《3.1.1橢圓及其標準方程》教案【教材分析】本節課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節課主要學習橢圓及其標準方程從知識上講，橢圓的標準方程是解析法的進一步運用，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質的基礎；從方法上講，它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎；從教材編排上講，現行教材中把三種圓錐曲線獨編一章，更突出了橢圓的重要地位.因此本節課有承前啟后的作用，是本章和本節的重點內容.是幾何的研究實現了代數化。數與形的有機結合，在本章中得到了充分體現。【教學目標與核心素養】課程目標學科素養A.理解橢圓的定義及橢圓的標準方程．B.掌握用定義法和待定系數法求橢圓的標準方程．C.理解橢圓標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關問題．1.數學抽象：曲線與方程的關系2.邏輯推理：曲線的方程與方程的曲線的關系3.數學運算：根據條件求曲線的方程4.數學建模：運用方程研究曲線的性質【教學重點】：橢圓的定義及橢圓的標準方程【教學難點】：運用標準方程解決相關問題【教學過程】教學過程教學設計意圖一、情境導學橢圓是圓錐曲線的一種具有豐富的幾何性質，在科研生產和人類生活中具有廣泛的應用，那么橢圓到底有怎樣的幾何性質，我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質奠定基礎。二、探究新知取一條定長的細線，把它的兩端都固定在圖板的同一點套上鉛筆拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是一個圓。如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板中的兩點F1,F2，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？1．橢圓的定義把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于______________的點的軌跡叫做橢圓，這_______叫做橢圓的焦點，______________叫做橢圓的焦距，焦距的____稱為半焦距．常數(大于|F1F2|);兩個定點;兩焦點間的距離;一半思考：(1)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”的常數，其他條件不變，點的軌跡是什么？(2)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“小于|F1F2|”的常數，其他條件不變，動點的軌跡是什么？[提示](1)點的軌跡是線段F1F2.(2)當距離之和小于|F1F2|時，動點的軌跡不存在．觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立坐標系可能使所得的橢圓方程形式簡單？一般地，如果橢圓的焦點為F1和F2，焦距為2c，而且橢圓上的動點P滿足，PF1+PF2=2a其中建立平面直角坐標系，如圖所示，此時,橢圓的焦點分別為F1（-c,0橢圓的標準方程(x+c)2+y2為了化簡方程①，我們將其左邊一個根式移到右邊，得得(x+c)對方程②兩邊平方，得(x+c)2+y2整理，得a2-cx=a對方程③兩邊平方，得a4-2整理得a2-c2x將方程④兩邊同除以a2x2a由橢圓的定義可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2觀察圖，你能從中找出表示a，c，問題思考由圖可知，PF1=PF2=a令b=

PO=a；x2a2+y2稱焦點在x軸上的橢圓方程.設橢圓的焦點為F1和F2，焦距為2c

，而且橢圓上的動點P滿足PF1+PF2=2a,（1）橢圓焦點的坐標分別是什么？（2）能否通過x2a2+yy2a2+x2b2.橢圓的標準方程

焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程圖形焦點坐標F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關系b2=a2-c21.a=6,c=1的橢圓的標準方程是()A.x236+C.x236+y212.橢圓x225+yA.5 B.6C.7 D.83.橢圓4x2+9y2=1的焦點坐標是()A.(±5,0)B.(0,±5)C.±56解析:(1)易得為D選項.(2)設橢圓的左、右焦點分別為F1,F2,若|PF1|=2,結合橢圓定義|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.(3)∵橢圓的標準方程為x2∴a2=14,b2=19,∴c2=a2-b2=∴焦點坐標為±5(3)∵橢圓的標準方程為x214+y219=1,∴a2∴c2=a2-b2=14∴焦點坐標為±5三、典例解析例1求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別為F1(－4,0)，F2(4,0)，并且橢圓上一點P與兩焦點的距離的和等于10；(2)焦點坐標分別為(0，－2)，(0,2)，經過點(4,3eq\r(2))；(3)經過兩點(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2))).[解](1)因為橢圓的焦點在x軸上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(25－16)＝3，所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以可設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．法一：由橢圓的定義知2a＝eq\r(4－02＋3\r(2)＋22)＋eq\r(4－02＋3\r(2)－22)＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝eq\r(a2－c2)＝4eq\r(2).