2023-2024學年九年級上入學考試數學試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案,其中只有一個是正確的.

1.下列分式中，是最簡分式的是（)

3xyx-1%+y1-x

AB.——C.D.-----

--x2-l2xx-1

2.下列說法不一定成立的是（

A.若a>b,則a+c>b+cB.若a+c>b+c,貝!Ja>b

C.若d>b,貝Uac>bcD.若ac2>bc2,則a>b

3.如圖，在平行四邊形A3CQ中，對角線AC、8。相交于點O,E、尸是對角線AC上的兩

點，當E、尸滿足下列哪個條件時，四邊形。EBP不一定是平行四邊形（）

A.DE=BFB.OE=OFC.ZADE=ZCBFD.ZABE=ZCDF

CL—b

4.分式一;的值為。時，實數〃，b應滿足的條件是（）

a-2

A.B.

C.a=b,#2D.以上答案都不對

5.以如圖（1）（以。為圓心，半徑為1的半圓）作為“基本圖形”，分別經歷如下變換：

①只要向右平移1個單位；②先以直線A3為對稱軸進行翻折，再向右平移1個單位；③

先繞著點。旋轉180°,再向右平移一個單位；④繞著的中點旋轉180°即可.其中

能得到圖（2）的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②

6.小李在計算20233-2023時，發現其計算結果能被三個連續整數整除，則這三個整數是

（）

A.2023,2024,2025B.2022,2023,2024

C.2021,2022,2023D.2020,2021,2022

7.在平面直角坐標系內，一次函數y^ax+b的圖象如圖所示,那么下列說法正確的是（

A.當x>l時，j<0B.方程以+6=0的解是尤=-2

C.當y>-2時，x>QD.不等式辦+6W0的解集是xWO

8.下列說法，不正確的是（）

X—1777

A.若關于x的分式方程——=—有增根，則機的值為-5

%+4%+4

B.在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上

C.夾在兩條平行線間的平行線段一定相等

D.用反證法證明"三角形中必有一個角不大于60°”，先假設這個三角形中有一個內角

大于60°

9.如圖，所過口ABC。對角線的交點。，交A。于點E,交BC于點F.則：①OE=OF；

1

②右AB=4>AC=6>則2<8D<14；③S^AOB=4s.4BCD；④S四邊形ABFE=S/\ABC.其中

正確的結論有（）

10.如圖，在△ABC中，AB=BC,由圖中的尺規作圖痕跡得到的射線8。與AC交于點E,

點P為的中點，連接ER若BE=AC=2,則△CEP的周長為（）

A.V3+1B.V5+3C.V5+1D.4

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.已知-3,a+b—2.則代數式/人+減^的值為.

12.關于龍的方程3%-2根=1的解為正數，則m的取值范圍是.

13.如圖，一艘輪船由海平面上C地出發向南偏西25°的方向行駛120海里到達8地，再

由B地向北偏西35°的方向行駛120海里到達C地，則A,C兩地相距海

14.如圖所示是三個邊長相等的正多邊形拼成的無縫隙、不重疊的圖形的一部分，正多邊形

①和②的內角都是108°,則正多邊形③的邊數是.

15.小靜準備到甲或乙商場購買一些商品，兩商場同種商品的標價相同，而各自推出不同的

優惠方案：在甲商場累計購買滿一定數額。元后，再購買的商品按原價的90%收費；在

乙商場累計購買50元商品后，再購買的商品按原價的95%收費.若累計購物x元，當x

>a時，在甲商場需付錢數班=0.9尤+10,當尤>50時，在乙商場需付錢數為下列說法：

①*=0.95x+2.5；②當累計購物大于50元時，選擇乙商場一定優惠些；

③當累計購物超過150元時，選擇甲商場一定優惠些；④a=100.

