廣東省惠州市惠東高級中學2023-2024學年高考沖刺數學模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.給出以下四個命題：

①依次首尾相接的四條線段必共面；

②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；

③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；

④垂直于同一直線的兩條直線必平行.

其中正確命題的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

2.為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關關系，統計兩科成績得到如圖所示的散點圖（兩坐標軸單位長度

相同），用回歸直線§=加+》近似地刻畫其相關關系，根據圖形，以下結論最有可能成立的是（）

y（英語成績）

,（

?????

???

???

??????

????

?????

?H語文成績）

01------------------------?

A.線性相關關系較強，6的值為1.25

B.線性相關關系較強，8的值為0.83

C.線性相關關系較強，》的值為-0.87

D.線性相關關系太弱，無研究價值

3.設S”是等差數列｛4｝的前"項和，且S4=%+3,則%=（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知變量間存在線性相關關系，其數據如下表，回歸直線方程為9=2.1%+。.85,則表中數據機的值為（）

變量X0123

變量ym35.57

A.0.9B.0.85C.0.75D.0.5

5.如圖，正四面體P-ABC的體積為K,底面積為S,。是高7W的中點，過。的平面a與棱RI、PB、PC分

別交于。、E、F,設三棱錐P-￡）?的體積為％，截面三角形QEF的面積為S。，則（）

A.VV8%,S<4S0B.V<8%,S24so

C.V28%,S<4S0D.V28%,S>4S0

4z

6.已知復數2=——，貝！Jz對應的點在復平面內位于（）

1+z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

7.下圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形

ABC的斜邊BC、直角邊AB、AC,已知以直角邊AC、AB為直徑的半圓的面積之比為上，記NABC=tz,貝！I

4

cos2a+sin2。=（）

8.已知函數y=/(x)在R上可導且/(x)</'(x)恒成立，則下列不等式中一定成立的是()

A./⑶〉e3/(0)、/(2018)>e2017(0)

B.f(3)<e3/(0)>/(2018)>e2017(0)

C./(3)>e3/(O),/(2018)<e2017(0)

D./⑶<e3/(0)、/(2018)<e2018/(0)

9.五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶，每個單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為()

213319

A.-B.——C.一

525525

10.已知0〉g,函數/(x)=sin［20x—。］在區間(辦2萬)內沒有最值，給出下列四個結論:

①Ax)在(肛21)上單調遞增；

③/(X)在［。,汨上沒有零點；

④/(%)在［0,7T］上只有一個零點.

其中所有正確結論的編號是()

A.②④B.①③C.②③D.①②④

11.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》卷下第二十六題，叫做“物

不知數”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二.問物幾何？現有這樣一個相關

的問題：將1到2020這2020個自然數中被5除余3且被7除余2的數按照從小到大的順序排成一列，構成一個數列，

則該數列各項之和為()

A.56383B.57171C.59189D.61242

12.已知函數/(x)=a(e2x—21nH(a>0),D=若所有點(s,/⑺)，(s/e所構成的平面區域面積為

ez一1,則。=()

1e

A.eB.-------C.1D.-------

e-2e-2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.連續2次拋擲一顆質地均勻的骰子(六個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6的正方體)，觀察向上的點數，則

事件“點數之積是3的倍數”的概率為一.

14.已知直角坐標系中起點為坐標原點的向量滿足且c=,1=(〃/—〃)，存

在a,b,對于任意的實數以“，不等式|。-c|+|。-則實數T的取值范圍是.

26

15.若(2X+1)6=a0+a1(x+l)+a2(x+l)+---+a6(x+l),貝!ja。+%+2a2+3%+4%+5%+60=.

16.已知點4（0,-1）是拋物線必=2刀的準線上一點，尸為拋物線的焦點，尸為拋物線上的點，且|尸耳=加|"|,若

雙曲線C中心在原點，尸是它的一個焦點，且過產點，當“取最小值時，雙曲線C的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，已知E,歹分別是正方形ABC。邊8C,CD的中點，EF與AC交于點O,PA,NC都垂直

于平面ABC。，且B4=AB=4，NC=2,〃是線段K4上一動點.

