AB,AC表示AO;

2

(2)過點。作直線交線段AB于點G,交線段AC于點”，S.AG=-AB,AH=tAC，

求f的值;

AB

(3)^ABAC=6AOEC^求弁的值.

ZlCx

18.已知.ABC內角A,B,C的對邊分別是。，b,c,

acos(B-C)+acosA=2\^csinBcosA.

B

⑴求A的大小；

(2)若3C=2,將射線54和射線C4分別繞點B,C順時針旋轉15。，30°,旋轉后相交

于點。(如圖所示)，且“BC=30。，求AD.

19.古希臘的數學家海倫在其著作《測地術》中給出了由三角形的三邊長a,6,c計算

三角形面積的公式：S=[p(p_aXp_b)(p_c),這個公式常稱為海倫公式.其中，

p=g(a+6+c).我國南宋著名數學家秦九韶在《數書九章》中給出了由三角形的三邊長

a,6,c計算三角形面積的公式：S=J,這個公式常稱為，，三

斜求積”公式.

(1)利用以上信息，證明三角形的面積公式S=JacsinB；

Rsin/A

(2)在ABC中，a+c=8,tan-=---------求ABC面積的最大值.

22—cosA

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.c

【分析】

根據集合的交集和并集概念及運算即可求解.

【詳解】因為A={1，2,3,4},AB={1,2,3,4,6},

所以6e3,3三{1,2,3,4,6}.

又因為A={1,2,3,4},,Ac3={2,4},

所以2e3,4eB,l^B,3史B.

故8={2,4,6}

故選：C.

2.A

【分析】

先得到充分性成立，再舉出反例得到必要性不成立，得到答案.

【詳解】若學=資，則%為=%%,即玉%=。，故a//b，充分性成立,

不妨設。=（0,1）力=（0,2）,此時〃//%,但不滿足學=￡,故必要性不成立，

所以=￡”是“a/加'的充分非必要條件.

故選：A

3.A

【分析】

根據向量垂直的坐標表示可求解.

【詳解】根據題意，a-b=（5,4-m）,

又（a-b）_Lc,所以（4-石"=0,

即5x2+（4—機）x（-1）=。，解得機=-6.

故選：A

4.D

【分析】

根據向量的減法可得=DC，進而分析求解即可.

【詳解】因為OA-O2+OC-OZ）=0，則總+甜=3，BPAB=DC>

答案第1頁，共14頁

可知A3,CD兩邊平行且相等，所以四邊形ABC。是平行四邊形，

但沒有足夠條件判斷48C。是否為矩形、菱形或正方形，故ABC錯誤，D正確.

故選：D.

5.B

【分析】

由余弦定理可判定選項A,利用正弦定理和大邊對大角可判斷選項B,C,D.

【詳解】對于A,已知三角形三邊，且任意兩邊之和大于第三邊，

任意兩邊之差小于第三邊，從而可由余弦定理求內角，只有一解，A錯誤；

對于B,根據正弦定理三=上得，=

smAsinBJ3

又.?.B>A=45,B有兩解，故B符合題意；

對于C,由正弦定理：—3—=上得：6=l°sm70=100sin70,

sinAsinBsin45

c只有一解，故c不符合題意.

又b<a,:.B<A=60。,D只有一解，故D不符合題意.

故選：B

6.C

1212

【分析】根據正六邊形的特征求出=么=再由向量加法

的三角形法則以及向量的減法即可求解.

【詳解】如圖，設ACBD=M

因為六邊形ABCDEF為正六邊形,

所以NABC=ZBC￡>=120°,且,ABC三.DCB.

又，ABC是等腰三角形，所以48AC=NBC4=30°,

答案第2頁，共14頁

從而可有ZACD=/DBA=90°，

則CM=BM=AMsin30°--AM,

2

1212

所以MC=—a,AM=—a,同理有BM=—b,MD=—b.

3333

一21

所以。E=5A=M4-=—+所以選項A不符合題意;

BC=BM+MC=-b+-a所以選項B不符合題意；

33f

1?

AF=CD=CM+MD=-a+-b,所以選項C符合題意；

33

24

BE=2AF=—a+—b,所以選項D不符合題意.

33

故選：C

7.B

【分析】在中，利用正弦定理求AP,進而在RtPA。中求山的高度.

