解三角形6類常考題型

目錄

一常規(guī)題型方法....................................................1

題型一正余弦定理的選擇.................................................1

題型二邊角互化的應(yīng)用...................................................3

題型三三角形面積公式及其應(yīng)用...........................................4

題型四判斷三角形解的個數(shù)...............................................6

題型五解三角形的實際應(yīng)用...............................................7

題型六解三角形的綜合應(yīng)用...............................................9

二針對性鞏固練習(xí)..................................................11

練習(xí)一正余弦定理的選擇................................................11

練習(xí)二邊角互化的應(yīng)用..................................................12

練習(xí)三三角形面積公式及其應(yīng)用..........................................13

練習(xí)四判斷三角形解的個數(shù)..............................................13

練習(xí)五解三角形的實際應(yīng)用..............................................14

練習(xí)六解三角形的綜合應(yīng)用..............................................14

常規(guī)題型方法

題型一正余弦定理的選擇

【典例分析】

典例1-1.（青海玉樹州三校（二高、三高、五高）2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末

考試數(shù)學(xué)試題）在一中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,^sinA=1,a=2^2,

b—3,貝！Jsin5=（）.

A.|B.比C.叵D.迪

3423

典例1-2.（2019?全國?高二專題練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,

b,c,若（a?+b2—c?）tanC=ab,則角C的大小為（）

n5nn2nn2n

A.6或6B.3或3c.6D.3

典例1-3.（2022.陜西.渭南市三賢中學(xué)高二期中）一ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊

分別是b,c,若sinA:sinB:sinC=3:4:5,則..ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

典例1-4.（2022?重慶市江津第五中學(xué)校高一期中）在一ABC中，ZA=-,AB=2,BC

邊上的中線AD的長度為也，則AC=（）

2

A.1B.73C.2D.小

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧：正余弦的選擇要看條件中邊多還是角多，邊多用余弦定理，角多用正弦定

理。正弦適用環(huán)境：兩角及其一角對邊，兩邊及其一邊對角；余弦適用環(huán)境：兩邊

夾一角，三邊。

2.注意：正弦定理可以有拓展公式需注意，同時也可以幫助求解外接圓半徑，余弦

定理需注意原公式與推式的靈活應(yīng)用。

【變式訓(xùn)練】

1.（2021.福建省.永泰縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）在銳角中，若sinA=^"=2,

3

c=3,則。=（）

A.出B.2A/2C.2A/3D.&

2.（2022?浙江?嘉興市第五高級中學(xué)高一期中）已知一的內(nèi)角A&C所對的邊分

別為滿足匕2+c?-q2=6c且a=,則-:=（）

sinB

A.2B.3C.4D.2布

3.（2015?湖北武漢?高一期中）已知△二。的三邊長是三個連續(xù)的自然數(shù)，且最大

內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值為

35_7

A.4B.6C.10D.3

4.（2015?陜西西安?高三階段練習(xí)（理））在a?+b2=2c2中角A,B,C所對邊長分別為

。上廣,若°：-/=土，則cosC的最小值為

此更二1

A.2B.2C.2D.V

題型二邊角互化的應(yīng)用

【典例分析】

典例2-1.（2022.陜西?漢臺中學(xué)高二階段練習(xí)）在_ABC中，三個內(nèi)角A,B,C所對

的邊分別為a,b,c,且acos（c+W=csinA,若a=2g,b=4,貝！Jc=（）

A.2B.4C.2^13D.8

典例22（2022?全國?高一課時練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為o,b,

c,若注=2=后，則該三角形一定是（）

cosBa

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

典例2-3.（2022.陜西.永壽縣中學(xué)高二階段練習(xí)（文））在ABC中，內(nèi)角A,B,C

的對邊分別是a,b,c,若sinA+sin8=6sinC,次?=,則。等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