（1）當平面E7W,求的值；

（2）當以是R4中點時，求四面體M—E7W的體積.

JT

18.（12分）在四棱錐尸—A5CD中，底面A5CD為直角梯形，AD//BC,ZABC=-,PEL面

2

ABCD,AD=3AE,AB=BC=2AE=2,PC=3.

（1）在線段。。上是否存在點尸，使CF〃面PAB,說明理由；

（2）求二面角E—PC—。的余弦值.

19.（12分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情，在

數學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標系中，以原點。為極點,

x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為Q=l-sin。（。＜，＜2],Q＞0）,

M為該曲線上的任意一點.

3

(1)當|。叫=5時，求M點的極坐標；

(2)將射線0M繞原點。逆時針旋轉/與該曲線相交于點N,求的最大值.

20.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測試，根據測試成績評定“合

格，，“不合格，，兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現隨機抽取部分學生的答卷，統

計結果及對應的頻率分布直方圖如下：

等級不合格合格

得分[20,40][40,60][60,80][80,100]

頻數6a24b

(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數和中位數；

(2)其他條件不變，在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得

分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；

(3)用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談.現再從這10人中任選4人，

記所選4人的量化總分為求J的數學期望EC).

21.(12分)在銳角AABC中，a,b,c分別是角A,B,。所對的邊，AABC的面積S=2,且滿足

〃cosB=Z?(l+cosA),則(C+Q-))(c+〃一的取值范圍是()

A.(80—8,8)B.(0,8)C.逑二^,86D.8^~8,8

(3)(3,

22.(10分)在三棱柱ABC—AgG中，四邊形44氏4是菱形，AB=4,NABg=60。，用G=3,BC±AB,

點M、N分別是A/、AG的中點，且

(1)求證：平面BCG與，平面AgR4；

(2)求四棱錐A—5CG用的體積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

用空間四邊形對①進行判斷；根據公理2對②進行判斷；根據空間角的定義對③進行判斷；根據空間直線位置關系對

④進行判斷.

【詳解】

①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.

②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確.

③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么

這兩個角相等或互補，故③錯誤.

④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.

故選:B

【點睛】

本小題考查空間點，線，面的位置關系及其相關公理，定理及其推論的理解和認識；考查空間想象能力，推理論證能

力，考查數形結合思想，化歸與轉化思想.

2、B

【解析】

根據散點圖呈現的特點可以看出，二者具有相關關系，且斜率小于1.

【詳解】

散點圖里變量的對應點分布在一條直線附近，且比較密集，

故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強的線性相關關系，

且直線斜率小于1,故選B.

【點睛】

本題主要考查散點圖的理解，側重考查讀圖識圖能力和邏輯推理的核心素養.

3、C

【解析】

利用等差數列的性質化簡已知條件，求得的的值?

【詳解】

由于等差數列｛。“｝滿足S4=%+3,所以4+出+/+%=4+3,ax+a2+a3=3,3a2=3,a2=1.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查等差數列的性質，屬于基礎題.

4、A

【解析】

計算三亍，代入回歸方程可得.

【詳解】

0+1+2+3—m+3+5.5+7m+15.5

由題意％==1.5,

44

771+155

---------=2.1x1.5+0.85,解得加=0.9.

4

故選：A.

【點睛】

本題考查線性回歸直線方程，解題關鍵是掌握性質：線性回歸直線一定過中心點丘,亍）.

5、A

【解析】

設A5=2,取所與重合時的情況，計算出S。以及％的值，利用排除法可得出正確選項.

【詳解】

如圖所示，利用排除法，取所與重合時的情況.

p

不妨設AB=2,延長MEIJIN,使得PN//AM.

