江西省湖口中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：.班級：考號：

一'選擇題

1.復(fù)數(shù)的實部為1,且|z-i|=l,則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.iB.-iC.1D.-l

2.若tz是第四象限角，則兀-。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

3.下面關(guān)于空間幾何體的定義或結(jié)構(gòu)特征敘述錯誤的是（)

A.空間中把一個平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體是四棱柱

B.有兩個側(cè)面都是矩形的三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面

C.以直角三角形一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的

幾何體是圓錐

D.底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影一定是底面正多邊形的中心

4.已知銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若

2(cosAcosB+cosC)=A/3sinB,a=,bc=69貝！JZ?+c=()

A.9B.8C.5D.4

5.在△ABC中，點。在邊上，且滿足40=5。=2CD,3tan2B-2tanA+3=0,

則ZB的大小為（）

A兀“

A.—B

6?咤

6.下列各式中不能化簡為的是（）

A.-(CB++BM)B.-BM-DA+MB

C.AB-DC]-CBD.AD-CD+DC

7.在△ABC中，ZA=60%|AB|=2,|C4|=1,則AB-C4的值為()

A.-1B-4c4D.1

8.設(shè)/(x)=sinx.若對任意王￡0卷,都存在%￡0,1,使得

2/（%+。）=—1，則0可以是（）

3兀

AA.—兀C.—

5B-T5

二、多項選擇題

9.與a=（3,4）垂直的單位向量是（）

434_34_343

A.B.c.D.

5555，-5?，-55J5

10.下列命題中錯誤的是（）

A.若復(fù)數(shù)為滿足z：+1=0,則馬=1

B.若復(fù)數(shù)Z「滿足㈤=兇，則Z1=±Z2

C.若復(fù)數(shù)z=a+歷，則z為純虛數(shù)的充要條件是a=0

D.若復(fù)數(shù)+Z2I=0,則Z]=—Z2

11.下列結(jié)論正確的是（）

A.在△ABC中，若A>5,則sinA>sin5

B.在銳角三角形ABC中，不等式廿+°2一標(biāo)>。恒成立

C.在△回（?中,若acosB-bcosA=c,則△回（?是直角三角形

D.在△回（?中,若Z，=3,A=60。，三角形面積5=3石，則三角形的外接圓半徑為

叵

12.如圖所示,設(shè)Ox,Qy是平面內(nèi)相交成，，角的兩條數(shù)軸，弓，分別是與

無軸，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系元0y為0反射坐標(biāo)系.在0反射坐

標(biāo)系中，若QW=xq+ye2，則把有序數(shù)對（x,y）稱為向量的反射坐標(biāo)，記為

O7T

OM=（羽江在。=丁的反射坐標(biāo)系中,?=（1,2）,6=（2,-1）,其中正確的是（）

C.a-LbD.W=S

三、填空題

13.若函數(shù)/(x)=Jx_l+—,g(x)=———,則/(x)+g(x)=.

x-2x-2

14.設(shè)函數(shù)/(x)=sin]x,則/⑴+/(2)+/(3)++/(2015)=.

15.已知向量a、bc,滿足Q=b=l,a-b=——，c=xa+yb(x,yeR,y>0),

則下列四個命題中，所有正確命題的序號是.

①若x=l,則目的最小值為日；

②若x=l,則存在唯一的y,使得a-C=0；

③若同=1,則x+y的最小值為-1；

④若卜|=1,則a-c+b?<:的最小值為-;.

16.已知網(wǎng)=6,|/=3,若對V/eR,恒有向T詞2網(wǎng),且點M滿足

。1

OM=-OE+-OA,N為。4的中點，則卜.

四、解答題

cos—+a<0$(2兀-a)?sin—a

17.已知小)2

sm(一兀一a)sin1耳+aJ

(1)化簡/(a);

(2)若a是第三象限角，且cos[^-g]=g，求/(a)的值.

18.已知復(fù)數(shù)z=(l+i)m2—3im+2i—1.

(1)當(dāng)實數(shù)機為何值時，復(fù)數(shù)2為純虛數(shù)；

(2)當(dāng)實數(shù)加為何值時，復(fù)數(shù)Z表示的點位于第四象限.

19.設(shè)向量方的坐標(biāo)為才=(sin%,石cos九),b=(cosx,cosx).

(1)若。〃6,求sinxcosx的值；

(2)若函數(shù)/(x)=a0-#，求/⑴的對稱軸方程和/*)的值.