典例2-4.（中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月測試文

科數(shù)學(xué)試題）在一ABC中，角A、3、C所對的邊分別為。、6、J已知26sinA-怎=0,

且區(qū)為銳角，若3c=3a+V§Z?,則A=（）

【方法技巧總結(jié)】

1.方法：正弦定理邊角互化，余弦定理邊角互化。

2.技巧：使用正弦定理邊角互化的時候要注意齊次式，否則只能局部變化，口訣：

“有邊有角邊化角，兩邊二次角化邊”；余弦定理邊化角時要注意觀察是否有多個

二次邊長，角化邊用的很少，要謹(jǐn)慎使用。統(tǒng)一為角的等式后，要注意使用“逆化”

與“正拆”進(jìn)行進(jìn)一步化簡。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?河南?汝陽縣一高高三階段練習(xí)（理））已知aABC的內(nèi)角A,B,C所對的

邊分別為。，b,c,若acosC+J^asinC-匕一c=0,則A=（）

A.巴B.工C.工D.紅

6433

2.（2022?全國?高一課時練習(xí)）在ABC中，cos?g=陪（a,6,c分別為角A,8,C的

22c

對邊），則_45C一定是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

3.（2022?黑龍江?綏化市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分

別為“，b,J若sinAsinBcosC=2sin2C,則'￥=（）

C

A.5B.4C.3D.2

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在中，角A,B,。的對邊分別為mb,c,已

知5泣（。-5）=2$1115以）5。，且25由24+浜［115=庚111。，貝1］。=（）

A.2B.4C.6D.8

題型三三角形面積公式及其應(yīng)用

【典例分析】

7T

典例3-1.（2022.河南.高三階段練習(xí)（理））在—MC中，已知/B=2NC=：,AC=4,

4

則ABC的面積為（）

A.2B.2（A/5-1）C.4D.4（石-1）

典例3-2.（2022.河南省淮陽中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知A5c中，內(nèi)角A,B,C的

對邊分別為a,b,c,若點A到直線BC的距離為bcosC,且sin5=sinC，則A=（）

A.-B.—C.—D.—

2346

典例33.（2022?江蘇無錫?高三期中）在-ABC中，角4瓦。的對邊分別為a,b,c.若

a=2,acosB+bcosA+y/2ccosC=0,ABC的面積為2a,則G4在方向上的投影

向量為（）

A.-J2CBB.-y/2CBC.-2&CBD.2及CB

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧：面積公式在選擇上優(yōu)先考慮角；面積公式也可以與初中的面積公式一起處

理一些問題。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（文））..ABC的內(nèi)角A&C的對

邊分別為a力,c.若6=6,4=2°乃=3,則.ABC的面積為（）

A.3石B.6A/3C.6亞D.4m

2.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知ABC中，A3=6,AC=2,AD為1及1C的

角平分線，AD=j3,則ABC的面積為（）

A.2-72B.4夜C.30D.373

22

3.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知點用B分別是橢圓斗+右=1的左、右焦點，已

ab

知橢圓上的點到焦點的距離最大值為9,最小值為1.若點尸在此橢圓上，3PB=60,

則△助耳的面積等于（）

A.若B.36C.6石D.9y/3

題型四判斷三角形解的個數(shù)

【典例分析】

典例4-1.（2022.陜西.武功縣普集高級中學(xué)高二期中（文））在ABC中，若6=3,

c=巫,3=45,則此三角形解的情況為（）

2

A.無解B.兩解C.一解D.解的個數(shù)不能確定

典例4-2.（2022.河南南陽?高三期中（理））在ABC中，C=30。，b=及,c=x.若

滿足條件的一抽。有且只有一個，則x的可能取值是（）

A.；B.走C.1D.V3

【方法技巧總結(jié)】

1.方法：正弦定理、數(shù)形結(jié)合

2.技巧：使用正弦定理來處理解的個數(shù)問題需注意估算三角函數(shù)值以及角的大小；

數(shù)形結(jié)合需先畫出一部分已知邊角，然后找一端點做圓，進(jìn)而判斷解的個數(shù)。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?陜西?禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的