PD1

■,PO=OH,:.PN=MH,AH=2MH,AM=3MH=3PN,則一=—，

AD3

由余弦定理得§￡>2=AB2+4252—2AB.ADcos匹=2?+[9]-2x2x-x-=—,

3。224

DM=,S=-x2x-=-,

2°n222

又s弋X2?3.堂吟=2g〉l,

當平面。跖〃平面ABC時，S=4S0,:.S<4S0,排除B、D選項；

LI“PD11..8K)

因為=—>,1.V=—V,此時，=2>1,

AD3°40V

當平面。瓦7/平面ABC時，8%=V,.?.8%2V,排除C選項.

故選：A.

【點睛】

本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計算公式、排除法，考查了空間想象能力、

推理能力與計算能力，屬于難題.

6、A

【解析】

利用復數除法運算化簡z,由此求得z對應點所在象限.

【詳解】

依題意z=（1+；）（］［八=2*1—，）=2+2i,對應點為（2,2）,在第一象限.

故選A.

【點睛】

本小題主要考查復數除法運算，考查復數對應點的坐標所在象限，屬于基礎題.

7,D

【解析】

4r1

根據以直角邊AC、AB為直徑的半圓的面積之比求得1一=-,即tanc的值，由此求得sin。和cosa的值，進而求

AB2

得所求表達式的值.

【詳解】

1AC11.12

由于直角邊AC、AB為直徑的半圓的面積之比為一，所以——=一，即tana=—,所以sina=-7=,cosa=一?，

4AB22V5V5

,4cl28

所以costz+sin2tz=二+2x-j=x—==—.

故選：D

【點睛】

本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，考查二倍角公式，屬于基礎題.

8、A

【解析】

設g(x)=等，利用導數和題設條件，得到g'(x)>0,得出函數g(x)在￡上單調遞增，

得至Ug(O)<g(3)<g(2018),進而變形即可求解.

【詳解】

由題意，設g(x)=等，則g，(x)=r(x)e-2((x)(")'=/'(.二/(x),

又由/(x)</'(x),所以g'(x)=>'(x)j/(x)>o,即函數g(x)在R上單調遞增，

貝!|g(O)<g(3)<g(2018)，即邛=/(0)<爛<3乎),

變形可得”3)>e3/(0),/(2018)>e2018/(0).

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了利用導數研究函數的單調性及其應用，以及利用單調性比較大小，其中解答中根據題意合理構造新函

數，利用新函數的單調性求解是解答的關鍵，著重考查了構造思想，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.

9、D

【解析】

三個單位的人數可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率，利用互為對立事件的概率和為1

即可解決.

【詳解】

由題意，三個單位的人數可能為2,2,1或3,1,1；基本事件總數有用+卡制

=150種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有用種情況；若為第二

種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有隹種，故甲、乙兩人在同一個單位的概率

為匹=2,故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為1-9=2.

150252525

故選：D.

【點睛】

本題考查古典概型的概率公式的計算，涉及到排列與組合的應用，在正面情況較多時，可以先求其對立事件，即甲、

乙兩人在同一個單位的概率，本題有一定難度.

10、A

【解析】

先根據函數/（X）=sin2ox-丁在區間（肛2m內沒有最值求出k-一領楊勺+二或左+±麴故勺+—.再根據

k3J1222412224

已知求出：＜，判斷函數的單調性和零點情況得解.

32

【詳解】

因為函數/（x）=sin[ox-3在區間（肛2%）內沒有最值.

所以2左左一工效必0〃■一工＜■一工Ikn+-,或2上左+工領■一工＜40〃■一工Ikn+—,eZ

,2,3322332

解得上一‘強必-+—^k+—^o-+—.

1222412224

又T=—..2兀,co＞—,所以一＜co,,一.

2co332

令左=0.可得V，工.且/（元）在（肛2萬）上單調遞減.

1224_

冗冗冗冗717〃

當元￡[0,0^]*,2。％---G-------,2JICD---,日.2TCCD--------G

所以/（X）在［。,K］上只有一個零點.