其中正確的說法是（填序號）

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）

(—x+1

>1①（要求用數軸表示不等式的解集）;

16.（10分）（1）解不等式組:2

、5—2x>

（2）化簡：（”1一。）+4井

17.(9分)如圖，△ABC的頂點坐標分別為A(-4,5),8(-5,2),C(-3,4).

(1)畫出△ABC關于原點。對稱的圖形△ALBICi,并直接寫出Ai點的坐標；

(2)將△ABC繞B點順時針旋轉90°得到△A2BC2,畫出△A2BC2并直接寫出4點的

18.(9分)如圖，點E、尸是平行四邊形A8C。對角線AC上兩點，BE//DF.

(1)求證：四邊形BED尸是平行四邊形;

(2)若AC=8,BC=6,ZACB=30°,求平行四邊形ABCD的面積.

F

BC

19.(9分)如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=36°,8。是/ABC的平分線，交AC

于點。，E是的中點，連接即并延長，交8C的延長線于點兒連接AF,

(1)求證：EFLAB；

(2)若AF=8,BC=3,求的長.

20.(9分)2022年10月16日在第二十次全國代表大會上的報告中提出：“積極

穩妥推進碳達峰碳中和”.某公司積極響應節能減排號召，決定采購新能源A型和8型兩

款汽車，已知每輛A型汽車的進價是每輛B型汽車的進價的1.5倍，若用3000萬元購進

A型汽車的數量比2400萬元購進B型汽車的數量少20輛.

(1)A型和8型汽車的進價分別為每輛多少萬元？

(2)該公司決定用不多于3600萬元購進A型和8型汽車共150輛，最多可以購買多少

輛A型汽車？

21.(9分)如圖，在△ABC中，ZACB=90°，AB=5,BC=3,點P從點A出發，沿射線

AC以每秒1個單位長度的速度運動.設點P的運動時間為f秒。＞0).

(1)當點尸在AC的延長線上運動時，CP的長為；(用含f的代數式表示)

(2)若點尸在NABC的角平分線上(如備用圖所示)，求此時t的值；

(3)在整個運動中，直接寫出△A2P是等腰三角形時f的值.

備用圖

22.(10分)閱讀材料：要將多項式加分解因式，可以先把它的前兩項分成一

組，再把它的后兩項分成一組，從而得到：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a

(m+n)+b(m+n),這時a(m+n)+b{m+n')中又有公因式(〃+”),于是可以提出(m+n),

從而得至！J(m+n)Ca+b),因此有am+an+bm+bn—Cam+an')+(bm+bn)—a(m+n)+b

{m+n}=(m+力)(a+b),這種方法稱為分組法.請回答下列問題：

(1)嘗試填空：2x-18+xy-9y=；

(2)解決問題:因式分解；ac-bc+a2-b2.

(3)拓展應用：已知三角形的三邊長分別是a,b,c,且滿足a2-2a6+2/-2fc+c2=0,

試判斷這個三角形的形狀，并說明理由.

23.(10分)如圖1,在△ABC中，D,E分別是邊AB,AC上的點.對''三角形中位線定

理”逆向思考，可得以下3則命題：

1

I.若。是A8的中點，DE=^BC,則E是AC的中點；

1

II.若DE〃BC,DE=*BC,貝I。，E分別是AB,AC的中點;

III.若。是AB的中點，DE//BC,則E是AC的中點.

(1)小明通過對命題I的思考，發現命題I是假命題.

他的思考方法如下：在圖2中使用尺規作圖作出滿足命題I條件的點E,從而直觀判斷E

不一定是AC的中點.

小明尺規作圖的方法步驟如下：

①在圖2中，作邊8C的垂直平分線，交BC于點M,

②在圖2中，以點。為圓心，以的長為半徑畫弧與邊AC交于點E和E.

請你在圖2中完成以上作圖.

(2)小明通過對命題II和命題III的思考，發現這兩個命題都是真命題，請你從這兩個命

題中選擇一個，并借助于圖1進行證明.