邊分別為“，b,c,根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）

A.6=4,A=20。，C=40°B.a=4,b=6,3=35。

C.a=4,b=6,A=35°D.a=4,b=6,C=35°

2.（2022.河南.偃師市綏第四中學(xué)高三階段練習(xí)（理））在AABC中，內(nèi)角A,B,C

的對邊分別為a,b,c.^C=^,c=3.且該三角形有兩解，則a的值可以為（）

6

A.2B.4C.6D.8

題型五解三角形的實際應(yīng)用

【典例分析】

典例5-1.（2021?湖北?鄂南高中高二階段練習(xí)）筆峰塔矗立在漁河岸邊，是咸寧市現(xiàn)

存古跡之一.小張同學(xué)為測量筆峰塔的高度，如圖，選取了與塔底部。在同一水平

面上A3兩點，在A點和8點處測得C點的仰角分別為45。和30。，測得48=25b

米，ZADB=150°,則筆峰塔的高度8為（）

c.

D.25s■米

典例5-2.（2022?福建?寧德市高級中學(xué)高三期中）如圖，禮堂外立面裝修，設(shè)A,B

兩點在禮堂外立面的上下兩端，測量者在A的同側(cè)底沿邊選定一點C,測出AC的距

離為10m,ZACB=75°,ZCAB=6O°,就可以計算出8c兩點的距離為（）

C.|（3>/2+^）mD.5（6+l）m

【方法技巧總結(jié)】

1.方法：高度測量、距離測量、角度測量

2.技巧：注意方位角，仰角、俯角的使用，將問題轉(zhuǎn)化為多個三角形來處理，并在

多個三角形內(nèi)不斷求解所需條件。方案設(shè)計題需掌握幾種常用的設(shè)計方案。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022.安徽.高二開學(xué)考試）如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖,

為測量大跳臺最高點戶距地面的距離，小明同學(xué)在場館內(nèi)的點4測得戶的仰角為

30,NA3O=75,/2AO=60,A8=60（單位：m）,點A,3,。在同一水平地面上，則大

跳臺最高高度OP=（）

B

A.(30+10@mB.300m

C.(10^+10V6)mD.30后m

2.（2022?江蘇蘇州?高三期中）古時候，為了防盜、防火的需要，在兩邊對峙著高墻

深院的“風(fēng)火巷”里常有梯子、銅鑼、繩索等基本裝備.如圖，梯子的長度為“，梯

腳落在巷中的“點，當(dāng)梯子的頂端放到右邊墻上的N點時，距地面的高度是。，梯

子的傾斜角正好是45,當(dāng)梯子頂端放到左邊墻上的尸點時，距地面的高度為6尺（1

米=3尺），此時梯子的傾斜角是75.則小巷的寬度AB等于（）

題型六解三角形的綜合應(yīng)用

【典例分析】

典例6-1.（山西省呂梁市2023屆高三上學(xué)期階段性測試數(shù)學(xué)試題）記.ABC的內(nèi)角

例sinAsin2B

A,B,C的對邊分別為a,b,石一=

1+cosAl-cos2B

A

⑴求tan7tan3的值；

25

⑵右a=5,ABC的面積S=M，求sinA.

典例6-2.（2022.貴州.頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（理））已知ABC中，角A,B,C

所對的邊分別為a，6，c,且acos（270+B）=tan240-Z?sin（90+A）.

⑴求A的大小；

（2）若a=13,5.=39后，求6+c的值.

典例6-3.（2022?山西三階段練習(xí)）在①ccosA=V^asinC；②

（<?-Z>）（sinA+sinB）=（c-百b）sinC；③3bcosA+acosB=石6+c這三個條件中任選一'4、,

補充在下面的問題中，并解決該問題.