所以橢圓的標準方程為eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1.法二：因為所求橢圓過點(4,3eq\r(2))，所以eq\f(18,a2)＋eq\f(16,b2)＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.所以橢圓的標準方程為eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1.(3)法一：若焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.若焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＝8，,a2＝4.))則a2＜b2，與a＞b＞0矛盾，舍去．綜上可知，所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.法二：設橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分別將兩點的坐標(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入橢圓的一般方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.用待定系數法求橢圓標準方程的一般步驟(1)定位置：根據條件判斷橢圓的焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能．(2)設方程：根據上述判斷設方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．(3)找關系：根據已知條件建立關于a，b，c(或m，n)的方程組．(4)得方程：解方程組，將解代入所設方程，寫出標準形式即為所求．跟蹤訓練1．求與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1有相同焦點，且過點(3，eq\r(15))的橢圓的標準方程．[解]法一：因為所求橢圓與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點相同，所以其焦點在x軸上，且c2＝25－9＝16.設所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16①.又點(3，eq\r(15))在所求橢圓上，所以eq\f(32,a2)＋eq\f(\r(15)2,b2)＝1，即eq\f(9,a2)＋eq\f(15,b2)＝1②.由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1.法二：由題意可設所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,25＋λ)＋eq\f(y2,9＋λ)＝1.又橢圓過點(3，eq\r(15))，將x＝3，y＝eq\r(15)代入方程得eq\f(9,25＋λ)＋eq\f(15,9＋λ)＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1.例2(1)已知P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上一動點，O為坐標原點，則線段OP中點Q的軌跡方程為______________．(2)如圖所示，圓C：(x＋1)2＋y2＝25及點A(1,0)，Q為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于點M，求點M的軌跡方程．典例解析[思路探究](1)點Q為OP的中點?點Q與點P的坐標關系?代入法求解．(2)由垂直平分線的性質和橢圓的定義進行求解．(1)x2＋eq\f(y2,2)＝1[設Q(x，y)，P(x0，y0)，由點Q是線段OP的中點知x0＝2x，y0＝2y，又eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),8)＝1，所以eq\f(2x2,4)＋eq\f(2y2,8)＝1，即x2＋eq\f(y2,2)＝1.](2)[解]由垂直平分線的性質可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，∴|CM|＋|MA|＝5.∴點M的軌跡為橢圓，其中2a＝5，焦點為C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝eq\f(5,2)，c＝1，∴b2＝a2－c2＝eq\f(25,4)－1＝eq\f(21,4).∴所求點M的軌跡方程為eq\f(x2,\f(25,4))＋eq\f(y2,\f(21,4))＝1，即eq\f(4x2,25)＋eq\f(4y2,21)＝1.1．與橢圓有關的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法，本例(1)所用方法為代入法，例(2)所用方法為定義法．2．對定義法求軌跡方程的認識如果能確定動點運動的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法．定義法在我們后續要學習的圓錐曲線的問題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法．3．代入法(相關點法)若所求軌跡上的動點P(x，y)與另一個已知曲線C：F(x，y)＝0上的動點Q(x1，y1)存在著某種聯系，可以把點Q的坐標用點P的坐標表示出來，然后代入已知曲線C的方程F(x，y)＝0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關點法)．跟蹤訓練2．已知x軸上一定點A(1,0)，Q為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上任一點，求線段AQ中點M的軌跡方程．[解]設中點M的坐標為(x，y)，點Q的坐標為(x0，y0)．利用中點坐標公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－1，,y0＝2y.))