20.△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,b=l,cos2A-cos2B+cos2C=1.

(1)求△ABC面積的最大值;

(2)若AB-AC<L,求工+工的取值范圍.

2ac

OjT

21.在三角形ABC中，已知a,b,c分別為角A,B,C的對邊，A=—.

3

(1)若c=2,B=-,AO平分角A交BC于D,求A￡>的長；

4

(2)若。，c為函數(shù)/(x)=V-&5x+l的兩個不同的零點，求邊上的高.

22.已知函數(shù)/(x)=2忘sin(ox+o)[0<0<1>則的圖象過點A(0,V^,

(1)求0,(p的值；

(2)若〃。)=半，且夕(-￥，：]，求/(。―1)的值；

(3)若〃%)-根<0在元￡-4,；上恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

參考答案

1.答案：C

解析：設(shè)復(fù)數(shù)Z=1+歷，|z-i|=|l+(Z?-l)i|=1,

所以，1+9-1)2=1,解得Z?=l,z=l+i.

故選：C.

2.答案：C

解析：因為c是第四象限角，所以2E—二<。<2?，左GZ,

2

兀3兀

所以一2E<-a<——2kn,左eZ,所以兀一2kn<n-a<---2kn,左eZ,

22

所以兀-a是第三象限角.

故選：C.

3.答案：D

解析：對于A,由四棱柱的定義：空間中把一個平行四邊形按某一方向平移所形成的

幾何體是四棱柱，故A正確；

對于B,根據(jù)直線與平面的判定定理，得到這兩個側(cè)面的交線垂直于底面，是真命

題，故B正確；

對于C,由圓錐的定義：以直角三角形一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)

而形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐，故C正確；

對于D,底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影不一定是底面正多邊形的中心，

故D錯誤.

故選：D.

4.答案：C

解析：2(cosAcos3+cosC)=6sin3,A+B+C—TI,

ZcosAcosB+Zcoslu—A—BjugsinB,2cosAcosB-2cos(A+B)=^sinB,

2sinAsin3=6sin3.

△ABC為銳角三角形，sinBwO,sinA=《^.而A/OR,A」.

2I2)3

由余弦定理可得"+。2—2bccos巴，二7=Z?2+/—6,二/+°2=13,

3

貝U6+c=J(l+c)2=^lb2+c2+2bc=V13+12=5.

故選：C.

5.答案：C

解析：設(shè)4MC=N1,

因為AD=BD,所以NB4D=N5,

因為AD=50=200,—=—=2,

CDCD

Z1=ZA-ZB,"=兀一(NA+ZB),

ADsinCsin(A+B)tanA+tanB

化簡得tan5=3tanA,

CDsinZ1sin(A-B)tanA-tanB

又因為3tan25-2tanA+3=0,

所以有Btai?5—610113+3=0,

解得tanB=l,又因為Be(0,7t),所以3=巴，

4

故選：C.

6.答案：B

解析：對于A：

-(CB+MC^-(DA+BM^=-(CB+MC+DA+BM^=-(CB+BM+MC+DA^=-DA=AD

,故A正確；

對于B：—BM—DA+MB=MB—DA+MB=—DA+2MB,故B錯誤；

對于C：^AB-DC)-CB=AB-DC-CB=AB+CD+BC=AD,故C正確；

對于D：AD-(CD+DC\=AD-Q=AD,故D正確；

故選：B.

7.答案：A

解析：因為△ABC中，ZA=60%所以A3與C4的夾角為120。，由數(shù)量積的定義可得

AB-G4=|AB||CA|COS120°=-1.

故選A.

8.答案：B

解析：因為對任意為e0,|,都存在0g，使得/（%）-2/（/+。）=-1成立，

所以2/5+。）=/&）+1，即“%+，）=；［/（石）+1］，

因為/（x）=sinx,Xje0,，，所以/（石）?0,1］,

若對任意為e0,1,都存在々e，使得/&）-2〃/+。）=-1成立,

得=/（々+'），只需sin（x2+e）mm，SiMz+O）1mx即可，

因為々e0,5,貝0,^+0

對于A：當(dāng)6=巴時，x2+3e—,則sin（x,+e）esin—,1,因為

5510v'5

.兀.兀1

sin—>sm—=一,

562

所以sin（%+。）的取值不符合條件，故A錯誤;

07T97r

對于B：當(dāng)6=（時，—,貝!Jsin（%2+。）￡siin——,1，因為

510v2710

sinj^<sin^=^,sin"2+。）的取值符合條件，故B正確;

.11兀.3兀

對于C：當(dāng)，=，時，x+0e與，器，則sin（%+e）esin----,sin—

2105

因為sin^vl,sin（z+。）的取值不符合條件，故C錯誤;

,137r,4兀

對于D：當(dāng)夕二彳時，x+0e,則sin（x2+，）esin-,-s-i-n—9

2105

因為sin?<l,豆11（々+。）的取值不符合條件，故D錯誤;

故選：B.