2023-2024學年九年級上入學考試數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的.

1.下列分式中，是最簡分式的是（）

3xyx-1x+y1-x

A.——B.——C.-------D.

，%z-l2xx-1

解：4岑=亞，不是最簡分式，不符合題意；

X

x-1x-1二T，不是最簡分式，不符合題意;

x2-l(x+l)(x-l)

爰是最簡分式，符合題意;

1—Y

D、——=」2=一1,不是最簡分式，不符合題意;

x-1x-1

故選：C.

2.下列說法不一定成立的是（）

A.若a>b,則〃+c>Z?+cB.若〃+c>Z?+c,貝

C.若〃>/?,貝!Jac>Z?cD.若〃（/>拉，，貝IJ〃>/?

解：A、若a>b,貝！JQ+C>Z?+C,所以A選項的說法正確；

B、若〃+c>Z?+c,則〃>/?,所以3選項的說法正確；

C、若a>b,當c>0時，則QC>/?C,所以C選項的說法不正確；

D、若用2>兒2,則cwo,a>bf所以。選項的說法正確；

故選：C.

3.如圖，在平行四邊形A3CD中，對角線AC、5。相交于點O,E、尸是對角線AC上的兩

點，當E、尸滿足下列哪個條件時，四邊形。防廠不一定是平行四邊形（）

A.DE=BFB.OE=OFC.ZADE=ZCBFD.ZABE=ZCDF

解：A、??,四邊形ABC。是平行四邊形,

：.OA=OC,OB=OD,

由03=00,DE=BF,NDOE=NBOF,不能判定石也△50尸,

.?.不能得出OE=OF,

不能判定四邊形DEBF是平行四邊形，故選項A符合題意；

8、：四邊形A8C。是平行四邊形，

：.OB=OD,

?；OE=OF,

.?.四邊形。E2F是平行四邊形，故選項8不符合題意；

C、：四邊形A8C。是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,AD=CB,AD//CB,

：.ZDAE^ZBCF,

又,:/ADE=/CBF,

.'.△ADE經ACBF(ASA),

：.AE=CF,

：.0A-AE^OC-CF,

即OE=OF,

"：OB=OD,

四邊形QE8F是平行四邊形，故選項C不符合題意；

D、同上得：AABE咨ACDF(ASA),

J.AE^CF,

：.OA-AE=OC-CF,

即OE=OF,

"：OB=OD,

.?.四邊形。EBF是平行四邊形，故選項。不符合題意；

故選：A.

n—b

4.分式一;的值為。時，實數4,6應滿足的條件是()

a-2

A.a=bB.a#b

C.a=b,D.以上答案都不對

解：：分式一的值為0,

a-2

-b=0且。-2W0,

解得a=b#2,

故選：c.

5.以如圖（1）（以。為圓心，半徑為1的半圓）作為“基本圖形”，分別經歷如下變換：

①只要向右平移1個單位；②先以直線為對稱軸進行翻折，再向右平移1個單位；③

先繞著點。旋轉180。，再向右平移一個單位；④繞著的中點旋轉180。即可.其中

能得到圖（2）的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②

解：由圖可知，圖（1）先以直線48為對稱軸進行翻折，再向右平移1個單位，

或先繞著點。旋轉180°,再向右平移一個單位，

或繞著08的中點旋轉180°即可得到圖（2）.

故選：B.

6.小李在計算20233.2023時，發現其計算結果能被三個連續整數整除，則這三個整數是

（）

A.2023,2024,2025B.2022,2023,2024

C.2021,2022,2023D.2020,2021,2022

解：20233-2023

=2023X(20232-1)

=2023X(2023-1)X(2023+1)

=2023X2022X2024.

故選：B.