∵Q(x0，y0)在橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上，∴eq\f(x\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1.將x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得eq\f(2x－12,4)＋(2y)2＝1.故所求AQ的中點M的軌跡方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up24(2)＋4y2＝1.通過具體的情景，讓學生對橢圓有一個直觀的印象，同時類比圓的定義，抽象出橢圓的幾何定義。發展學生數學抽象，直觀想象的核心素養。運用解析法，求出橢圓的方程，獲得橢圓的標準方程。幫助學生進一步體會數形結合的思想方法。發展學生數學運算，數學抽象和數學建模的核心素養。通過典型例題，掌握根據橢圓的定義求出其方程的基本方法，即待定系數法，提升學生數學建模，數形結合，及方程思想，發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養。通過圓與圓位置關系的綜合問題，提升學生數學建模，數形結合，及方程思想，發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養。三、達標檢測1．橢圓eq\f(x2,25)＋y2＝1上一點P到一個焦點的距離為2，則點P到另一個焦點的距離為()A．5B．6C．7D．8D[根據橢圓的定義知，P到另一個焦點的距離為2a－2＝2×5－2＝8.]2．已知橢圓4x2＋ky2＝4的一個焦點坐標是(0,1)，則實數k的值是()A．1B．2C．3D．4B[橢圓方程可化為x2＋eq\f(y2,\f(4,k))＝1，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)>1，,\f(4,k)－1＝1，))解得k＝2.]3．若方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2m－1)＝1表示橢圓，則實數m滿足的條件是________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(m＞\f(1,2)且m≠1)))[由方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2m－1)＝1表示橢圓，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,2m－1＞0，,m≠2m－1，))解得m＞eq\f(1,2)且m≠1.]4．設F1，F2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，設橢圓C上一點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))到兩焦點F1，F2的距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標．[解]∵橢圓上一點到兩焦點的距離之和為4，∴2a＝4，a2＝4，∵點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))是橢圓上的一點，∴eq\f(\r(3)2,4)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up24(2),b2)＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.焦點坐標分別為(－1,0)，(1,0)．5.如圖所示,在圓C:(x+1)2+y2=25內有一點A(1,0).Q為圓C上任意一點,線段AQ的垂直平分線與C,Q的連線交于點M,當點Q在圓C上運動時,求點M的軌跡方程.解:如圖所示,連接MA.由題意知點M在線段CQ上,從而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又點M在AQ的垂直平分線上,則|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.又A(1,0),C(-1,0),故點M的軌跡是以(1,0),(-1,0)為焦點的橢圓,且2a=5,c=1,故a=52,b2=a2-c2=254-1=214通過練習鞏固本節所學知識，通過學生解決問題，發展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養。四、小結五、課時練通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高概括能力。【教學反思】“橢圓及其標準方程”是在學生已學過坐標平面上圓的方程的基礎上，運用“曲線和方程”理論解決具體的二次曲線的又一實例.學生在學習上還是有一定的基礎的。教學按照有有生活中的實例，出發，類比圓的定義，從而獲得橢圓的定義，進而運用解析法，求出橢圓的標準方程，并能簡單運用。《3.1.1橢圓及其標準方程》導學案【學習目標】1.理解橢圓的定義及橢圓的標準方程．2.掌握用定義法和待定系數法求橢圓的標準方程．3.理解橢圓標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關問題．【重點和難點】重點：橢圓的定義及橢圓的標準方程難點：運用標準方程解決相關問題【知識梳理】1．橢圓的定義把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于______________的點的軌跡叫做橢圓，這_______叫做橢圓的焦點，______________叫做橢圓的焦距，焦距的____稱為半焦距．思考：(1)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”的常數，其他條件不變，點的軌跡是什么？(2)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“小于|F1F2|”的常數，其他條件不變，動點的軌跡是什么？2.橢圓的標準方程

焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程圖形焦點坐標F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關系b2=a2-c21.a=6,c=1的橢圓的標準方程是()A.x236+y235=1B.y236+x2.橢圓x225+yA.5 B.6C.7 D.83.橢圓4x2+9y2=1的焦點坐標是()A.(±5,0)B.(0,±5)C.±56【學習過程】一、情境導學橢圓是圓錐曲線的一種具有豐富的幾何性質，在科研生產和人類生活中具有廣泛的應用，那么橢圓到底有怎樣的幾何性質，我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質奠定基礎。探究取一條定長的細線，把它的兩端都固定在圖板的同一點套上鉛筆拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是一個圓。如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板中的兩點F1,F2，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立坐標系可能使所得的橢圓方程形式簡單？一般地，如果橢圓的焦點為F1和F2，焦距為2c，而且橢圓上的動點P滿足，PF1+PF2=2a其中a>c>0.以橢圓的標準方程(x+c)2+y2為了化簡方程①，我們將其左邊一個根式移到右邊，得得(x+c)對方程②兩邊平方，得(x+c)2+y2整理，得a2-cx=a對方程③兩邊平方，得a4-2整理得a2-c2x將方程④兩邊同除以a2x2a由橢圓的定義可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2觀察圖，你能從中找出表示a，c，由圖可知，PF1=PF2=a令b=

PO=a；x2a2+y2稱焦點在x軸上的橢圓方程.設橢圓的焦點為F1和F2，焦距為2其中a>c>0.以F1F2所在直線為y（1）橢圓焦點的坐標分別是什么？（2）能否通過x2a2+yy2a2+x2b二、典例解析例1求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別為F1(－4,0)，F2(4,0)，并且橢圓上一點P與兩焦點的距離的和等于10；(2)焦點坐標分別為(0，－2)，(0,2)，經過點(4,3eq\r(2))；(3)經過兩點(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2))).用待定系數法求橢圓標準方程的一般步驟(1)定位置：根據條件判斷橢圓的焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能．(2)設方程：根據上述判斷設方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．(3)找關系：根據已知條件建立關于a，b，c(或m，n)的方程組．(4)得方程：解方程組，將解代入所設方程，寫出標準形式即為所求．跟蹤訓練1．求與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1有相同焦點，且過點(3，eq\r(15))的橢圓的標準方程．例2(1)已知P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上一動點，O為坐標原點，則線段OP中點Q的軌跡方程為______________．(2)如圖所示，圓C：(x＋1)2＋y2＝25及點A(1,0)，Q為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于點M，求點M的軌跡方程．典例解析1．與橢圓有關的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法，本例(1)所用方法為代入法，例(2)所用方法為定義法．2．對定義法求軌跡方程的認識如果能確定動點運動的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法．定義法在我們后續要學習的圓錐曲線的問題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法．3．代入法(相關點法)若所求軌跡上的動點P(x，y)與另一個已知曲線C：F(x，y)＝0上的動點Q(x1，y1)存在著某種聯系，可以把點Q的坐標用點P的坐標表示出來，然后代入已知曲線C的方程F(x，y)＝0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關點法)．跟蹤訓練2．已知x軸上一定點A(1,0)，Q為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上任一點，求線段AQ中點M的軌跡方程．【達標檢測】1．橢圓eq\f(x2,25)＋y2＝1上一點P到一個焦點的距離為2，則點P到另一個焦點的距離為()A．5B．6C．7D．82．已知橢圓4x2＋ky2＝4的一個焦點坐標是(0,1)，則實數k的值是()A．1B．2C．3D．43．若方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2m－1)＝1表示橢圓，則實數m滿足的條件是________．4．設F1，F2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，設橢圓C上一點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))到兩焦點F1，F2的距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標．5.如圖所示,在圓C:(x+1)2+y2=25內有一點A(1,0).Q為圓C上任意一點,線段AQ的垂直平分線與C,Q的連線交于點M,當點Q在圓C上運動時,求點M的軌跡方程.【課堂小結】【參考答案】知識梳理常數(大于|F1F2|);兩個定點;兩焦點間的距離;一半思考：[提示](1)點的軌跡是線段F1F2.