問題：在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足.

⑴求角A的大小；

（2）若。為線段CB延長線上的一點，且CB=2B￡>,4￡>=6,AC=26,求的面積.

典例6-4.(2022?重慶八中高三階段練習(xí))在①COS2B+2COS2?=1；②2teinA=SanB；

(a-c)sinA+csin(A+B)=bsmB,這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以

解答.

已知ABC的內(nèi)角A瓦C所對的邊分別是。為,c,若.

⑴求角8；

(2)若6=2,且.MC的面積為G，求一ABC的周長.

典例6-5.(2022?寧高三期中(理))在一ABC中，角A,B,C的

r

c

對邊分別為b99且(2a+c)cos(A+C)+Z?=2/?cos?萬.

(1)求角區(qū)的大小；

7兀

(2)如圖，若。為，A6C外一點，＜ZBCD=—,AB1AD,AB=1,AD=6，求―MC

的面積.

【方法技巧總結(jié)】

1.類型：角、邊、面積、周長、簡單圖形問題

2.技巧：以上問題都屬于基本量求解問題，要注意正余弦的選擇和應(yīng)用，并結(jié)合三

角恒等變換和一些方程組的技巧性求法。也需注意三線“中線”、“角分線”、“垂線”

所擁有的獨特方法。中線：向量法，角分線：角分線定理，等面積法“二型”，垂

線：等面積法“一型”。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?吉林長春?模擬預(yù)測）在一ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

5.a=ccosB.

（1）證明：ABC是直角三角形；

⑵若2sin23=cosB+cos（A-C）,求sinA的值.

2.（2023?四川資陽?模擬預(yù)測（文））記ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,

C.知人（2—8$24）=石°51113.

（1）求角A的大小；

⑵若點。在邊上，AD平分/S4C,4）=2,且6=2c,求a.

3.（2022.山東濟(jì)南?模擬預(yù)測）已知/（"=$《2工+高-2cos"+

⑴求〃x）在［0,兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間；

1

⑵設(shè)一ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若"A）=］,b=2,B%7r,求

的面積.

4.（2022?河南?新安縣第一高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））在△ABC中，內(nèi)角A,B,

C所對的邊分別為a,b,c,已知Asin（A+C）=2"sinC,且a=b.

（1）求sinB；

（2）若△ABC的面積為求△ABC的周長.

5.（2022?山東青島?高三期中）如圖，P為.ABC內(nèi)的一點，ZABP=30°,AB=^AP,

PAPB=--.

2

⑴求4P8；

⑵若AP_LCP,BC=不，求AC.

針對性鞏固練習(xí)

練習(xí)一正余弦定理的選擇

1.（2022?浙江杭州?高二期中）在..ABC中，已知48=45°,ZC=30°,AC=2,則AB

等于（）

A.1B.V2C.V3D.76

3.（2014.湖北隨州.高三期中（文））若，ABC的內(nèi)角所對的邊a,6,c滿足

（°+加2-°2=4,且c=60,則他的值為（）

l42

A.8—B.11C.—D.—

33

4.（2019?黑龍江?大慶實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）在ABC中,A最大,C最小，且A=2C,

a+c=2b,則此三角形的三邊之比為（）

A.4:3:2B.6:5:4C.7:6:5D.8:7:6

練習(xí)二邊角互化的應(yīng)用

5.（2022?江蘇?常熟中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，A,B,C分別為「.ABC三邊。、