7.在平面直角坐標系內，一次函數y^ax+b的圖象如圖所示,那么下列說法正確的是()

A.當%>1時，y<0

B.方程ax+b—O的解是尤=-2

C.當y>-2時，尤>0

D.不等式依+6W0的解集是xWO

解：由函數y=or+b的圖象可知，

A、當x>0時，y>-2,原說法錯誤，不符合題意；

B、方程依+b=0的解是x=l,原說法錯誤，不符合題意；

C、當y>-2時，尤>0,正確，符合題意；

D、不等式依+6W0的解集是xWl,原說法錯誤，不符合題意.

故選：C.

8.下列說法，不正確的是（）

X—1772

A.若關于x的分式方程---=----有增根，則根的值為-5

x+4x+4

B.在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上

C.夾在兩條平行線間的平行線段一定相等

D.用反證法證明"三角形中必有一個角不大于60°”，先假設這個三角形中有一個內角

大于60°

解：A、方程兩邊同乘x+4,得x-l=祖，

解得：尤=7"+1,

..?當x=-4時，分式方程有增根，

...加=-5時，分式方程有增根，本選項說法正確，不符合題意；

2、在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，說法正確，不符合

題意；

C、夾在兩條平行線間的平行線段一定相等，說法正確，不符合題意；

。、用反證法證明"三角形中必有一個角不大于60。”，先假設這個三角形中三個內角大

于60°,故本選項說法錯誤，符合題意；

故選：D.

9.如圖，EF過oABCD對角線的交點O,交AD于點、E,交BC于點F.貝U：①OE=OF；

1

②右AB=4fAC=6f則2VBDV14；③S&AOB=~^^^\ABCD?④S四邊形其中

正確的結論有（）

E

A，D

HF0

A.4個B.3個C.2個D.1個

解：①???四邊形ABC。為平行四邊形，

：.AO=CO,AD//BC.

：.ZOAE=ZOCF,ZAEO=ZCFO.

在△AOE和△CO/中，

Z.OAE=乙OCF

乙AEO=乙CFO,

AO=CO

：.AAOE^ACOF.

：.OE=OF.

故①正確.

②??,四邊形ABC。為平行四邊形，

：.A0=^AC=3,BD=2BO.

又A8=4,

：.2<BD<14.

故②正確.

③???O為的中點，

??^^AOB=2S/kZBQ?

?_1_1

?,^LAOB~2S/kABQ=4S回ABCD?

故③正確.

@V△AOE四△co/，

S四邊形AOFB+SAAOE=S四邊形AO尸B+S^COF.

?二S四邊形A8FE=S4A8C.

故④正確.

故選：A.

10.如圖，在△ABC中，AB=BC,由圖中的尺規作圖痕跡得到的射線BD與AC交于點E,

點尸為8C的中點，連接EF,若BE=AC=2,則△CEF的周長為（）

A.V3+1B.V5+3C.V5+1D.4

解：由圖中的尺規作圖得：BE是NABC的平分線，

'：AB^BC,

：.BE±AC,AE=C￡=1AC=1,

AZB￡C=90°,

：.BC='BE?+CE2=V22+l2=V5,

:點尸為2C的中點，

1

：.EF=^BC=BF=CFf

AACEF的周長=CF+EF+CE=CF+BF+CE=BC+CE=V5+1,

故選：C.

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.已矢口〃匕=-3,a+b=2.則代數式Gb+a儕的值為-6.

解：由題意，a2b+ab2=ab（〃+。），

?：ab=_3,a+b=2,

a2b+ab2=-3X2=-6.

故答案為：-6.

12.關于x的方程3%-2m=1的解為正數，則m的取值范圍是m〉-.

解：解方程3尤-2加=1得：尤=等%,

:關于尤的方程3x-2m=l的解為正數，

解得：m〉-5,

故答案為：m>—2.

13.如圖，一艘輪船由海平面上C地出發向南偏西25°的方向行駛120海里到達2地，再

由2地向北偏西35°的方向行駛120海里到達C地，則A,C兩地相距120海里.