(2)當距離之和小于|F1F2|時，動點的軌跡不存在．小試牛刀：解析:(1)易得為D選項.(2)設橢圓的左、右焦點分別為F1,F2,若|PF1|=2,結合橢圓定義|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.(3)∵橢圓的標準方程為x214+y219=1,∴a2=14,b2=19,∴∴焦點坐標為±5(3)∵橢圓的標準方程為x214+y219=1,∴a2∴c2=a2-b2=14-19=學習過程例1[解](1)因為橢圓的焦點在x軸上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(25－16)＝3，所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以可設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．法一：由橢圓的定義知2a＝eq\r(4－02＋3\r(2)＋22)＋eq\r(4－02＋3\r(2)－22)＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝eq\r(a2－c2)＝4eq\r(2).所以橢圓的標準方程為eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1.法二：因為所求橢圓過點(4,3eq\r(2))，所以eq\f(18,a2)＋eq\f(16,b2)＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.所以橢圓的標準方程為eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1.(3)法一：若焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.若焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＝8，,a2＝4.))則a2＜b2，與a＞b＞0矛盾，舍去．綜上可知，所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.法二：設橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分別將兩點的坐標(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入橢圓的一般方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.跟蹤訓練1．[解]法一：因為所求橢圓與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點相同，所以其焦點在x軸上，且c2＝25－9＝16.設所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16①.又點(3，eq\r(15))在所求橢圓上，所以eq\f(32,a2)＋eq\f(\r(15)2,b2)＝1，即eq\f(9,a2)＋eq\f(15,b2)＝1②.由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1.法二：由題意可設所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,25＋λ)＋eq\f(y2,9＋λ)＝1.又橢圓過點(3，eq\r(15))，將x＝3，y＝eq\r(15)代入方程得eq\f(9,25＋λ)＋eq\f(15,9＋λ)＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1.例2[思路探究](1)點Q為OP的中點?點Q與點P的坐標關系?代入法求解．(2)由垂直平分線的性質和橢圓的定義進行求解．(1)x2＋eq\f(y2,2)＝1[設Q(x，y)，P(x0，y0)，由點Q是線段OP的中點知x0＝2x，y0＝2y，又eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),8)＝1，所以eq\f(2x2,4)＋eq\f(2y2,8)＝1，即x2＋eq\f(y2,2)＝1.](2)[解]由垂直平分線的性質可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，∴|CM|＋|MA|＝5.∴點M的軌跡為橢圓，其中2a＝5，焦點為C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝eq\f(5,2)，c＝1，∴b2＝a2－c2＝eq\f(25,4)－1＝eq\f(21,4).∴所求點M的軌跡方程為eq\f(x2,\f(25,4))＋eq\f(y2,\f(21,4))＝1，即eq\f(4x2,25)＋eq\f(4y2,21)＝1.跟蹤訓練2．[解]設中點M的坐標為(x，y)，點Q的坐標為(x0，y0)．利用中點坐標公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－1，,y0＝2y.))∵Q(x0，y0)在橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上，∴eq\f(x\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1.將x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得eq\f(2x－12,4)＋(2y)2＝1.故所求AQ的中點M的軌跡方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up24(2)＋4y2＝1.達標檢測1．D[根據橢圓的定義知，P到另一個焦點的距離為2a－2＝2×5－2＝8.]2．B[橢圓方程可化為x2＋eq\f(y2,\f(4,k))＝1，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)>1，,\f(4,k)－1＝1，))解得k＝2.]3．