解三角形

內容概覽

01網絡?思維腦圖（含基礎知識梳理、常用結論與技巧）

02考情分析高考

03高頻考點?以考定法（四大命題方向+四道高考預測試題，高考必考?（10/7）分）

A命題點1正弦余弦定理基本應用

>命題點2解三角形中三線問題

A命題點3解三角形中周長面積問題

>命題點4解三角形中最值范圍問題

高考猜題

04倉（J新好題?分層訓|練★精選8道最新名校模擬試題+8道易錯提升）

第1頁共25頁

6》思維腦圖?

內容：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，并且聘于夕楔圓的直徑

公式,品=導=急=2&R為外接圓半徑)

結論：①變形?a+b+cb

siih4+sinB+sinCsinJsinBsinC

正弦定理

②碰為角。力—/哈需小黑叁驍

③化邊為角a=2RsinJ;b=2RsinB;c=2RsinC

asinBbsinJa

④化角為邊嬴近二萬;菽=7葡=3

⑤化角為邊sinJ=提;sinfi=￡;sinC=4

內容：對于任意三角形，任1可一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角

的余弦的兩彳撕

公式：a~=b'+c:-2bccosA;b2=a1+c1-2accosB;c2=a:+b:-2abcosC

變形：C°S=噱金。SB=￡^；8SC=S^

(技巧:利用余弦定理判斷三角形形狀

(T)c2+Z)2>tz*<=>cosy4=b>0o/<90°,所以/為銳角

②cy=a,o4=90°,所以為直角

余弦定理

③cJ^Wocos/J；；；">0q4>90。,所以/為鈍角

解三角形

拓展①三角形三角關系：N+8+C=180。；C=180°-(J+5)；

三角形三邊關系(兩邊之和大于第三邊)：a+b>c,a+c>b,c+b>a

兩邊之差小于第三邊：a-b<c,a-c<b,c-b<a

在同一個三角形中大邊對大角：/>8oa>6=sinJ>sinB

②三角形內的誘導公式：sin(J+5)=sinC;cos(J+B)=-cosC;tan(J+B)=tanC

S，n()COS

.A+B..nC.CA+BnC\.CtA+BnC,2-72

sni-^—=sin(2-y)=cos-j；cos—=cos(^-y)=siny；tan-^j—=tan(y-y)=----nc~---f

cos(j-y)silly

內容：三角形的面積等于兩邊—角正弦乘積的一半

三角形面積III

公式:S’absinC.bcsin^UjqcsinB

極化恒等式:<"m=""2“小6=t>ab=^[(a+b)'-(a-b):]

(a-b)'=a'-2ab+b'

常規二級結論應用

中線定理:在△/BC中，。是邊BC的中點，則4瓦萬月

色〉考情分析?高考?

第2頁共25頁

解三角形是新高考中必考點，一般以1+1（一道小題一道解答題）或者是0+1（只出現一道

解答）形式出現，往往放在解答題前兩題，相對難度比較小。

真題多維細目表

考點考向考題

①正弦余弦基本應用2023全國乙卷T4全國乙卷T172021全國甲卷T8

解三角形②解三角形中三線問題2023新高考甲卷T162023新高考I卷T17

③解三角形中周長面積問題2023新高考II卷T17全國乙卷T18

甲卷T17

2022乙卷T17新高考II卷T18

2021全國乙卷T152021新高考II卷T18

④解三角形中最值范圍問題2022全國甲卷2022年新高考I卷T18

函》高頻考點?以考定公

??高考<<

命題點2正弦余弦定理基本應用

典例01（2023?全國乙卷）在一ABC中，內角A,2,C的對邊分別是a,6,c,若acos3-6cosA=c,且C=q,

則45=（）

7i0Tl_37rc2n

A.—B.-C.—D.—

105105

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結合誘導公式和兩角和的正弦公式求得-A的值，最

后利用三角形內角和定理可得-A的值.