所以正確結論的編號②④

故選：A.

【點睛】

本題主要考查三角函數的圖象和性質，考查函數的零點問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

11、C

【解析】

根據“被5除余3且被7除余2的正整數”，可得這些數構成等差數列，然后根據等差數列的前〃項和公式，可得結果.

【詳解】

被5除余3且被7除余2的正整數構成首項為23,

公差為5x7=35的等差數列，記數列{%}

則an=23+35（〃-1）=35〃-12

2

令區,=35〃一1242020,解得〃<58—.

35

故該數列各項之和為58x23+過出x35=59189.

2

故選：C

【點睛】

本題考查等差數列的應用，屬基礎題。

12、D

【解析】

依題意，可得（（?>0,在上單調遞增，于是可得/Xx）在1,1上的值域為［a（e+2）,e2a］,繼而可得

a(e2-e-2)=解之即可.

【詳解】

2

e/02、a(ex-2]r「1J

解：f\x)=a\e2—=---------，因為**―」,a>0f

VxjxLe.

所以/'(x)>0,f(x)在-,1上單調遞增，

則/(x)在1,1上的值域為[a(e+2),e2a],

因為所有點6/?））（s/eD）所構成的平面區域面積為e2-l,

所以a（/-e-2）［1—J=e--1,

解得

e-2

故選：D.

【點睛】

本題考查利用導數研究函數的單調性，理解題意，得到。（e2-e-2）（l-3=/-l是關鍵，考查運算能力，屬于中檔題.

e

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

5

3>9-

總事件數為6義6=36,

目標事件：當第一顆骰子為1,2,4,6,具體事件有

（1,3）,（1,6）,（2,3）,（2,6）,（4,3）,（4,6）,（5,3）,（5,6）,共8種;

當第一顆骰子為3,6,則第二顆骰子隨便都可以，則有2x6=12種；

205

所以目標事件共20中，所以Pn二nx。

369

■\/6—\/2

14、-co,---

I4J

【解析】

由題意可設。=（1，0）,6=（；,與,由向量的坐標運算，以及恒成立思想可設m=1,|a-c|+g-d|的最小值即為

點（g,日）到直線x+y=l的距離d,求得d,可得T不大于d.

【詳解】

一一T1

解：且。,。二5，

、幾.：6

可設。=（1,0）,b=—,

k227

c=,d=—,

22

可得的終點均在直線x+y=l上,

由于加，”為任意實數，可得m=1時，|a-c|+|0-d|的最小值即為點己,手］到直線x+y=l的距離d,

3―1

可得22a―五，

a=-----7=-------=----------------

亞4

對于任意的實數相，〃，不等式|a-c|+g-d|2T,可得二史,

4

故答案為：「谷,

I"行4J.

【點睛】

本題主要考查向量的模的求法，以及兩點的距離的運用，考查直線方程的運用，以及點到直線的距離，考查運算能力,

屬于中檔題.

15、13

【解析】

由導函數的應用得:設/(X)=(2尤+1)6,g(x)=%+%(%+1)+〃2(%+1)2+…+。6(*+1)6，

所以尸(%)=12(2%+1)5,9(%)=%+2%(%+1)+…+64(=+1)5,又/(x)=g(x),所以/'(%)=/(%),即

12(2x+1)5=〃]+2a2(x+1)+—+6a6(%+1)5,

由二項式定理：令x=0得：q+2g+3/+4%+5/+64,再由秋。）=/（。），求出。（），從而得到

%+4+2a2+3。3+4%+5a§+64的;