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(m＞\f(1,2)且m≠1)))[由方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2m－1)＝1表示橢圓，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,2m－1＞0，,m≠2m－1，))解得m＞eq\f(1,2)且m≠1.]4．[解]∵橢圓上一點到兩焦點的距離之和為4，∴2a＝4，a2＝4，∵點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))是橢圓上的一點，∴eq\f(\r(3)2,4)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up24(2),b2)＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.焦點坐標分別為(－1,0)，(1,0)．5.解:如圖所示,連接MA.由題意知點M在線段CQ上,從而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又點M在AQ的垂直平分線上,則|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.又A(1,0),C(-1,0),故點M的軌跡是以(1,0),(-1,0)為焦點的橢圓,且2a=5,c=1,故a=52,b2=a2-c2=254-1=故點M的軌跡方程為x2《3.1.1橢圓及其標準方程-基礎練》同步練習一、選擇題1．下列說法正確的是（）A．到點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓B．到點的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓C．到點的距離之和等于12的點的軌跡是橢圓D．到點距離相等的點的軌跡是橢圓2．若橢圓的右焦點為，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于，兩點，則的周長為（）A． B． C．6 D．8，的周長為.3.若橢圓2a2x2-ay2=2的一個焦點是(-2，0)，則a=（）A． B． C． D．4.已知△ABC的周長為20，且頂點B（0，﹣4），C（0，4），則頂點A的軌跡方程是（）A．（x≠0） B．（x≠0）C．（x≠0） D．（x≠0）5．（多選題）已知橢圓的左、右焦點分別為，定點，若點P是橢圓E上的動點，則的值可能為（）A．7 B．10 C．17 D．196．（多選題）已知P是橢圓上一點，是其兩個焦點，則的大小可能為（）A． B． C． D．二、填空題7.已知橢圓的焦點在y軸上,其上任意一點到兩焦點的距離和為8,焦距為215,則此橢圓的標準方程為.

8.橢圓x212+y23=1的一個焦點為F9．已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上一點，，，則______．10．如圖所示，分別為橢圓的左右焦點，點P在橢圓上，的面積為的正三角形，則的值為.

三、解答題11．求滿足下列條件的橢圓的標準方程.(1)焦點在y軸上,焦距是4,且經過點M(3,2);(2)c∶a=5∶13,且橢圓上一點到兩焦點的距離的和為26.12.已知某橢圓C，它的中心在坐標原點，左焦點為F（﹣，0），且過點D（2，0）．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若已知點A（1，），當點P在橢圓C上變動時，求出線段PA中點M的軌跡方程．《3.1.1橢圓及其標準方程-基礎練》同步練習答案解析一、選擇題1．下列說法正確的是（）A．到點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓B．到點的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓C．到點的距離之和等于12的點的軌跡是橢圓D．到點距離相等的點的軌跡是橢圓【答案】C【解析】對于選項，，故到點的距離之和等于8的點的軌跡是線段，所以該選項錯誤；對于選項，到點的距離之和等于6的點的軌跡不存在，所以該選項錯誤；對于選項，根據橢圓的定義，知該軌跡是橢圓，所以該選項正確；對于選項，點的軌跡是線段的垂直平分線，所以該選項錯誤．故選：C2．若橢圓的右焦點為，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于，兩點，則的周長為（）A． B． C．6 D．8【答案】B【解析】由橢圓方程可知根據橢圓的定義可知，，的周長為.3.若橢圓2a2x2-ay2=2的一個焦點是(-2，0)，則a=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由原方程可得，因為橢圓焦點是(-2，0)，所以，解得，因為，即，所以，故選：C4.已知△ABC的周長為20，且頂點B（0，﹣4），C（0，4），則頂點A的軌跡方程是（）A．（x≠0） B．（x≠0）C．（x≠0） D．（x≠0）【答案】B【解析】∵△ABC的周長為20，頂點B（0，﹣4），C（0，4），∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是，故選B．5．（多選題）已知橢圓的左、右焦點分別為，定點，若點P是橢圓E上的動點，則的值可能為（）A．7 B．10 C．17 D．19【答案】ABC【解析】由題意可得，則，故．因為點P在橢圓E上，所以，所以，故，由于，所以，故的可能取值為7，10，17．6．（多選題）已知P是橢圓上一點，是其兩個焦點，則的大小可能為（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】設，則，且，在中，由余弦定理可得，因為，所以，當且僅當時取等號，故的最大值為，所以的大小可能為．故選：BCD二、填空題7.已知橢圓的焦點在y軸上,其上任意一點到兩焦點的距離和為8,焦距為215,則此橢圓的標準方程為.