【詳解】由題意結合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,

BPsinAcosB-sinBcosA=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得5皿與8524=0,由于3￡（0,兀），故sinjB>0,

據此可得COSA=0,A=5,

兀

則5=7i_A_C=7i_］一］3

10

第3頁共25頁

故選：c.

典例02(2023?全國乙卷)記ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(A—=sinBsin(C—A).

⑴若4=23,求C；

(2)證明：2/=/+°2

【答案】⑴/；

(2)證明見解析.(2)由題意利用兩角差的正弦公式展開得

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再根據正弦定理，余弦定理化簡即可證出.

【詳解】(1)由A=25,sinCsin(A-3)=sin3sin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),而0<3<],

所以sin5￡(0,1),即有sinC=sin(C—A)>0,[fjJO<C<7r,O<C-A<7i,顯然CwC—A,所以，C+C-A=TI,

5K

而A=25,A+B+C=TI,所以C=^-.

8

(2)由sinCsin(A_5)=sin5sin(C-A)可得，

sinC(sinAcosB—cosAsinB)=sinB(sinCcosA—cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB-becosA=becosA-abcosC,然后根據余弦定理可知，

1(a2+c2-b2)-^b2+c2-a2)=^b2+c2-a2)-1(a2+b2-c2)，化簡得：

2a2=b2+c2,故原等式成立.

命題點2三角形中三線問題

典例01(2023?全國甲卷)在ABC中，ABAC=60°,AB=2,BC=^6,的角平分線交BC于，

貝!J">=.

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根據等面積法求出AD；

方法二：利用余弦定理求出AC,再根據正弦定理求出反C,即可根據三角形的特征求出.

第4頁共25頁

【詳解】

如圖所示：isAB=c,AC=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+〃-2X2><6><COS60=6,

因為〃>0,解得：6=1+6,

由SABC=SABD+SACD可得,

—x2xZ?xsin60=—x2xAE)xsin30+—xA￡)xZ?xsin30,

26(1+⑹

解得：AD=-h

3+6

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+〃-2X2X6XCOS60=6,因為8>0,解得：6=1+6,

由正弦定理可得，4—=—絲=二_,解得：sinB="+忘,sinC=—,

sin60sinBsinC42

因為1+若>標>忘，所以C=45,8=180-60-45=75,

又/區4。=30°,所以/A￡)B=75,即AP=AB=2.

故答案為：2.

典例02(2023?全國新課標D已知在.ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

⑴求sinA；

⑵設AB=5,求AB邊上的高.

【答案】⑴士四(2)6

10

【詳解】(1)A+B=3C,

TT

..TI-C=3C,即。=—,

又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),

/.2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=3cosAsinC,

/.sinA=3cosA,

第5頁共25頁

即tanA=3,所以0<A<],

33M

sinA=

Vio-io

(2)由(1)知，cosA=—y==,

A/1010

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

<275

5x-----_

c_b

由正弦定理,可得人:---——2A/TO,

sinCsinBV2

~T

—ABh=—AB.AC-sinA,

22

h=b-sinA=2^10x3y=6.

10

??技巧<<對于解三角形中的出現的角平分線問題，方法技巧在于用等面積法進行轉化,

或者是采用角平分線定理（角平分線定理屬于二級結論解答題中需要進行證明，小題中可以直接采用），

對于求高有關的問題也是采用面積等于底乘以高轉化成三角形中面積公式。對于中線問題，一般思路是向

量思想，小題中可以采用激化恒等式去求解。

命題點三解三角形中周長面積問題

典例01（2023?全國高考乙卷）在一ABC中，已知NBAC=120。，AB^2,AC=1.

⑴求sinNABC；

（2）若。為BC上一點，且/54。=90。，求△ADC的面積.

【答案】⑴答；⑵得.【分析】⑴首先由余弦定理求得邊長BC的值為2C=g,然后由余弦定理可得

cos8=%自，最后由同角三角函數基本關系可得sin8=@；

1414

（2）由題意可得沁^=4,貝！據此即可求得“DC的面積.