【詳解】

解：設/(%)=(2x+l)6,g(x)=%+々1(%+1)+。2(%+1)2+…+。6(%+1)6，

5f5

所以f\x)=12(2%+1),g(x)=q+2a2(X+1)+…+6a6(x+1),

又穴r)=g(%),所以r(%)=g'(%),

即12(2%+1)，=4+2%(%+1)+...+6a6(%+1)，,

取x=0得：%+2%+3a③+4%+5a5+6以=12,

又g(0)"(0),

所以4=1,

故CIQ+q+2a、+3a3+4%+5/+6紇=1+12=13,

故答案為：13

【點睛】

本題考查了導函數的應用、二項式定理，屬于中檔題

16、0+1

【解析】

由點A坐標可確定拋物線方程，由此得到廠坐標和準線方程；過尸作準線的垂線，垂足為N,根據拋物線定義可得

PN\

—4=可知當直線E4與拋物線相切時，加取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得P點坐標，根據雙

PA|

曲線定義得到實軸長，結合焦距可求得所求的離心率.

【詳解】

4（0,1）是拋物線必=2°〉準線上的一點：.p=2

二拋物線方程為爐=4丁.-^（0,1）,準線方程為y=-l

過P作準線的垂線，垂足為N,貝!尸刊

設直線K4的傾斜角為a,貝（Jsina=m

當機取得最小值時，sina最小，此時直線K4與拋物線相切

設直線Q4的方程為、=辰一1,代入好=4丁得：爐一4依+4=。

.?.△=16左2—16=0,解得：左=±1，P(2,1)或(―2,1)

二雙曲線的實軸長為|酬—|年1=2(應—1),焦距為|A耳=2

???雙曲線的離心率e=2(夜_])=&+1

故答案為：72+1

【點睛】

本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標準方程的應用、雙曲線定義的應用；關鍵是能夠確定當M

取得最小值時，直線44與拋物線相切，進而根據拋物線切線方程的求解方法求得P點坐標.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)AM:MP=3.(2)—

3

【解析】

(1)利用線面垂直的性質得出MO,ON,進而得出△MAOAOCN,利用相似三角形的性質，得出從而

得出的值；

(2)利用線面垂直的判定定理得出即，平面ACN,進而得出四面體EFN的體積V=g?跖?S^MON，計算出

EF,SMON，即可得出四面體EFN的體積.

【詳解】

(1)因為MO,平面E7W,ONu平面EFN,所以MOLQV

又因為Ri,NC都垂直于平面ABC。，所以△M4OAOCN

又E,E分別是正方形ABC。邊BC,CD的中點，且A4=A5=4，NC=2

AMAOAM3A/20

所以----=——=>—j^=------=>AM=3

OCNCV22

:.AM:MP=3.

(2)因為E,歹分別是正方形ABC。邊BC,CD的中點，所以印，AC

又因為Q4,NC都垂直于平面ABC。，所u平面ABC。，所以EFLCN

因為ACcNC=C,AC,NCu平面ACN,所以EEL平面ACN

所以，四面體M-E7W的體積V=g?跖

EF-2V2，SAMON=5*4^/^x2=4^2

所以v=g.

【點睛】

本題主要考查了線面垂直的性質定理的應用，以及求棱錐的體積，屬于中檔題.

18、(1)存在；詳見解析(2)也

5

【解析】

(1)利用面面平行的性質定理可得，R為上靠近。點的三等分點，中點Q,證明平面9//平面R43即

得；

(2)過E作EG//AB交BC于G,可得PE,EG,兩兩垂直，以EG,EREP分別為蒼％z軸建立空間直角坐標

系，求出EC,EP長，寫出各點坐標，用向量法求二面角.

【詳解】

解：(1)當尸為P￡＞上靠近。點的三等分點時，滿足CF〃面B鉆.

證明如下，取石。中點Q,連結C0,。口,”.