6、c所對的角.若cosB+gsinB：2且滿足關(guān)系式胃+堂貝Ub=（）

bc3c

A.石B.2C.20D.3A/2

6.（2022?湖北?沙市中學(xué)高二階段練習(xí)）在一至C中，若2acos3=c,則該三角形一

定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.不能確定

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、c

c

若ccos?2+6sinBsinC=0a,則一=（）

a

A.B.6C.272D.2^/3

8.（2022?四川省德陽中學(xué)校高一階段練習(xí)（理））在AABC中，角A,B,C的對邊

分別為a,b,c,且asinA=bsinB+（c-b）sinC,AD是AABC的角平分線，。在8C

邊上，AD=y/3,b=3c,則a的值為（）

A277R4V7R5A/7C8幣

3333

練習(xí)三三角形面積公式及其應(yīng)用

9.（2022.陜西?永壽縣中學(xué)高二階段練習(xí)）在一ABC中，角A,B,C所對的邊分別為

a,b,c,E!^[|a=2,6=l,cosC=g,則ABC的面積為（）

A.當(dāng)B.1C.V?D.272

10.（2022?江蘇?啟東中學(xué)高三階段練習(xí)）在_ABC中,NBAC=120為/BAC的平

分線的=2|AC|,則■=（）

iXly

A.2B.73C.3D.2A/3

22

11.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：T+2=l（a>b>0）的兩個焦點為耳

過耳的直線與。交于4,8兩點.若|州|=3閨3|,|鉆|=2|班|,耳的面積為3A，則“

的值為（）

A.4B.3C.5D.6

練習(xí)四判斷三角形解的個數(shù)

12.（2022.陜西.武功縣普集高級中學(xué)高二階段練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的

對邊分別為a,b,c.已知。=26,6=6,A=f,則此三角形（）

6

A.無解B.一解C.兩解D.解的個數(shù)不確定

13.（2022?山西?太原師范學(xué)院附屬中學(xué)高二開學(xué)考試）已知的內(nèi)角A,B,C

的對邊分別為a,b,c,若8="|,a=2,b-x>0,若_ABC只有一解，則實數(shù)x的

取值范圍為（）

A.x>2B.x=WC.A/3<x<2D.x22或尤

練習(xí)五解三角形的實際應(yīng)用

14.（2022.江西贛州.高三階段練習(xí)（文））如圖，從無人機(jī)A上測得正前方的峽谷的

兩岸8,C的俯角分別為75。，30。，若無人機(jī)的高度AD是15（6+1）,則此時峽谷的

寬度BC是（）

A.60B.60（V3+l）C.30D.30（V3+l）

15.（2022.北京市八一中學(xué)高三階段練習(xí)）一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里

的速度沿南偏東40的方向直線航行，1小時后到達(dá)8處，在C處有一座燈塔，海輪

在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70,在8處觀察燈塔，其方向是北偏東65,那么

氏C兩點間的距離約為（）

C.20近海里D.20西海里

練習(xí)六解三角形的綜合應(yīng)用

16.（2022?江蘇南通?高三期中）在」中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

且Vs^sinA—bcosA=a—c.

（1）求B

（2）若點。在AC邊上，滿足AC=34）,且AB=3,BD=2,求cosNCBD的值.

17.(2022?四川省遂寧市教育局模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)

2711

/(x)=cosx+sinxsin(x+y)-

⑴求函數(shù)/(X)的對稱中心及在［0,句上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在銳角_ABC中，A、8、C的對邊分別為a,b,c,7(C)=《，AC=8,sing=馬翅,

213

。為邊BC上一點，且CD=2E?,求AD的值.

18.(2022?湖北?高三期中)ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知

(?-c)sinA=(7sin(B-C),b=2y[3.

⑴求角B；

⑵若AC邊上的點。滿足CI/3號'求■的面積.

19.(2022?湖北?高二期中)一A5C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

2cosC(acosB+Z?cosA)=c.

⑴求角C的大小；

⑵若c=幣,A5C的面積為主8,求..至。的周長.

2

____rr

20.（2022?河南?高三期中（理））如圖所示，在平面四邊形A3CD中，ZADC=~,

/BCD],5BC=2&CD,AB=710,AD=3.