【詳解】（1）由余弦定理可得：

BC2=a2=b2+c2-20ccosA

=4+l-2x2xlxcosl20=7,

第6頁共25頁

訕「廠na2+c2-b27+4-15A/7

貝UBC=y/7，cosB=--------------=----------j==------，

lac2x2xj714

sinZABC="一cos2B=

q-xABxADxsin90

(2)由三角形面積公式可得言也----------------=4,

山⑺-xACxADxsin30

2

_V3

則^AAC￡>-yS"BC=gX—x2xlxsinl20

2-10

典伊】02.（2022?全國高考乙卷）記ABC的內角A民C的對邊分別為〃也c,已知

sinCsin（A—B）=sinBsin（C—A）.

（1）證明：2a2=/?2+c2;

25

（2）若a=5,cosA=三，求二ABC的周長.

【答案】（1）見解析（2）14

【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證;

（2）根據（1）的結論結合余弦定理求出。。，從而可求得〃+c,即可得解.

【詳解】（1）證明：因為5[!1。5]11（4—5）=511155111（。一4）,

所以sinCsinAcosB—sinCsinBcosA=sinBsinCcosA—sinBsinAcosC,

所以*.、+°2一”-2bc-"+c~Y=_.C-/

ab

lac2bc2ab

anCl2+C—b1(272222

1a+b-c

即----------\b+c-a

2

所以24=〃+。2；

25

(2)解：因為〃=5,cosA=^_

由(1)得/+。2=50,

由余弦定理可得="2+一2bccosA,

貝IJ50—型力c=25,

31

所以反=31=，

2

故僅+4^b2+c2+2bc=50+31^81,

第7頁共25頁

所以Z?+c=9，

所以ABC的周長為a+〃+c=14.

命題點四解三角形中最值范圍問題

.AC

典伊|01(2022?全國?高考甲卷)已知.ABC中，點。在邊BC上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當二上

取得最小值時，BD=.

【答案】V3-1/-1+V3

【詳解】［方法一］:余弦定理設CD=2BD=2m>0,

則在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=zn2+4+2m,

在，AC。中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4/n2+4-4m,

222

AC_4m+4-4m_4（m+4+2機）-12。+機）12

A-

所以AB2~m2+4+2mm2+4+2m=4----------------r

'7m+1

12

>4——-=4-2A/33

當且僅當加+1=^即m=石-1時，等號成立,

m+1

V7m+1

所以當罰取最小值時,7〃=6-1.故答案為：A/3-1.

［方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.

則C(2t,0),A(1,石)，B(-t,0)

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AC2_⑵—-+3_4/-由+4__12

4>4-273

當且僅當/+1=石，即題》=/-1時等號成立。

［方法三］:余弦定理

設BD=x,CD=2x.由余弦定理得

。2=尤2+4+2x

2c2+b2=l2+6x2,

b2^4+4x2-4x

=尤2+4+2x

2c2+/=12+6尤2,

b2=4+4x2-4x

令生=

貝|J2c2+/02=12+6尤2,

AB

2

212+61n+6x6]2

t+2=7r>6-273,

t2>4-2y/3,

3

當且僅當％+l=—7,即X=^+1時等號成立.

x+1

［方法四］:判別式法

設BD=x,貝!]CD=2x

在△ABD中，AB2=BD2+AD--?.BDADCOSZADB=X2+4+2X，

在，ACD中，AC2^CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4x2+4-4x,

匚UI、IAC_4x-+4—4x、14%2+4—4x

所以一T=-------------，記，=—；------------，

ABx+4+2xx+4+2x

貝M4T卜2_(4+2/卜+(4_旬=0

由方程有解得：△=(4+2，y—4(4—f)(4—4r)20

即r-8r+4V0,解得:4-2y/3<t<4+2y/3

所以/=4一26，止匕時x=U=K-l

mm47

所以當會取最小值時，X=A/3-1,即=1.

