實變函數與泛函分析郭懋正答案【篇一：北京大學數學科學學院雙學位課程介紹(4)】課程類型：數、統/必修課每周3學時，3學分先修要求：高等數學（兩學期）基本目的：1.實數與極限的理論、函數的可積性、函數列與函數級數一致收斂性的基本知識。2.培養學生的抽象思維和推理能力，加深學生對微積分的理論基礎的了解，為進一步學習后續數學課程作必要的理論準備。內容提要：一.實數與極限的理論1.實數理論初步。2.確界存在定理，區間套定理，聚點。3.緊性定理（序列緊，有限覆蓋，一致連續）。4.完備性（哥西基本列，實數的另一種定義）。5.上極限與下極限。二．連續函數1.連續函數的基本性質2.閉區間上連續函數的性質3.一致連續。三.函數的可積性1.達布和，上積分與下積分。2.函數可積分的充要條件。四.函數列與函數級數的一致收斂性北京大學數學科學學院*雙學位課程介紹*---------------1.一致收斂性及其判別法。2.一致收斂函數列極限函數的性質。教學方式：課堂講授教材或參考書：1.教材：?數學分析?（雙學位）講義伍勝健2.參考書：?數學分析簡明教程?鄧東皋等高等教育出版社課程編號：00136810課程名稱：實變函數課程類型：數、統/必修課每周2學時，2學分先修要求：高等數學，線性代數基本目的：1.熟悉歐氏空間中lebesgue測度，lebesgue積分的基本理論。2.掌握l2（rn）空間理論。3.熟悉hilbert空間，banach空間的基本理論。內容提要：1.lebesgue測度與lebesgue積分：lebesgue可測集，可測函數，lebesgue積分，lebesgue積分的極限定理。2.l2（rn）空間：l2空間的基本理論教學方式：課堂講授教材：《實變函數與泛函分析》郭懋正北京大學出版學生成績評定：平時作業15分，期中考試25分，期末考試60分。北京大學數學科學學院*雙學位課程介紹*---------------課程編號：00136350課程名稱：概率論課程類型：數、統/必修課每周4+1學時，5學分先修要求：微積分，線性代數（或相當高等數學）基本目的：1.本課程的目的是引導學生學習用數學的語言，來刻劃、表達與抽象隨機現象，著重在隨機現象的“建模”。同時，這一課程也使學生對已學過的集合論、微積分、高等代數等數學知識有運用的機會，在提高學生分析問題，解決問題的能力方面是一個很好操練機會。2.重點放在隨機現象的刻劃，形成概率空間的概念。例如在概率空間這一部份，重在由等可能性分析過到一般的概率空間。對隨機變量，重點也在要學生掌握它的統計特征的刻劃方法。對于古典概型不宜過多陷于排列組合的計算技巧。內容提要：1.隨機事件及其概率1)概率的素樸定義。2)古典概型。3)事件的集合表達，事件運算與集合運算的對應。4)概率的加法公式。5)概率的公理化定義及概率的主要性質。6)條件概率（對正概率事件的條件概率）與全概公式。7)獨立性。課程代碼：311100416、311100515課程名稱：高等代數Ⅰ-ⅡadvancedalgebraⅠ-Ⅱ總學時：198周學時：6，5學分：11開課學期：二，三修讀對象：必修預修課程：無內容簡介：《高等代數》是學科基礎課程，是所有數學專業及應用數學專業的主要的基礎課。作為其中核心內容的線性代數，是理工科大學各專業的重要的數學工具，牢固掌握和深入理解其中的思想方法和技巧，對于大學生是非常重要的。《高等代數》包括兩部分內容。第一部分為多項式，第二部分為線性代數。多項式部分主要討論一元多項式的性質、最大公因式、因式分解、求根等。線性代數主要討論線性方程組、矩陣、線性空間、線性變換、歐氏空間等。選用教材：北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組，《高等代數》(第三版)，高等教育出版社，2003年。參考書目：張禾瑞、郝炳新，《高等代數》(第四版),高等教育出版社，1999年。課程編碼：311100814課程名稱：常微分方程ordinarydifferentialequation總學時：72周學時：4學分：4開課學期：五修讀對象：必修預修課程：數學分析高等代數內容簡介：《常微分方程》作為一門專業基礎課,是數學理論特別是微積分學聯系實際的重要渠道之一。