(1)求tan/BDC的值;

(2)求3D

解三角形6類常考題型

目錄

一常規(guī)題型方法....................................................1

題型一正余弦定理的選擇.................................................1

題型二邊角互化的應(yīng)用...................................................5

題型三三角形面積公式及其應(yīng)用..........................................10

題型四判斷三角形解的個數(shù)..............................................13

題型五解三角形的實際應(yīng)用..............................................15

題型六解三角形的綜合應(yīng)用..............................................18

二針對性鞏固練習(xí)..................................................28

練習(xí)一正余弦定理的選擇................................................28

練習(xí)二邊角互化的應(yīng)用..................................................30

練習(xí)三三角形面積公式及其應(yīng)用..........................................32

練習(xí)四判斷三角形解的個數(shù)..............................................34

練習(xí)五解三角形的實際應(yīng)用..............................................35

練習(xí)六解三角形的綜合應(yīng)用..............................................36

常規(guī)題型方法

題型一正余弦定理的選擇

【典例分析】

典例1-1.（青海玉樹州三校（二高、三高、五高）2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末

考試數(shù)學(xué)試題）在一中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,^sinA=pa=2^2,

b—3,貝！Jsin5=（）.

A.|B.比C.叵D.迪

3423

【答案】B

【分析】由正弦定理直接求解即可.

【詳解】解：因為sinA=g,a=2y/2,b=3,

&1

由正弦定理三=三得sinB_AinA_

sinAsmBsin'一丁一荻一彳

故選：B.

典例12（2019?全國?高二專題練習(xí)）在小ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,

b,c,若（a?+b2—c2）tanC=ab,則角C的大小為（）

n5n712nn2n

A.6或6B.3或3C.6D.3

【答案】A

【分析】根據(jù)所給條件，結(jié)合余弦定理即可求得角C的大小.

【詳解】由l+b2-c2）tanC=ab可得，

a2+,b2-2c1d

------------tanC=-

2ab2,

1

cosCtanC=sinC=一

由余弦定理可得2,

因為°<C<n,

n5n

所以角C的大小為&或W

故選A

【點睛】本題考查了余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

典例1-3.（2022.陜西.渭南市三賢中學(xué)高二期中）ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊

分別是b,c,若sinA:sinB:sinC=3:4:5,則.ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理的三邊比值，然后能得到"+"=02,即可得到答案

【詳解】由正弦定理可知。:b:c=sinA:sin3:sinC=3:4:5,

設(shè)a=3，,Z?=4，,c=51,Q>0）,

所以標(biāo)+62=25/=02,所以AC13C,所以的形狀是直角三角形，

故選：B

典例1-4.（2022?重慶市江津第五中學(xué)校高一期中）在一ABC中，ZA=1,AB=2,BC

邊上的中線AD的長度為五，則AC=（）

2

A.1B.V3C.2D.V5

【答案】A

【分析】設(shè)AC=x,3C=2y,在ACD和△ABD中，由余弦定理可得2y?=Y+3,結(jié)

合在JRC中，利用余弦定理，即可求出x的值，從而得出答案.

【詳解】^AC=x,BC=2y,

由AD為BC邊上的中線，則==y

在，ACE＞中，由余弦定理得一=1+丫2-2義走.ycosNADC

4-2'

在Z\ABD中，由余弦定理得4=2+丁-2xy.cos/ADB

4-2'

7i

因為cos?z^AZ）C=—cos^^ADB,可得f+4=5+23^,gp2y2=x2+—

在中，由余弦定理得（2?=x2+4-2x2xxxcosy

代入可得x?+2x—3=0,解得x=l或無=一3（舍），即AC=1

故選：A

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧：正余弦的選擇要看條件中邊多還是角多，邊多用余弦定理，角多用正弦定

理。正弦適用環(huán)境：兩角及其一角對邊，兩邊及其一邊對角；余弦適用環(huán)境：兩邊

夾一角，三邊。

2.注意：正弦定理可以有拓展公式需注意，同時也可以幫助求解外接圓半徑，余弦

定理需注意原公式與推式的靈活應(yīng)用。

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?福建省.永泰縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）在銳角.ABC中，若sinA=@,3=2,

3

c=3,則"（）

A.y/3B.2aC.2V3D.非

【答案】D

【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系式,先求得cosA,再由余弦定理即可求得。的值.