???一艘輪船由海平面上C地出發向南偏西25°的方向行駛120海里到達8地，再由8地

向北偏西35°的方向行駛120海里到達C地，

ZABC=60°,AB=3C=120海里，

.1.△ABC是等邊三角形，

：.AC=AB=120海里.

故答案為：120.

14.如圖所示是三個邊長相等的正多邊形拼成的無縫隙、不重疊的圖形的一部分，正多邊形

①和②的內角都是108°,則正多邊形③的邊數是10.

解：360°-108°-108°=144°,

180°-144°=36°,

360°+36°=10.

故答案為：10.

15.小靜準備到甲或乙商場購買一些商品，兩商場同種商品的標價相同，而各自推出不同的

優惠方案：在甲商場累計購買滿一定數額。元后，再購買的商品按原價的90%收費；在

乙商場累計購買50元商品后，再購買的商品按原價的95%收費.若累計購物x元，當x

>a時，在甲商場需付錢數m=0.9x+10,當x>50時，在乙商場需付錢數為下列說法：

①*=0.95尤+2.5；

②當累計購物大于50元時，選擇乙商場一定優惠些；

③當累計購物超過150元時，選擇甲商場一定優惠些；

④4=100.

其中正確的說法是①③④（填序號）

解：根據題意得當x>50時，在乙商場需付錢數yB=50+（尤-50）X95%=0.95x+2.5,

可判斷①正確；

根據題意得當x>a時，在甲商場需付錢數yA=a+（x-a）X90%=0.9X+0.1<7,

"."yA—0.9x+10,

/.0.1a=10,解得a=100,

可判斷④正確；

當地>中時，0.9x+10>0.95x+2.5,解得x<150,

即當累計購物50<尤<150時，選擇乙商場一定優惠些,

當地時，0.9x+10<0.95x+2.5,解得尤>150,

即當累計購物x>150時，選擇甲商場一定優惠些，

當地=”時，0.9x+10=0.95x+2.5,解得尤=150,

即當累計購物x=150時，兩個商場需付錢數一樣多.

可判斷②錯誤，③正確，

故答案為：①③④.

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）

（r+1>1①

16.（10分）（1）解不等式組：2,〈J（要求用數軸表示不等式的解集）;

、5—2%>—1（2）

,a、12—4a+4

（2）化簡:

%(——1i—a))+CL—1

解：（1）解不等式①，得-1,

解不等式②，得XW3,

把不等式①和②的解集在數軸上表示出來為:

-5-4-3-2-1

?,?原不等式組的解集為iV-1;

?aa2-aa-1

⑵原式=(----)?-——

Q—1(2-1((2—2)2

-0(0-2)^^-1

(a-2)2

a

CL—2,

17.(9分)如圖，/XABC的頂點坐標分別為A(-4,5),5(-5,2),C(-3,4).

(1)畫出△ABC關于原點。對稱的圖形△A131C1,并直接寫出A1點的坐標；

(2)將△ABC繞5點順時針旋轉90°得到AA23c2,畫出AA23c2并直接寫出A2點的

坐標.

y八

解：(1)如圖，△A181Q即為所求，點4的坐標為(4,-5)；

y八

A

(2)如圖，△A2BC2即為所求，點上的坐標為(-2,1).

18.(9分)如圖，點E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，BE//DF.

(1)求證：四邊形8EZ邛是平行四邊形；

(2)若AC=8,BC=6,ZACB^30°,求平行四邊形的面積.

(1)證明：平行四邊形A8CQ中，AD//BC,AD=BC,

：.ZACB=ZCAD,

y.'：BE//DF,

；./BEC=NDFA,

在△3EC和△。曲中,

~BEC=^DFA

\^ACB=/.CAD,

(BC=AD

：./\BEC^/\DFA(A4S),

:.BE=DF,

又BE〃DF,

...四邊形BEDE是平行四邊形；

(2)解：過A點作AGLBC,交CB的延長線于G,

在RtzXAGC中，AC=8,ZACB=30°,

：.AG=4,

'：BC=6,

平行四邊形ABCD的面積=BC?AG=4X6=24.