通過該課程的學習，使學生在正確理解本課程的基本概念后，掌握其基本理論和主要運算技巧及方法，培養學生具備較好的分析與解決問題的能力，為學習各學科的近代知識和后繼課程打下較為堅實的基礎，同時使學生認識到數學來源于實踐，又服務于實踐。主要內容包括：一階微分方程的初等解法，一階微分方程的解的存在唯一性定理及解的初值的連續性定理，高階微分方程--高階線性方程的一般理論，常系數線性方程的解法，及一般高階線性方程的幾種解法，線性方程組：給出解的存在唯一性定理，及線性微分方程組的一般理論。對常系數線性方程組給出解矩陣的計算式。選用教材：王高雄等，《常微分方程》(第二版)，高等教育出版社,1983年。參考書目：①東北師范大學數學系，《常微分方程》，高等教育出版社,2005年。②葉彥謙，《常微分方程講義》，高等教育出版社，1982年。課程代碼：311100914課程名稱：復變函數complexanalysis總學時：72周學時：4學分：4開課學期：五修讀對象：必修預修課程：數學分析高等代數內容簡介：《復變函數》是專業基礎課，是函數論方面的基礎課程，它是數學分析的后繼課程。這門課程主要內容是復數與復變函數,解析函數,復變函數的積分,解析函數的冪級數表示法,解析函數的洛朗展式志孤立奇點,留數理論及其應用,共形映射,解析延拓和調和函數。通過本課程的教學，使學生采用理論聯系實際的方法，應用復變函數理論解決幾何學、流體力學、熱力學、電力學等方面的問題。選用教材：鐘玉泉，《復變函數》(第三版)，高等教育出版社，2004年。參考書目：①楊綸標，《復變函數》，科學出版社，2004年。②余家榮,《復變函數》(第三版)，高等教育出版社，2000年。課程代碼：311101015課程名稱：概率論與數理統計probabilityandmathematicalstatistics總學時：90周學時：5學分：5開課學期：五修讀對象：必修預修課程：數學分析高等代數內容簡介：《概率論與數理統計》是專業基礎課，本課程是唯一一門處理隨機現象的數學類必修課程，本課程研究隨機現象的統計規律性及統計推斷，設置這一門課的目的在于使學生初步掌握處理隨機現象的基本理論和方法，并獲得解決和分析某些實際問題的能力。內容主要包括三部分：第一部分為概率論，包括概率論基本概念，隨機變量的分布與數字特征，大數定律及中心極限定理等；第二部分為數理統計，包括樣本及抽樣分布，參數估計，假設檢驗，方差分析及回歸分析等；第三部分為隨機過程，包括隨機過程的基本知識，馬爾可夫鏈，平穩隨機過程等。選用教材：華東師范大學數學系，《概率論與數理統計教程》，高等教育出版社，1995年。參考書目：①復旦大學，《概率論與數理統計》，人民教育出版社，1995年。②盛驟，《概率論與數理統計》(第三版)，高等教育出版社，2001年。課程代碼：311101114課程名稱：初等數學研究elementarymathematicsresearch總學時：72周學時：4學分：4開課學期：六修讀對象：必修預修課程：數學分析高等代數內容簡介：《初等數學研究》是專業基礎課，初等數學研究主要包括初等代數和初等幾何兩部分內容，它是一門古老而又充滿生命力的學科，是師范院校數學專業的必修課程。面向新課程改革，本課程比較系統地闡述了初等數學的基礎理論，其中包括集合與邏輯、數與式的理論、函數、方程與不等式的理論、公理化方法與圖形的演繹推理、幾何變換、幾何的向量結構及坐標法、排列組合與概率統計初步以及中學數學解題策略等內容。為密切聯系中學教學實際，本課程配置了與中學數學教學、中學生數學競賽題相吻合的例題與習題，并在內容、形式上略作提高。例題分析，著重揭示初等代數與初等幾何問題中所蘊含的數學思想及通性通法，以提高學生分析問題、解決問題的能力。選用教材：①趙振威,章士藻，《初等代數研究》，華東師大出版社,1999年。②趙振威,章士藻，《初等幾何研究》，華東師大出版社，1999年。參考書目：①《曹才翰,沈百英,初等代數教程》，北京師范大學出版社，1986年。②余元希，田萬海，毛宏德，《初等代數研究》，高等教育出版社，1988年。③朱德祥，《初等幾何研究》，高等教育出版社，1990年。④鐘善基,孫瑞清，《初等幾何教材教法》，高等教育出版社，1990年。