9.答案：CD

解析：設(shè)所求的向量為(x,y),

由題意可得，，

3x+4y=0

'4f4

x=—x=——

解之可得5或5.

33

Iy=--5I-y=-5

故選：CD.

10.答案：ABC

解析：當(dāng)z=±i時滿足z；+l=0,A錯;

當(dāng)Z]=l+i,Z2=1-i時滿足團=同，但土Z2,B錯；

復(fù)數(shù)2=。+歷，當(dāng)。=0且6=0時，復(fù)數(shù)Z為實數(shù)，不是純虛數(shù)，C錯；

令Z1=a+/?i,z2-c+di,a,b,c,deR,z】+4=(a+c)+(6+d)i,

當(dāng)[Z]+Z2|=O時，即J(a+c>+(b+d)2=0,a=-c,c--d,則Z[=-Z2成立，D正確.

故選：ABC.

11.答案：ABC

解析：對于A,在△回(?中，由利用正弦定理得

27?sinA>27?sinBsinA>sinB,故A正確.

對于B,由銳角三角形知0<A(a，則cos,二,一。〉0,Z?12+c2-?2>0,故

22bc

B正確.

對于C,由acosB-bcosA=c9利用正弦定理得sinAcos5-sin5cosA=sinC,即

sin(A+B)=sin(A-B),故A+5+A—5=兀，即A=],則△ABC是直角三角形，故

C正確.

對于D,S=-Z?csinA=—x3xcx—=373,解得c=4,利用余弦定理知

222

1,—

a2=/72+C2-2Z;CCOSA=9+16-2X3X4X-=13,所以。=小，又因為

2

A/13/TT22y/39A/39"cZdfc'n

------=V13x-^=——=2R,R=,故D錯俁.

sin60°G33

故選：ABC.

12.答案：AD

解析：A選項，由題意可知a=q+2e?,b=2el-e2,

故a-B=(-1,3),A正確;

ci—b=+2e、—2f?1+e'=—q+3t?2，

C選項，

=

a?6=(G+2e2)(26—e2)=2q+3^?c2~=2卜i|+31^|,11cos——2^2|=2+3x~

,故a,b不垂直，C錯誤；

D選項，

,D正確.

故選：AD.

13.答案：xe[l,2)J(2,+a))

解析:f(X)+g(X)=y/x-l+—-----=V-V-l，

x-2x-2

在函數(shù)y(x)=&11+，中，r-1-0,可得/co的定義域為工2)-(2,+8),

x-2[X-2H0

在函數(shù)g(x)=——匚中，x-2w0,可得g(x)的定義域為(YO,2)(2,4<O),

x2

則f(x)+g(x)的定義域為口,2)J(2收),

故于(X)+g(x)=Jx-1,Xe[1,2)(2,+00).

14.答案：0

2兀

解析：/(x)=sin/的周期7=2=6.

33

.■./(l)+/(2)+/(3)+...+/(2015)

=335"⑴+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)]+/(2011)+/(2012)+/(2013)+f(2014)+/(2015)

=335^sin|+siny+siny+siny+siny+sinyj+f(335x6+1)+f(335x6+2)+f(335x6+3)

+f(335x6+4)+f(335x6+5)

=335x0+/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)

.71.2兀..4兀.5兀八

=sin—+sin--1-sin7i+sin---1-sin—=0.

3333

故答案為：0.

15.答案：①②③④

解析：①若x=l,c=a+yb,|c|=忖+2ya-b+y21/?|=y1-y+1,

工]+3?3,當(dāng)J.時取得最小值，所以①正確；

112J44-2

②若x=l,c=a+yb,=〃?(〃+y/?)=1—;y=0,解得y=2,故②正確；

③"c=xa+yb,若卜|=1,y20,

2222

|c|=x1^|+2xya-b+J|z?|=x+y-xy=19

y

2x——二COSO

,,cfj+l-y2=1,令，ae[0,可，

——y=sincr

I2，

x+y=gsina+cosa=2sin[a+《),ae[0,7i],-\<x+y<2,所以③正確；

@a-c+b-c=a-^xa+yb^+b-^xa+yb^=^{x+,若|c|=l,y20時，由③知④正確.