AB

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cosAsin25

典例02（2022?全國新高考I）記，ABC的內角A,8,C的對邊分別為a,b,c,已知

1+sinAl+cos2B

⑴若C后27r，求&

a2+b2

⑵求的最小值.

C2

【答案】（1）工；（2）4A/2-5-

6

cosAsin2B2sinBcosBsinB

【詳解】（1）因為,即

1+sinA1+cos2B2cos2BcosB

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC=^,

而0<3苦，所以B哈

TTTT

(2)由(1)知，sinB=—cosC＞0,所以一＜。＜兀,0＜3＜一,

22

而sin2=-cosC=sin(c-]),

所以C=：+B,即有A=g_2B,所以

22I(24J

匚匚?a2+b2sin2A+sin2Bcos22B+1-cos2B

所以一z—二-----z---------=-------------.-----------

c2sin2Ccos2B

f2cos2B-l）2+l-cos2Bc2ll

-------------------------------=4COS2B+--——5>2V8-5=4V2-5?

cosB-----------------cosB

當且僅當cos?8=2時取等號，所以，廿的最小值為40-5.

??技巧<<解三角形中求邊長最值問題一般采用設角把邊長轉化成關于角的函數，最后

轉化成基本不等式或者是關于二次函數去求解。但是對于銳角三角形中，求長度或者是面積范圍及問題，

應采用邊角轉化思想，把邊長問題轉化成角度問題，再利用二次函數或者是輔助角公式去求解。

?高考猜題預計2024年高考會出現正弦余弦定理的基本應用及面積最值范圍相關題目

第10頁共25頁

.1.(2324上.湖南.模擬預測)在,ABC中，BC=3,sinB+sinC=—sinA,且ASC的面積為［sinA,

32

則A=()

71717127r

A.一B.一C.—D.—

6433

【答案】D

【分析】先利用正弦定理角化邊可得b+c=JQ,再由三角形面積公式可得歷=1,最后根據余弦定理求解

即可.

【詳解】設ABC中角A,民C所對的邊分別為a,6,c,

因為sin8+sinC=^^-sinA,所以由正弦定理可得〃+C=史?！?&5,

33

又SABC=)bcsinA=；sinA解得/?c=l,

所以由余弦定理可得cosA=/+02—'=伍十°)2-2歷一片J。-2-9=_2,

2bc2bc22

因為A?0㈤,所以A=|,

故選：D

「人心-1、,八ni、r,「sinB+sinCcosB-cosA

2.(2324上?浙江?一模)在ABC中，角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,且—------=————

cosB+cosAsinC

⑴求sinA；

(2)若點。在邊BC上，BD=2DC,c=2b,AD=2,求ABC的面積.

【答案】⑴*

(2)也

2

【分析】(1)根據題意，由正弦定理的邊角互化進行化簡，再由余弦定理，代入計算，即可得到結果;

(2)根據題意，由/4D3+/ADC=71可得cosZADB=-cosZADC,結合余弦定理列出方程，即可求得及c,

再由三角形的面積公式，代入計算，即可得到結果.

【詳解】(1)由題意得sinB-sinC+sin2C=cos23-cos2A=sin2A-sin28,

所以加+。2-。2=-6c，故cosA=]+；-a=一:

2bc2

因為sinA=.

2

第11頁共25頁

(2)設CD=X,則BD=2x,

心+必一相4+4x2-c2

在,ADB中,有cosNADB=

2ADxBD8x

A》+5-34+x2-b2

在△ADC中,有cosZADC=

~2ADxCD~4^.

又ZADB+ZADC=7i,所以cosZADB=—cosZADC,

所以有c?=6/-2〃+12.又。=20,所以廿=/+2.

在，ABC中，由余弦定理可得/=62+C2-26CCOSA.

又a=3x,c-2b,A=—,

所以有9x?=/+4/-4/x1-g)=7/.

b2=x2+2\x=中

聯立，解得所以C=2ZJ=6,

9x2=7/b=3

所以SABC=-Z>csinA=-x3x6x^=^.