課程代碼：311101214課程名稱：近世代數modernalgebra總學時：72周學時：4學分：4開課學期：六修讀對象：必修預修課程：高等代數內容簡介：《近世代數》是專業基礎課，近世代數是近代數學的重要分支。近世代數比較全面介紹了群、環、域的理論及一些具體的群、環和域。它不僅對學習和研究現代數學起重要作用，而且對正確理解中學概念，開發和運用中學數學中隱含的現代數學思想有一定的指導作用。選用教材：《近世代數》韓士安,林磊，科學出版社，2004年。參考書目：①石生明,《近世代數初步》，高等教育出版社，2006年。②劉紹學，《初等代數基礎》，高等教育出版社，1999年。課程代碼：311101314課程名稱：實變函數與泛函分析realanalysisandfunctionanalysis總學時：72周學時：4學分：4開課學期：六修讀對象：必修預修課程：高等代數內容簡介：《實變函數與泛函分析》是專業基礎課，是是數學各專業的一門重要分析基礎課，它是學生進一步學習其它分析數學分支和科學研究必不可少的基礎知識，通過實變函數部分的學習，應使學生較好的掌握測度與積分這個基本的數學工具，特別是極限與積分順序的交換。并且在一定程度上掌握集的分析方法。泛函分析是學習和研究近代數學的純粹數學與應用數學，數理經濟數值計算及現代工程技術理論。本課程主要內容有：測度與積分，距離空間及其拓撲結構，空間與線性算子理論及其應用，內積空間中的幾何理論及應用。選用教材：王聲望，鄭維行，《實變函數與泛函分析》(第二冊),高等教育出版社,2005年。參考書目：①夏道行等,《實變函數與泛函分析》（上、下）,高等教育出版社。②郭懋正，《實變函數與泛函分析》，北京大學出版社，2005年。課程代碼：311101413課程名稱：微分幾何differentialgeometry總學時：54周學時：3學分：3開課學期：五修讀對象：選修預修課程：數學分析常微分方程內容簡介：《微分幾何》是素質拓展課程，是以數學分析為主要工具研究空間形式的一門學科，是幾何學的一個分支，由于微分幾何這門學科在科學技術和其他自然科學的領域中日趨廣泛的滲透和應用，它的生命力至今還很旺盛，從內容和方法上不斷有所更新。本課程主要介紹微分幾何中的最基礎部分—歐氏空間中曲線和曲面的局部理論，處理上采用frenet標架與雙參數活動標架法這種有力的工具，討論歐氏空間中曲線和曲面的局部性質。選用教材：鄭崇友等，《幾何學引論》(上冊)第3部分微分幾何，高等教育出版社。參考書目：①蘇步青等，《微分幾何》，高等教育出版社，1980年。②梅向明，黃敬之，《微分幾何》（第二版），高等教育出版社，1988年。③陳維桓，《微分幾何初步》，北京大學出版社，1990年。課程代碼：311101513課程名稱：拓撲學topology總學時：54周學時：3學分：3開課學期：六修讀對象：選修預修課程：數學分析內容簡介：拓撲學是專業拓展課程，是基礎性的數學分支，它研究幾何圖形在連續變形(即拓撲變換)下保持不變的性質，即拓撲性質。目前，拓撲學的概念、方法和理論已經廣泛地滲透到現代數學以及鄰近學科的許多領域，并且有了日益重要的應用。本課程主要介紹點集拓撲學（或稱一般拓撲學）的基本理論和基本方法。其內容包括：集合論初步、拓撲空間、連續映射、連通性、子空間、商空間、積空間等可數性、分離性、緊改性、完備變量空間。通過本課程的學習可以使學生從較高觀點觀察、分析已學過的數學分析、函數論和幾何的內容，加深對這些內容的認識與理解，并為進一步學習現代數學提供必要的基礎選用教材：熊金城，《點集拓撲講義》（第三版），高等教育出版社，2003年。參考書目：①林金坤，《拓撲學基礎》(第二版)，科學出版社，2004年。②尤承業，《基礎拓撲學講義》，北京大學出版社，1997年。課程代碼：311101612課程名稱：數學物理方程theequationofmathematicsandphysics總學時：36周學時：2學分：2開課學期：七修讀對象：必修預修課程：數學分析、高等代數、微分方程內容簡介：《數學物理方程》是專業拓展課程。它綜合運用前期數學知識解決有關的實際問題，是聯系數學建模和方程問題求解的橋梁。主要內容有三類最重要的偏微分方程(laplace方程,熱傳導方程,波動方程)的數學模型和各種定解條件的提出；求解偏微分方程的基本方法：分離變量法、積分變換法（fourier變換和laplace變換）、行波法、基本解和green函數法和兩類最常用的特殊—柱函數（bessel方程、bessel函數性質及應用）和球函數（legendre方程和legendre函數性質和應用）。