故答案為：①②③④.

16.答案：拒

解析：因為|OA——2/OA.OE+『OE?=-2tOA-OE+t2

=66-2必。￡+9?,

|AE|=\pE-O^=\loA-2OAOE+OE2=J*-2OA-OE+\p^

=536-2OAOE+9,

因為對V/eR,恒有|0470日2,目，

所以,36—2,OAOE+9/>.36-2OAOE+9對V/eR恒成立，

即(一2，+2)04?0￡+9/一920對\//€51恒成立，

即9r-ItOAOE+20A?0E—920對VfeR恒成立，

所以A=(-2040EJ-4x9(2OAOE-9卜0,

即(040E—9『V0,所以。4OE=9,

又MN=ON-OM^-OA--OE+-OA\^-OA--OE,

2(33J63

所以J阿=：QA_goE=J[：QA_goE]

=J-0A1--0A0E+-0E2=J—|OA|2--OA-OE+-|OE|2=技

V3699V36119911

故答案為：V3.

17、

(1)答案：-cosa

解析：

-sintz-costz-sinf-

一sin(兀+a)?(—cos①

-sincr-cosa?(-cosa)

------------------二-cosa.

sina?(—cos①

(2)答案：”&)=孚

cos"當(dāng)=_sina=L

解析:

I2J5

1

sina=——

5

又a為第三象限角,

2瓜

\_2網(wǎng)

??f（a）=.

18.答案：（1）m=-l

(2)mG(1,2)

解析：(1)復(fù)數(shù)z=(l+i)/—3im+2i—1=(病—1)+—3根+2)i,

FT?2—1—0

復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，m,解得加=-1,

m-3m+2^0

一.機=一1時，z為純虛數(shù).

袱2_]＞0

(2)復(fù)數(shù)z表示的點位于第四象限，可得，解得1＜相＜2,

m-3m+2＜0

當(dāng)1(根＜2時，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，

,加的取值范圍為(1,2).

19.答案：⑴。或手

⑵對稱軸方程為-號墨kGZ,于曦縣普

解析：（1）allb,

/.sinxcosx-y/3cos2x=0,

.?.①cosx=0時，sinxcosx=0；

②cosxw0時，sinx-立cos%=0,

tanx=V3,

.?.sinx=無，cosx」或sinx=-無1

COSX-----9

2222

smxcosx=

4

綜上得，sinxcosx=0或

(2)/(x)=a-b

=sinxcosx+A/3COS*2X-

——sin2xH-----(1+cos2x)-----

222

=sin(2x+^),

^2x+-=-+kii,kwZ,解得x=N+如，kwZ,

32122

所以/(x)的對稱軸方程為戶自+g,keZ,

所以/(—)=sin(2x—+—)

243

71.71

=sin—cos—+cos—sin—

叵6e

=-X

V2+V6

20.答案:

解析：(1)由題意可得：

cos2A-cos2B+cos2C=(l-sin2A)—(1-sin?3)+(1-sin?C)=1,

整理得sin2A+sin2C=sin/,

由正弦定理可得：a~+c2^b2,所以△回(?為直角三角形且3=色,

2

又因為^+。2224,當(dāng)且僅當(dāng)。=C時，等號成立,

則2Z?c</=l,則acV工，

2

所以△ABC面積5小比=工理〈,，即△ABC面積的最大值為

△ABC244

(2)由題意可知AB-AC=|AB,Aq<osA=|ABj='2<；,所以0<°<?，

因為儲+°2=1,設(shè)0=$111。，a-cosO,

^,11111sin0+cos0

acsin6^cos8sin9cos夕

令％=sine+cos6=V5sin[e+2],

因為可0,：,則

可得sin[e+：]e[￥，l],故/=+e0,0)，

又因為/=(sin6+cos0)2=l+2sin6cos。，可得sinSeos。=—^—,

所以'e(L友)’

構(gòu)建/?⑺=1^=3，re"),

tTt--

t

則y=在(1,0)上單調(diào)遞增，且一；>0,

可得〃/)=；在(1,0)上單調(diào)遞減，所以7?⑺〉/(忘)=—彳=20,

t--夜--廣

tV2

21、

(1)答案：2(6-1)

解析：因為sinABDA=sin(兀---B)