【詳解】在尸中，則ZBPA=45-30=15,

ZABP=180-ZBAP-ZAPB=18Q-(45-15)-15=135,

l,位APAB

因為--------=---------,

sinZABPsinZAPB

且sin15=sin(60-45=sin60cos45-cos60sin45=---------,

9QX2^廠

八ABsinZABP90sin135°?180V2

則AP=-----------------=--------------=...........-=-------——

sinZAPBsin15°"—0G枝,

4

在RtPAQ中，則尸Q=APsin45=警x變=45函+@.

v6—gv22')

故選：B.

8.C

4?Ar

【分析】由已知得A尸=2~?,所以點P在/BAC的平分線上，即AO為/B4。的

〔HMJ

611

角平分線，利用正弦定理得go=三_2，可知BC=-----1-----,結合三

rnsinBsinC

sinBsinC

角函數的性質可求最小值.

答案第3頁，共14頁

ABAC

【詳解】表示與A3共線的單位向量，網表示與AC共線的單位向量,

AB\

ULIHUUUl

ABAC

+為的分向與ZBAC的平分線一致,

Ad

(utmuum\(uunuum)

UUQuuruunABAC

QOP=OA+2南+前:.OP-OA=AP=A碎+同

所以點尸在ZBAC的平分線上，即AD為/BAC的角平分線,

萬B

在△ABD中，ZBAD=-,|AD|=1,利用正弦定理知：口八.萬

3BD=----xsin—=-2

sinB3sinB

73

同理'在，AS中，co=/^xsin「工

sinC3sinC

分析可知當8=C=g時，3C取得最小值，即，CmM=*x2x—^

6sin—

6

故選：C

9.AD

【分析】

根據平面向量基底的意義，利用共線向量的坐標表示判斷作答.

【詳解】由于—1x7—2x5w0,所以q=(-l,2),e?=(5,7)不共線，可以作為基底，A正確;

由于4x；-(-5卜1口=0,所以弓=(4,—5),e?共線，不可以作為基底，B錯誤;

由于零向量與任意非零向量都共線，所以q=(2,3),e；=(0,0)共線，不可以作為基底，C

錯誤；

-lxl-2x2^0,所以6=(—1,2),Q=(2,1)不共線，可以作為基底，D正確.

故選：AD

10.ACD

【分析】

利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數〃幻，結合給定圖象求出。，再逐項判斷即可.

答案第4頁，共14頁

【詳解】依題意，/(x)=^3sin2cox+cos2a)x=2sin(2(2?x+—),

6

由/(￥)=2,得2。?三+土=2E+*,keZ,解得0=3%+^/eZ,而

33622

1TT

解得刃=7，/(%)=2sin(x+/)，/(九)的最小正周期為2兀，A正確；

26

TTJTTT

y=/(2x+7)=2sin(2x+K+：)=2cos2x是偶函數，B錯誤；

336

y=j(x+—)cosx=2sin(x+—)cosx,令g(x)=2sin(xd■一)cosx,

633

rI/兀\./兀、/兀、c「兀/兀\rc.z冗、/\

貝Ug(——%)=2sm(——x)cos(——x)=2cosxcost——(％+一)[=2sm(x+—)cosx=g(x),

626233

y=/(x+g)cos尤的圖象關于直線x==對稱，C正確；

612

/(Zx)=2sin(/x+—),t>0,當了￡[0,兀]時，tv+—G[—,Z7i+—],

6666

依題意，2TI<ZTI+—<3TI,解得，￡[二,丁)，D正確.

666

故選：ACD

11.ABD

【分析】對A,由重心可知04+03+00=0，根據AB=O5—OA，AC=OC-OAf整理可

得4。=:。3+9OC,即可判斷；對B,由等腰三角形的性質可得力=〃，由

外心可知AO2=/!74元+外AC。+2/1/A"AC，結合余弦定理可得我?品，進而判斷;對C,

由內心可知BCOA+AC.OB+AHOC=0,結合4。=：1——05+—^—OC,即可求解

判斷；對D,由垂線可知O3_LAC,貝i|AO-AC=X(OB-OA>AC+；L4C2,整理可得

，2__

(1-2)AO-AC=AAC,而AO=AE+EO，代入求解，即可判斷.

【詳解】對于A選項，重心為中線交點，則OA+OB+OC=0，即A0=O2+OC，

因為AO=XA2+〃AC=；L(O2-OA)+〃(OC-OA),

貝"0=08+,

1-Z-/Z1-A-jLl

所以"i—7—=1>;—一="

2

所以幾+〃=§,故A正確；

對于B選項，外心為垂直平分線交點，即ASC的外接圓圓心，

因為AB=AC=5,設。為邊BC的中點，

答案第5頁，共14頁

所以AD=g(A8+AC),AO//AD,

所以4=〃，

因為A0=XA8+〃AC,所以AO”"A/+zlZAd/lZAB-AC，

人笈+這一叱

25+25-36_7

在ABC中,cosA=

2ABAC2x5x5-25

I------------24

則sinA=Jl-cos2A=一

25

-^-=2R=2\AO\,

sinA??