【詳解】因為AABC為銳角三角形,sinA=@

3

由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得=g

又因為Z?=2,c=3

由余弦定理可得4=b2+c2-2bccosA

09

代入可得Q=4+9-2x2x3x-=5

所以〃=y/5

故選:D

【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用，余弦定理求三角形的邊,屬于基礎(chǔ)題.

2.(2022.浙江?嘉興市第五高級中學(xué)高一期中)已知ABC的內(nèi)角人民。所對的邊分

別為。也。滿足6+/—儲=A且〃=則-:——=()

sinB

A.2B.3

C.4D.273

【答案】A

【分析】先利用余弦定理求得4再利用正弦定理求解即可.

【詳解】由題62+/-〃=a，.?.cosA=Z?2+c2~fl2=—=-,

2bc2bc2

n，上=>^=立=2

又。vAvA=§，sin5sinA73，

~2

故選：A.

3.（2015?湖北武漢?高一期中）已知△-3C的三邊長是三個連續(xù)的自然數(shù)，且最大

內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值為

A.B.6C.10D.?

【答案】A

x-1x+1x+1

【詳解】試題分析：設(shè)三邊為尤-l,x,元+1，

sinAsin2A2sinAcosA

x+1X2+(x+l)2-(X-1)2

cosA=.,.％=5,三邊為4.5.6AcosA=-

2(1)2x(x+l)4

考點：1.正余弦定理；2.二倍角公式

4.（2015?陜西西安?高三階段練習(xí)（理））在a?+b2=2c2中角A,B,C所對邊長分別為

。心（，若則cosC的最小值為

盤立=_1

A.2B.2C.2D.2

【答案】C

【詳解】試題分析：利用余弦定理與基本不等式即可求得cosC的最小值.

t.△ABC中，a2+b2=2c2,

,a2-^b2

「a2+b2-e2a2+b2——a2+b\lab1

.?.由余弦定理得：-2ab~2-4M-4而一二（當(dāng)且

僅當(dāng)a=b時取等號）.

/.cosC的最小值為《，故選C

考點：余弦定理

題型二邊角互化的應(yīng)用

【典例分析】

典例2-1.(2022.陜西?漢臺中學(xué)高二階段練習(xí))在..ABC中，三個內(nèi)角A,B,C所對

的邊分別為a,b,c,且acos(c+W=csinA,若a=,6=4,貝！Jc=()

A.2B.4C.2岳D.8

【答案】A

【分析】由正弦定理，結(jié)合條件acos1c+￡)=csinA,得sinAcos[c+￡)=sinCsinA,

進(jìn)一步求出C=J,利用余弦定理求出c.

O

【詳解】由正弦定理，==三，及acos(C+[=csinA,

sinAsinC<oJ

得sinAcos[c+￡j=sinCsinA,又sinAwO,

所以sinC=cosfc+-V—cosC--sinC,

<6)22

整理得3sinC=6cosC,所以tanC=走，

3

TT

又Ce(0,W,所以C=B.

由余弦定理《2=〃+》2_2"cosC,得c?=12+16-24=4,則c=2.

故選：A.

典例2-2.(2022.全國?高一課時練習(xí))在△ABC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,

C,若當(dāng)=2=應(yīng)，則該三角形一定是()

cosna

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】A

[分析1由余弦定理得到/(b2+H-/)=〃(儲+/-/)，結(jié)合,=血，得至I」c2=a2+b2,

判斷出三角形為直角三角形.

