黑龍江省伊春市嘉蔭縣第一中學2024屆數學高一下期末聯考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，且，則（）A． B．7 C． D．2．下列四個結論正確的是（）A．兩條直線都和同一個平面平行，則這兩條直線平行B．兩條直線沒有公共點，則這兩條直線平行C．兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線平行D．兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行3．函數的最小值為（）A． B． C． D．4．已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．5．的值等于（）A． B． C． D．6．把一塊長是10，寬是8，高是6的長方形木料削成一個體積最大的球，這個球的體積等于（）A． B．480 C． D．7．在正方體中，，分別為棱，的中點，則異面直線與所成的角為A． B． C． D．8．一個學校高一、高二、高三的學生人數之比為2：3：5，若用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，則應從高三學生中抽取的人數為：A．100 B．80 C．60 D．409．已知平行四邊形對角線與交于點，設，，則（）A． B． C． D．10．某社區義工隊有24名成員，他們年齡的莖葉圖如下表所示，先將他們按年齡從小到大編號為1至24號，再用系統抽樣方法抽出6人組成一個工作小組，則這個小組年齡不超過55歲的人數為（）3940112551366778889600123345A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．的值為___________．12．在等比數列中，，的值為________13．已知無窮等比數列滿足：對任意的，，則數列公比的取值集合為__________．14．若，則函數的最小值是_________.15．不共線的三個平面向量，，兩兩所成的角相等，且，，則__________．16．已知為直線上一點，過作圓的切線，則切線長最短時的切線方程為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知：的頂點，，．（1）求AB邊上的中線CD所在直線的方程；（2）求的面積．18．如圖所示，在三棱柱中，側棱底面，，D為的中點，.（1）求證：平面；（2）求與所成角的余弦值．19．已知.（1）化簡;（2）若,且為第一象限角,求的值.20．從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業，根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加.(1)設年內(本年度為第一年)總投入為萬元，旅游業總收入為萬元，寫出的表達式；(2)至少經過幾年，旅游業的總收入才能超過總投入？21．如圖，等腰梯形中，，，，取中點，連接，把三角形沿折起，使得點在底面上的射影落在上，設為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由平方關系求得，再由商數關系求得，最后由兩角和的正切公式可計算．【詳解】，，，，.故選：D.【點睛】本題考查兩角和的正切公式，考查同角間的三角函數關系．屬于基礎題．2、C【解析】

利用空間直線平面位置關系對每一個選項分析得解.【詳解】A.兩條直線都和同一個平面平行，則這兩條直線平行、相交或異面，所以該選項錯誤；B.兩條直線沒有公共點，則這兩條直線平行或異面，所以該選項錯誤；C.兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線平行，是平行公理，所以該選項正確；D.兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行、相交或異面，所以該選項錯誤.故選：C【點睛】本題主要考查直線平面的位置關系的判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.3、D【解析】

令，即有，則，運用基本不等式即可得到所求最小值，注意等號成立的條件.【詳解】令，即有，則，當且僅當，即時，取得最小值.故選：【點睛】本題考查基本不等式，配湊法求解，屬于基礎題.4、C【解析】試題分析：設的交點為，連接，則為所成的角或其補角；設正四棱錐的棱長為，則，所以，故C為正確答案．考點：異面直線所成的角．5、C【解析】

根據特殊角的三角函數值，得到答案.【詳解】.故選C項.【點睛】本題考查特殊角的三角函數值，屬于簡單題.6、A【解析】

由題意知，此球是棱長為6的正方體的內切球，根據其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為6，再由球的體積公式求解即可．【詳解】解：由已知可得球的直徑為6，故半徑為3，其體積是，故選：．【點睛】本題考查長方體內切球的幾何特征，以及球的體積公式，屬于基礎題．7、A【解析】

如圖做輔助線，正方體中，且，P，M為和中點，,則即為所求角，設邊長即可求得．【詳解】如圖，取的中點，連接，，.因為為棱的中點，為的中點，所以，所以，則是異面直線與所成角的平面角.設，在中，，，則，即.【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關鍵在于構造包含異面直線所成角的三角形．8、A【解析】

根據分層抽樣的方法，得到高三學生抽取的人數為，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，學校高一、高二、高三的學生人數之比為2：3：5，采用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，所以高三學生抽取的人數為人，故選A．【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應用，其中解答中熟記分層抽樣的方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．9、B【解析】

根據向量減法的三角形法則和數乘運算直接可得結果.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查向量的線性運算問題，涉及到向量的減法和數乘運算的應用，屬于基礎題.10、B【解析】

求出樣本間隔，結合莖葉圖求出年齡不超過55歲的有8人，然后進行計算即可．【詳解】解：樣本間隔為，年齡不超過55歲的有8人，則這個小組中年齡不超過55歲的人數為人．故選：．【點睛】本題主要考查莖葉圖以及系統抽樣的應用，求出樣本間隔是解決本題的關鍵，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