【答案】y216+x【解析】由已知2a=8,2c=215,所以a=4,c=15,所以b2=a2-c2=16-15=1.又橢圓的焦點在y軸上,所以橢圓的標準方程為y216+x8.橢圓x212+y23=1的一個焦點為F.

【答案】±3【解析】∵線段PF1的中點M在y軸上且O是線段F1F2的中點,∴OM為△PF1F2的中位線,∴PF2⊥x軸,∴點P的橫坐標是3或-3,∵點P在橢圓上,∴912+y23=1,即y2=34,∴y=±9．已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上一點，，，則______．【答案】【解析】根據橢圓的定義：，在焦點中，由余弦定理可得：，，則，所以，.10．如圖所示，分別為橢圓的左右焦點，點P在橢圓上，的面積為的正三角形，則的值為.

【答案】【解析】的面積為的正三角形，，解得．代入橢圓方程可得：，與聯立解得：．三、解答題11．求滿足下列條件的橢圓的標準方程.(1)焦點在y軸上,焦距是4,且經過點M(3,2);(2)c∶a=5∶13,且橢圓上一點到兩焦點的距離的和為26.【解析】(1)由焦距是4可得c=2,且焦點坐標為(0,-2),(0,2).由橢圓的定義知,2a=32所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦點在y軸上,所以橢圓的標準方程為y2(2)由題意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144,因為焦點所在的坐標軸不確定,所以橢圓的標準方程為x2169+12.已知某橢圓C，它的中心在坐標原點，左焦點為F（﹣，0），且過點D（2，0）．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若已知點A（1，），當點P在橢圓C上變動時，求出線段PA中點M的軌跡方程．【解析】（1）由題意知橢圓的焦點在x軸上，∵橢圓經過點D（2，0），左焦點為F（﹣，0），∴a=2，c=，可得b=1因此，橢圓的標準方程為．（2）設點P的坐標是（x0，y0），線段PA的中點為M（x，y），由根據中點坐標公式，可得，∵點P（x0，y0）在橢圓上，∴可得，化簡整理得，∴線段PA中點M的軌跡方程是．《3.1.1橢圓的標準方程-提高練》同步練習一、選擇題1．曲線方程的化簡結果為（）A． B． C． D．2.如果方程x2A.(3,4) B.72,+∞3．“”是“方程表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4.已知在中，點，點，若，則點C的軌跡方程為（）A． B．（）C． D．（）5．（多選題）已知P是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為，且，則（）A．的周長為12 B．C．點P到x軸的距離為 D．6．（多選題）設P是橢圓C:x22+y2=1上任意一點,F1,FA.|PF1|+|PF2|=22B.-2<|PF1|-|PF2|<2C.1≤|PF1|·|PF2|≤2D.0≤PF1二、填空題7．在平面直角坐標系中，已知頂點和，頂點在橢圓上，則__．8.已知圓，定點，是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點，則點的軌跡的方程是__．9.如圖把橢圓的長軸AB分成8等分,過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，…，P7七個點，F是橢圓的焦點,則|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=.

10．已知橢圓C的焦點為，，過的直線與C交于A，B兩點.若，，則橢圓C的方程為.

三、解答題11.已知橢圓M與橢圓N:x216+(1)求橢圓M的標準方程;(2)設橢圓M的左、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓M上,且△PF1F2的面積為1,求點P的坐標.12．如圖,橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的標準方程;(2)若R,S是橢圓C上的兩個點,線段RS的中垂線l的斜率為12<3.1.1橢圓的標準方程-提高練》同步練習答案解析一、選擇題1．曲線方程的化簡結果為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】曲線方程，所以其幾何意義是動點到點和點的距離之和等于，符合橢圓的定義.點和點是橢圓的兩個焦點.因此可得橢