/y

所以—^―=2512+2522+2A2-5X5X—,易知2>0,所以2=至，

2x*2564

I25；

25

所以2+〃=二，故B正確；

對于C選項，內心為角平分線交點,

絲、生分別為AB、AC方向上的單位向量,

cb

絲+任平分，加C,

cb

九八ABAC.人ibe

AO=A(——+——),令4=----------

cba+b+c

AO=—(理+生)

a+b+ccb

化簡得(a+b+c)QA+bAB+cAC=O

?*-aOA+bOB+cOC=0

貝|J5CQ4+AC05+A50C=0，

即60A+505+50C=0,所以AO=，OB+,OC,

o6

由A選項，則■;一二［，i―4二M，貝1幾=〃=3，

所以4+〃=，，故C錯誤；

O

對于D選項，垂心為高線交點，設鴕，AC,垂足為邊AC上點E,則B,E,。共線,

根據等腰三角形的性質，已知AO=/iAB+〃AC,2=〃,

所以AO.AC=X（AB+AC）.A0=/l（OB-O“AC+4AC2,

答案第6頁，共14頁

因為OB_LAC,則AO.AC=_/IO44C+/IAC2，即（1一/l）AO-40=24。？，

因為AO=AE+E。，所以（1-4（AE+EO）-AC=2AC2,

即（1—X）AEAC=XAC,

1I24

因為S=-ABACsinA=-AC-BE,所以3￡=—，

4Rr225

所以AE=UB2-BE2=卜一⑶=I，

77

所以（17）X（X5=2X52,解得幾=（，

故選：ACD

【點睛】知識點點睛：ABC的“四心”，可知：

（1）重心。為中線交點，則OA+OB+OC=0;

（2）內心。為角平分線交點，內切圓圓心，貝!|2。。4+AC.OB+AHOC=0；

（3）外心o為垂直平分線交點，外接圓圓心，則|OA|=|O@=|OC|；

（4）垂心。為高線交點，則OA.BC=ORAC=OC-A8=0.

12.不

【分析】

根據k+W=?a+bj求得結果.

【詳解】'Cab=A/3X1XCOS30°=—,

2

-'-\a+b\=&a+bj=|2+|/?|2+2a-b=幣.

故答案為：v7.

答案第7頁，共14頁

3「+3

,3

【分析】

JTJT77T

由已知利用三角函數恒等變形化簡，得sin（2A-：）=sin（2B-：）,可得A+8==，從而可

663

得C=；,又A=；,正弦定理可求。，再由三角形面積公式得解.

w、生々力/gp?1+cos2A1+cos2Bv3._.「

【詳解】由題思得，------------------=-sin2A--sin2B,

2222

BP^-sin2A--cos2A=^-sin2B--cos2B，

2222

ITIT

sin（2A——）=sin（2B一一）,由出匕得,又A+5?0,兀）,

66

^2A--+2B--=7i即A+B=E，所以。=1；

66

ac4曰2A/6

由。=2,sinA=——，――-二.-倚a=----，

2sinAsmC3

由"C,得A<C,從而A』d今

?.「兀兀、.717171.71A/6+A/2

故sin6=sin—+—=sin—cos—+cos—sin—=-------

（334344

所以ABC的面積為S=Lcsin3=.

23

故答案為：色口

3

14.12也-3}

【分析】

將原函數轉化為同角三角函數/（x）=msin、x-；J+2sin2[x-1+1,再利用對勾函數的

性質數形結合，分類討論處理即可.

【詳解】

E，/、-\1兀）I兀1c.[1兀兀

解：j（x）=msinl—X--l-coslx--l+2=msinl—x--l+2sinI—x-—l+l,

nt.（1兀）c.2>-；+1=2產+3+1

貝J+2sin

則〃x）=002/+m/+l=0（*）

答案第8頁，共14頁

當t=0時，顯然/'（x）=0無解；當Gf>0時（*）可化為一加=2f+；

利用對勾函數的性質與圖象可知（如下圖所示）：-me[272,+oo）

171

①當-m=2忘時，即sin—X------二』止匕時『或T兀’符合題意;

24

137r57r

②當“3時，即?或F，此時戶萬或尤”符合題意;

171571,2_兀j_可1倚1-兀/°八日兀71），

③當-〃?>3時，§PZ<—,由/=$m—X——<￡

2242V246

易知當r=時，只有一個解小滿足，不符合題意;

171

④當-根?2后,3）時，te即sin—X-----G

24

方程-7"=2r+l有兩根，不妨記為公峭其中％=sinj_叵

5F，只有一個根,

171

t=sin—X------e,1有兩個根，故方程有3個解，也不符合題意.