=12、【解析】

根據等比數列的性質，可得，即可求解.【詳解】由題意，根據等比數列的性質，可得，解得.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數列的性質的應用，其中解答熟記等比數列的性質，準確計算是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.13、【解析】

根據條件先得到：的表示，然后再根據是等比數列討論公比的情況.【詳解】因為，所以，即；取連續的有限項構成數列，不妨令，則，且，則此時必為整數；當時，，不符合；當時，，符合，此時公比；當時，，不符合；當時，，不符合；故：公比.【點睛】本題考查無窮等比數列的公比，難度較難,分析這種抽象類型的數列問題時，經常需要進行分類，可先通過列舉的方式找到思路，然后再準確分析.14、【解析】

利用基本不等式可求得函數的最小值.【詳解】，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，因此，當時，函數的最小值是.故答案為：.【點睛】本題考查利用基本不等式求函數的最值，考查計算能力，屬于基礎題.15、4【解析】

故答案為：4【點睛】本題主要考查向量的位置關系，考查向量模的運算的處理方法.由于三個向量兩兩所成的角相等，故它們兩兩的夾角為，由于它們的模都是已知的，故它們兩兩的數量積也可以求出來，對后平方再開方，就可以計算出最后結果.16、或【解析】

利用切線長最短時，取最小值找點：即過圓心作直線的垂線，求出垂足點．就切線的斜率是否存在分類討論，結合圓心到切線的距離等于半徑得出切線的方程．【詳解】設切線長為，則，所以當切線長取最小值時，取最小值，過圓心作直線的垂線，則點為垂足點，此時，直線的方程為，聯立，得，點的坐標為.①若切線的斜率不存在，此時切線的方程為，圓心到該直線的距離為，合乎題意；②若切線的斜率存在，設切線的方程為，即.由題意可得，化簡得，解得，此時，所求切線的方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或，故答案為或．【點睛】本題考查過點的圓的切線方程的求解，考查圓的切線長相關問題，在過點引圓的切線問題時，要對直線的斜率是否存在進行分類討論，另外就是將直線與圓相切轉化為圓心到直線的距離等于半徑長，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）11.【解析】

（1）直接利用已知條件求出AB邊上的中點，即可求直線的方程．（2）利用所求出的直線方程利用分割法求出三角形的面積，或者求出及直線AB的方程，可得點C到直線AB的距離，求出三角形的面積.【詳解】（1）∵線段AB的中點D的坐標為，所以，由兩點式方程可得，AB邊上的中線CD所在直線的方程為，即．（2）法1：因為，點A到直線CD的距離是，所以的面積是．法2：因為，由兩點式得直線AB的方程為：，點C到直線AB的距離是，所以的面積是．【點睛】本題考查直線方程求法與點到直線距離公式應用，屬于基礎題.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）連接，設與相交于點O，連接OD.證明OD為的中位線，得，即可證明；（2）由（1）可知，為與所成的角或其補角，在中，利用余弦定理求解即可【詳解】(1)證明：如圖，連接，設與相交于點O，連接OD.∵四邊形是平行四邊形．∴點O為的中點．∵D為AC的中點，∴OD為的中位線，平面，平面，平面.（2）由（1）可知，為與所成的角或其補角在中，D為AC的中點，則同理可得，在中，與BD所成角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的判定，異面直線所成的角，考查空間想象能力與計算能力是基礎題19、（1）（2）【解析】

（1）由條件利用誘導公式進行化簡所給的式子,即可求得答案;（2）由題意應用誘導公式,同角三角函數的基本關系求得的值,可得的值,即可求得答案.【詳解】（1）（2）①又②解得:為第一象限角【點睛】本題主要考查了三角函數化簡求值問題,解題關鍵是熟練使用誘導公式和同名三角函數求值的解法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.20、(1)，；(2)至少經過5年，旅游業的總收入才能超過總投入.【解析】

(1)利用等比數列求和公式可求出n年內的旅游業總收入與n年內的總投入；（2）設至少經過年旅游業的總收入才能超過總投入，可得－＞0，結合（1）可得，解得，進而可得結果.【詳解】(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內的總投入為=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1==4000×［1－()n］第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為400×(1+)，…，第n年旅游業收入400×(1+)n－1萬元.所以，n年內的旅游業總收入為=400+400×(1+)+…+400×(1+)n－1==1600×［()n－1］(2)設至少經過n年旅游業的總收入才能超過總投入，由此－＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少經過5年，旅游業的總收入才能超過總投入.【點睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力、等比數列的求和公式，屬于難題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.21、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）取的中點，取的中點，連接、、、、，可知、均為等邊三角形，可證明出平面，從而得出，再證明出四邊形為平行四邊形，可得出，由等腰三角形三線合一的性質可得，從而可得出，再利用線面垂直的判定定理可證明出平面；（2）過點在平面內作，垂足為點，連接，證明出平面，可得知二面角的平面角為，計算出直角三角形三邊邊長，即可求出，即為所求.【詳解】（1）如下圖所示，取的中點，取的中點，連接、、、、，在等腰梯形中，，，，為的中點，所以，，又，則，為等邊三角形，同理可知為等