ABC2222

3.（2324上?綿陽.模擬預測）在斜三角形ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,己知

cos（C-B）sinA=cos（C-A）sinB.

（1）證明：A=B；

（2）若，=sinB,求3-二的最小值.

cca

9

【答案】⑴證明見解析（2）-二

16

【詳解】（1）由題意證明如下，

在gABC中，A+B+C=n,

cos(C-B)sinA=cos(C-A)sinB,

/.(cosCcosB+sinCsinB)sinA=(cosCbosA+sinCsinA)sinB,

/.cosCbosBsinA=cosCcosAsinB,

又ABC為斜三角形，貝UcosCwO,

cosBsinA=cosAsinB,

.,.sin(A-B)=0,

A8為，ABC的內角，

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A=B.

(2)由題意及(1)得，

在,ABC中，A=B,a=b,是等腰三角形，

上十bcEI1sinC

由正弦定理八=?一，貝U丁=-，

sinBsinCbcsmB

又』二sinB,即csinB=1,

c

=sinC=sin(A+5)=sin2B,

ab

-=sin2B-sin22B=sin2B-4cos2Bsin2B=sin2B-4(1-sin2B)sin2B,

令si/B=,f(t)=t-4(l-t)t=4t2-3t,

又因為0<sin\B<l,BPO<f<l,

??.當仁號即Sin3=逅時，/(f)取最小值，且/⑺min=-2，

o4lo

11,9

——2的取a小值為一77,

ca16

^2>2_2

4(23?24上.泰州?期中)在銳角ABC中，a,b,。分別是角A,B,。的對邊，已知「，\=

(1)求角A的大小;

(2)若力=1,求ABC面積S的取值范圍.

【答案】(1)5(2)\/3"

"F萬

【詳解】(1)因為加

b2+c2-a2

^\^Xc(a2+b2-c2)=(2b-c)(b2+c2-a2)

整理得b2+c2—a1=be

又A?O,TT),所以A吟

(2)因為JLBC為銳角三角形，A=?

第13頁共25頁

71

0<B<-

2

所以,解得?<2<g,

兀62

0c<-2--7--1-Bn<一

32

所以38邛,

sin”

—cosB+-sinB

由正弦定理可得Z?sinC22上+L

sinBsinBsinB2tanB2

則S=—bcsinA=^-c3+有

-\--------,

248tan58

因為tanB>,所以。〈高＜6

3

所以1＜二+立＜立，即1aAsc面積S的取值范圍為

88tanB827

由〉創新好題?分層訓煉，（★精選8道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）

1.（2023?湖北黃岡?統考模擬預測）在，ABC中，ZA=2ZB,AC=4,BC=6,貝UABC的面積為（）

n15a

A.2不B.近C.3出iJ.-------

74

【答案】D

3進而得到cosA=；,sinB,sinA,從而求出sinC=sin（A+2）=晉

【分析】由正弦定理求出8s

利用三角形面積公式求出答案.

ACBC

【詳解】由正弦定理得

sinBsinA

因為NA=2N5,AC=4,BC=6,

4663

所以，故cosB=—,

sin5sin252sinBcosB4

則cosA=cos25=2cos2B-l=—,

8

因為A,Be（0,7i）,

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所以sinB=^1-cos2B=,sinA=Jl-cos?A=,

48

故sinC=sin(A+5)=sinAcosB+cosAsinB=x—+—x,

v7848416

=-AC-BCsinC=-x4x6x^=^^

故SABC

22164

故選：D

2.（2023上?江蘇徐州?高三?？茧A段練習）已知ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且23=A+C,

6=2,貝UABC外接圓的半徑為（）

A.近B.氈

cD.叵

33-12

【答案】B

【分析】首先求出Bp再利用正弦定理即可.

【詳解】由題意得4+5+。=35=兀，所以

b4石

=2R=—

設ABC外接圓的半徑為R,則由正弦定理得嬴萬sin至3

3

所以V

故選：B.