AD//BC,AD=3AE,BC=2AE=2,.\AQ=BC

即易得A8//C。,。///AP所以面C。9//面？A3,即CFV/面

(2)過E作EG//AB交BC于G

TT

面ABC。，ZABC=-

2

:.PE,EG,ED兩兩垂直,以分別為x,%z軸建立空間直角坐標系，如圖,

EC=slEG2+GC2=A/5,PE=yJPC2+EC2=2

E（0,0,0）,P（0,0,2）,C（2,l,0）,D（-2,l,0）

EP=（0,0,2）,PC=（2,l,-2）,C￡>=（-2,l,0）

々-EP=2z=0z=0

設面EPC法向量4=（%,y,z）,則＜,即《

。=—

nx-PC=2x+y-2z=02x

取x=1,r.“=（1,-2,0）

同理可得面PC。的法向量%=。，2,2)

:.cos”,松>：三?旦

123V55

綜上可知銳二面角E-PC-。的余弦值為半

【點睛】

本題考查立體幾何中的存探索性命題，考查用空間向量法求二面角.線面平行問題可通過面面平行解決，一定要掌握:

立體幾何中線線平行、線面平行、面面平行是相互轉化、相互依存的.求空間角一般是建立空間直角坐標系，用空間

向量法求空間角.

37萬31U

或

19、(1)點M的極坐標為2J~6~⑵V2+1

【解析】

3

(1)令一=1-sin。，由此求得。的值，進而求得點"的極坐標.

2

(2)設出兩點的極坐標，利用勾股定理求得的表達式，利用三角函數最值的求法，求得的最大值.

【詳解】

(1)設點M在極坐標系中的坐標

由夕=1-sin夕，得一=1一sin。，sin8=——

22

'：O<0<2TI

.?.6=空或8=止，

66

所以點拉的極坐標為

(2)由題意可設河3,。)，N夕2，叁+。

由夕=1-sin。，得夕i=l-sin。，p2=l-sin+0j=l-cos0.

\MN\=血；+危=J(l-sine)2+(l—cos])2

=j3-2(sine+cos6)

=j—2&sin(e+5]

故e=7時，I肱v|的最大值為行+1.

【點睛】

本小題主要考查極坐標的求法，考查極坐標下兩點間距離的計算以及距離最值的求法，屬于中檔題.

23

20、(1)64,65；(2)—；(3)E?=12.

【解析】

(1)根據頻率分布直方圖及其性質可求出a/,c,平均數，中位數；

(2)設“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件A,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件B,由條件概率公

式「(B|A)=今黑可求出；

P(A)

24

(3)從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中隨機抽取10人進行座談，其中“不合格”的學生數為二義10=4,“合

60

格，，的學生數為6；由題意可得&=0,5,10,15,1,利用“超幾何分布”的計算公式即可得出概率，進而得出分布列

與數學期望.

【詳解】

由題意知，樣本容量為——-——=60,=60x(0.01x20)=12,

0.005x20

1Q

“=60—6—12—24=18,c=------=0.015.

60x20

(1)平均數為(30x0.005+50x0.015+70x0.02+90x0.01)x20=64,

設中位數為x,因為0.005x20+0.015x20=0.4<0.5,0.005x20+0.015x20+0.02x20=0.8>0.5,所以

%G(60,80),則0.005x20+0.015x20+(x—60)x0.02=0.5,

解得尤=65.

(2)由題意可知，分數在［60,80)內的學生有24人，分數在［80,100］內的學生有12人.設“第1次抽取的測試得分

低于80分”為事件A,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件B,

則⑷啜=卜"=黑|46P(AB)23

P所以P(B|A)=

P(A)35

24

(3)在評定等級為“合格”和“不合格”的學生中用分層抽樣的方法抽取10人，貝!1“不合格”的學生人數為前x10=4,

60

“合格”的學生人數為10-4=6.

由題意可得自的所有可能取值為0,5,10,15,1.

c41c3cl24C2c290

PC=O)=U=—,PC=5)=—=——,P(^=IO)=^^=—,

品210叱210品210

「1「3on04

pq=15)=—="PC=20)=/15

Gi210品210

所以4的分布列為

J0510151

124908015

p

2W2W2W2W2W

24908015

￡?=0+5x——+10x衛+15x衛+20x==12.

210210210210

【點睛】

本題主要考查了頻率分布直方圖的性質、分層抽樣、超幾何分布列及