選用教材：陳志浩，《數學物理方程》，高等教育出版社，2003年。參考書目：華中理工大學數學系，《數學物理方程與特殊函數》，高等教育出版社,2000年。課程代碼：311101713課程名稱：數學建模mathematicalmodeling總學時：54（18+36）周學時：1+2學分：3開課學期：五修讀對象：選修預修課程：數學分析，高等代數，概率論與數理統計，計算方法內容簡介：《數學建模》是專業拓展課程。主要培養學生綜合運用數學知識解決實際問題的能力與意識。主要內容有數學建模的一般方法（初等模型），微分方程與差分方程模型理論與方法及應用（種群生態學模型、動態經濟學模型、動力系統穩定性問題）、模式識別模型方法、理論與應用（代數方法、概率統計方法、人工神經網絡方法），綜合決策模型與應用（層次分析法模型）。同時對相關的現代信息處理技術及方法加以介紹。選用教材：姜啟源,謝金星,葉俊，《數學模型》(第三版)，高等教育出版社，2003年。參考書目：劉承平，《數學建模方法》，高等教育出版社，2002年。課程代碼：311101812課程名稱：運籌學operationalresearch總學時：36周學時：2學分：2開課學期：七修讀對象：選修預修課程：高等數學、線性代數內容簡介：《運籌學》是素質拓展課程，主要內容包括：運籌學簡史、線性規劃與目標規劃、整數規劃、非線性規劃、動態規劃、圖論與網絡分析、排論隊簡介、存貯論、對策論與決策論簡介。選用教材：《運籌學》（本科版），甘應愛等，清華大學出版社，2005年。參考書目：①教材編寫組，《運籌學》（第三版），清華大學出版社，2005年。【篇三：北京大學數學統計學雙學位課程介紹】數、統/必修課每周3學時，3學分先修要求：高等數學（兩學期）基本目的：1.實數與極限的理論、函數的可積性、函數列與函數級數一致收斂性的基本知識。2.培養學生的抽象思維和推理能力，加深學生對微積分的理論基礎的了解，為進一步學習后續數學課程作必要的理論準備。內容提要：一.實數與極限的理論1.實數理論初步。2.確界存在定理，區間套定理，聚點。3.緊性定理（序列緊，有限覆蓋，一致連續）。4.完備性（哥西基本列，實數的另一種定義）。5.上極限與下極限。二．連續函數1.連續函數的基本性質2.閉區間上連續函數的性質3.一致連續。三.函數的可積性1.達布和，上積分與下積分。2.函數可積分的充要條件。四.函數列與函數級數的一致收斂性1.一致收斂性及其判別法。2.一致收斂函數列極限函數的性質。教學方式：課堂講授教材或參考書：1.教材：?數學分析?（雙學位）講義伍勝健2.參考書：?數學分析簡明教程?鄧東皋等高等教育出版社課程編號：00136810課程名稱：實變函數課程類型：數、統/必修課每周2學時，2學分先修要求：高等數學，線性代數基本目的：1.熟悉歐氏空間中lebesgue測度，lebesgue積分的基本理論。2.掌握l2（rn）空間理論。3.熟悉hilbert空間，banach空間的基本理論。內容提要：1.lebesgue測度與lebesgue積分：lebesgue可測集，可測函數，lebesgue積分，lebesgue積分的極限定理。2.l2（rn）空間：l2空間的基本理論教學方式：課堂講授教材：《實變函數與泛函分析》郭懋正北京大學出版學生成績評定：平時作業15分，期中考試25分，期末考試60分。課程編號：00136350課程名稱：概率論課程類型：數、統/必修課每周4+1學時，5學分先修要求：微積分，線性代數（或相當高等數學）基本目的：1.本課程的目的是引導學生學習用數學的語言，來刻劃、表達與抽象隨機現象，著重在隨機現象的“建模”。同時，這一課程也使學生對已學過的集合論、微積分、高等代數等數學知識有運用的機會，在提高學生分析問題，解決問題的能力方面是一個很好操練機會。2.重點放在隨機現象的刻劃，形成概率空間的概念。例如在概率空間這一部份，重在由等可能性分析過到一般的概率空間。對隨機變量，重點也在要學生掌握它的統計特征的刻劃方法。對于古典概型不宜過多陷于排列組合的計算技巧。內容提要：1.隨機事件及其概率1)概率的素樸定義。2