【詳解】???安b

cosBa

acosA=bcosB,

由余弦定理可得：ax"+。、、-J

2bc2ac

整理可得：a2[b2+c2-a2^=b2[a2+c2-b2^,①

a

：.b2=2a2,②

由①②得。2=3/=〃+/,

???該三角形是直角三角形.

故選：A

典例2-3.（2022?陜西?永壽縣中學(xué)高二階段練習(xí)（文））在MC中，內(nèi)角A,瓦C

的對邊分別是a,b,c,若sinA+sinB=A/^sinC,a6=gc2,則。等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】由正弦定理邊角關(guān)系有〃+6=后,結(jié)合已知、余弦定理求cosC,即可確

定角的大小.

【詳解】由正弦定理邊角關(guān)系：sinA+sinBug'sinC化為a+Z?=Gc,

a2+b2-c2(a+b)2—2ab-1

由余弦定理得:cosC=

lablab2

ffijCe(0,180?),故C=60。.

故選：B

典例2-4.（中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月測試文

科數(shù)學(xué)試題）在一45c中，角A、8、C所對的邊分別為。、方、J已知2bsinA-瘋7=0,

且B為銳角，若3c=3a+石人，則A=（）

TC71_71兀

A.-B.-C.-D.-

6432

【答案】A

【分析】2bsinA-瘋z=O結(jié)合正弦定理邊化角可解得sinB=",即可求角8,

2

3c=3°+?結(jié)合正弦定理邊化角之后再消元，可得而（。-金=3,再結(jié)合A的范圍

即可得證

【詳解】由正弦定理可知，‘一=占，

sinAsmB

2Z?sinA-y/3a=0,/.2sinBsinA=V3sinA,

又在ABC中，sinA>0,2sinB=幣,即sinB=—,

2

為銳角，.?.8=5，

.3c=3a+A/3Z?,

所以由正弦定理得：sinC=sinA+sinB=sinA+—,

32

又C=?-（B+A）,「.sincosA+—sinA=sinA+—,

即cosA——sinA=—sin

222

7171

故選：A

【方法技巧總結(jié)】

1.方法：正弦定理邊角互化，余弦定理邊角互化。

2.技巧：使用正弦定理邊角互化的時候要注意齊次式，否則只能局部變化，口訣：

“有邊有角邊化角，兩邊二次角化邊”；余弦定理邊化角時要注意觀察是否有多個

二次邊長，角化邊用的很少，要謹(jǐn)慎使用。統(tǒng)一為角的等式后，要注意使用“逆化”

與“正拆”進(jìn)行進(jìn)一步化簡。

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?河南?汝陽縣一高高三階段練習(xí)(理))已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對的

邊分別為。，b,c,acosC+y/3asinC-b-c=0,則A=()

A.工B.工C.2D.空

6433

【答案】C

【分析】利用正弦定理將原式邊化角，再根據(jù)和角公式和輔助角公式化簡即可.

【詳解】cicosC+\/3asinC-b-c=0

sinAcosC+石sinAsinC—sinB—sinC=0

/.sinAcosC+A/3sinAsinC-sin(A+C)-sinC=0

sinAcosC+V3sinAsinC-(sinAcosC+sinCcosA)-sinC=0

/.V3sinAsinC—sinCcosA—sinC=0

sinCw0

V3sinA-cosA-l=0

71

2sin（A--）=1

-或卷（舍）

66o

71

A——

3

故選：C.

2.（2022?全國?高一課時練習(xí)）在ABC中，涵與=竽（。也c分別為角A,2,C的

對邊），則ABC一定是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)二倍角公式將已知條件變形，然后利用余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化進(jìn)行判

斷.

【詳解】?.?cos2g=*,；.2cos2g=/，即i+cos8=",根據(jù)余弦定理可得

22c2cc

整理得片+"=02,由勾股定理知，MC為直角三角形.

lacc

故選：B

3.（2022?黑龍江.綏化市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）A