224

滿足條件的所有m的值組成的集合是:

故答案為：\2立-3}

93

15.(1)

2,2

【分析】（1）由投影向量的定義求解即可；

（2）由數量積的定義和模長公式求出cos/54C,再由同角三角函數的基本公式求出

sinABAC,最后由三角形的面積公式求解即可.

答案第9頁，共14頁

【詳解】(1)因為A8=(4,3),AC=(-3,-1),

ABACt,2-

所以AB在A。上的投影向量為:|2

AC\

(2)AB|=V42+32=5,|AC|=7(-3)2+(-l)2=A/10,

AB-AC=4x(-3)+3x(-l)=-15,

ABAC-153A/10

cosABAC=

AB|.|AC|5x回10

AG(O,7T),sinZBAC=—

'710

=gx5xg嚕=|

=-1\AB^Ac\-sinZBAC

…0ABC2

16.(1)Q,4

9,

⑵一“4

【分析】(1)設仁1。82尤，將不等式轉化為二次不等式，解不等式，結合對數函數的單調性

及對數函數的定義域解不等式即可；

(2)設"log2》，可得/4-2,3],該函數可轉化為關于二的二次函數，根據二次函數的性

質求值域.

【詳解】(1)設「log2%，x>0,^GR,

2

所以/(x)=(log2x)-log2x-2<0,即/_/_2<0,

解得—1<，<2,

所以一l<log2%<2,解得;<%<4,

即

(2)由(1)得，=|—x<8,te[—2,3],

所以函數可轉化為y=產--2,讓[-2,3],

1Q

當仁彳時，y取最小值為一:，

24

答案第10頁，共14頁

當t=-2或f=3時，y取最大值為4,

即當工=0時，/(x)取最小值為了(及卜-

當x或x=8時，/(x)取最大值為了="8)=4,

9

即函數“X)的值域為-牙4.

17.(1)AO=-AB+-AC

44

(2)^=|

(3)—=A/3.

AC

【分析】(1)由E,O,C二點共線，得AO=/uAE+(1—〃)AC,又AO=AAD＞從兩個角度

用AB,AC表示A0，從而得尢〃的值得解；

(2)因為X,0,G三點共線，所以40=根AG+(l-m)AH,轉化為用AB,AC表示A0,

可得加/的值；

(3)用謖，表示AO,EC,從而進行數量積運算.

【詳解】(1)因為A,0,。三點共線，所以40=九位)，(AeR),且E,O,C三點共線,

所以存在實數〃，使AO=〃AE+(1-〃)AC,其中。是BC中點，且3E=2E4,

AO=A,AD=A1-AB+1-AC\=-A,AB+-AAC

2222

所以

AO=/JAE+(1-H)AC=^AB+[\-H)AC

匕=乂

23

即＜；

5=(1-〃)

13

解得4=彳，〃=

24

所以AO=>2+，C.

44

(2)因為H,O,G三點共線，所以存在實數機，使4。=辦46+(1-m)4”,

22W7

其中AG=§AS,AH=tAC,所以A。=—A8+(l—根)/AC,

答案第11頁，共14頁

根據平面向量基本定理可得：

t=—

5

2

所以

(3)AB-AC=6AO-EC=6QAB+^AC^-1AB+AC

3(1222、

=-——AB+AC+-AB-AC,

2(33)

整理可得：AC2=1AB2,所以竿=6.

3AC

18.(l)A=60°

⑵當

【分析】

(1)利用兩角和(差)的余弦公式展開得到asinBsinC=A/§csinBcosA,再利用正弦定理

將邊化角，即可求出tanA,從而得解；

(2)在，ABC中，由正弦定理求出AC,再在△"?￡)中，由正弦定理求出C。，最后在ACD

中利用余弦定理計算可得.

【詳解】(1)cosA=—cos(B+C),acos(B—C)+acosA=2y/3csinBcosA,

:.acos(B—C)—acos(B+C)=2y/3csinBcosA,

acosBcosC+asinBsinC—acosBcosC+asinBsinC=2A/5csinBcosA,

asinBsinC=6csinBcosA