3.（2023?山東濟寧?統考二模）ABC的內角A3,C的對邊分別為若邊上的高為2GA=：,則

4

cosC=（）

A曬R3Vw「3百n6

A.------15.----------C.--------D.--------

1010105

【答案】B

【分析】根據已知，用c表示出a、b,然后由余弦定理可得.

【詳解】如圖，AB邊上的高為CD,

-]TTT

因為A=—，所以AD=2c,2c=bsin—

44

所以BD=c,b=2>/Ic,

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由勾股定理可得BC=VC2+4C2=限，

5c2+8c2-c23A/10

由余弦定理可得cosZACB=

2X75CX2A/2C10

故選：B

二、填空題

4.（2023上?江蘇淮安?高三江蘇省清浦中學校聯考階段練習）在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,D為

BC邊中點，若4。=2*2+02=24,貝|ABC面積S的最大值為.

【答案】40

【分析】根據向量模長公式即可HccosA=-8,結合基本不等式即可求解bc?12,進而根據三角函數的單

調性，結合面積公式即可求解.

【詳解】由于。為2C邊中點，所以AD=；（AB+AC）,平方

2_2-2-

4AD=AB+AC+2ABAC16=c2+Z?2+2Z?ccosA,

因此2&ccosA=—8,

由于。=2422Z?c,所以歷412,當且僅當人=c=2石時等號成立，

-41

故cosA=一<一一,

be3

由于y=cosx在（0㈤單調遞減，故當cosA=f時，A最小，且為鈍角，

11-4

S=—bcsinA=-------sinA=—2tanA,

■ABC22cosA

由于y=tanx在［■|,兀］單調遞增，故當tanA取最小值時，此時面積最大，故當cosA=-g時，此時A最小，

進而tan4最小，故面積最大，

由cosA=-：可得sinA=,tanA=-2①，故面積的最大值為472，

33

故答案為：40

第16頁共25頁

5.（2023?河南鄭州?統考模擬預測）ABC中，AB=4,BC=5,CA=6,/ABC平分線與AC交于點。,

貝.

【答案】當【詳解】由余弦定理cosC=BC2+AC2-A-=52+62-52=3,

2x5x64

2BCAB2x5x48

所以cos2C=2cos2?！?=—,所以NABC=2C,

8

因為5。為/ABC的平分線，所以ND5C=C,

所以sinNBDC=sin（兀一2C）=sin2C,

在△BCD中由正弦定理

sinNBDCsinC

故答案為:

6.（2023上?湖南?高三湖南省祁東縣第一中學校聯考階段練習）在ABC中，內角A,B,C對應的邊分別

是mb,c,bcosC+ccosB=3acosA.

⑴求cosA；

（2）若一ASC的面積是0,a=2,求ABC的周長.

【答案】⑴:⑵26+2

【詳解】（1）由bcosC+ccosB=3acosA,可得到sinBcosC+sinCeosB=3sinAcosA,

即sin（B+C）=3sinAcosA.

第17頁共25頁

因為B+C=TT-A,所以sin(5+C)=sinAwO,故cosA=；.

(2)由cosA==，可得sinA=迪，

33

因為SABC=gbcsinA,所以g=；bcsinA,貝ij/?c=3.

28

由余弦定理得片=b2+C2-2bccosA,即4=方2+02-]6c=(b+c)9~-§6c,

所以b+c=2后，故二ASC的周長是a+b+c=2指+2.

7.（2023?河南?校聯考模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，AB±BC,ZADC=120°,AB=CD=2AD,AACD

的面積為3.

2

⑴求sin/C4B；

⑵證明：ZCAB^ZCAD.

【答案】（1）衛（2）證明見解析

【詳解】(1)設CD=2AD=2a,a>0,

因為ACD的面積為由,120。，

2

所以1*2。*0*5111120。='^,解得。=1,

22

所以AB=