19.(9分)如圖，在△ABC中，AB^AC,N54C=36°,3。是N4BC的平分線，交AC

于點。，E是的中點，連接并延長，交8C的延長線于點尸，連接AF,

(1)求證：EFLAB-,

(2)若AP=8,BC=3,求CE的長.

(1)證明：VAB=AC,NBAC=36°,

1

/.ZABC=(180°-36°)=72°.

又,：BD是NA3C的平分線，

11

ZABD=^ZABC=Wx72°=36°,

：.ZBAD=ZABD=36°,

：.AD=BD,

又YE是AB的中點，

：.DE±ABfBPFELAB(三線合一)；

(2)WVFE1AB,AE=BE,

???FE垂直平分A5,

：.BF=AF=8

：.CF=BF-BC=8-3=5.

A

20.（9分）2022年10月16日在第二十次全國代表大會上的報告中提出：“積極

穩妥推進碳達峰碳中和”.某公司積極響應節能減排號召，決定采購新能源A型和B型兩

款汽車，已知每輛A型汽車的進價是每輛8型汽車的進價的1.5倍，若用3000萬元購進

A型汽車的數量比2400萬元購進B型汽車的數量少20輛.

（1）A型和B型汽車的進價分別為每輛多少萬元？

（2）該公司決定用不多于3600萬元購進A型和2型汽車共150輛，最多可以購買多少

輛A型汽車？

解：（1）設8型汽車的進價為每輛x萬元，則A型汽車的進價為每輛1.5x萬元，

解得：尤=20,

經檢驗，尤=20是方程的解，且符合題意，

貝I」1.5^=1.5X20=30,

答：A型汽車的進價為每輛30萬元，2型汽車的進價為每輛20萬元；

（2）設購買輛A型汽車機輛，則購買（150-加）輛8型汽車，

依題意得：30/M+20（150-m）W3600,

解得：加《60,

答：最多可以購買60輛A型汽車.

21.（9分）如圖，在△ABC中，ZACB=90°，AB=5,BC=3,點尸從點A出發，沿射線

AC以每秒1個單位長度的速度運動.設點P的運動時間為f秒G>0）.

（1）當點P在AC的延長線上運動時，CP的長為L4；（用含f的代數式表示）

（2）若點P在/A8C的角平分線上（如備用圖所示），求此時f的值;

（3）在整個運動中，直接寫出AABP是等腰三角形時f的值.

解：（1）在△ABC中,

由勾股定理得：AC=yjAB2-BC2=4,

V已知點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度運動,

，當點P在AC的延長線上時，點尸運動的長度為：AC+CP=t,

：AC=4,

CP—t-AC—t-4.

故答案為：t-4.

（2）過點尸作尸于點如圖所示:

C.PCLBC,

,/點P在NA8C的角平分線上，PM1AB,

:.PC=PM,

又,：PB=PB,

：.RtAPCB^RtAPMB(HL),

:.CB=MB,

：.AM=AB-MB=AB=BC=5-3=2,

設PM=PC=x,貝i]AP=4-x,

在RtAAPM中，AM2+PM2=AP2,

22+X2=(4-x)2,

解得：%=

：.PC=

：.AP=4-

:?若點尸在/a%的角平分線上，則，的值為|.

(3)當AB作為底邊時，如圖所示：

則用=尸8,設E4=a,則尸C=AC-AP=4-a,

在RtZXPCB中，PB2=PC2+CB2,

a2=(4-a)2+32,

解得：a=等，

此時t=學;

當AB作為腰時，如圖所示：

APi=AB=5,此時f=5；

當AB=B尸2時，

'：BC.LAP2,

；.AP2=2AC=8,

此時￡=8,

綜上分析可知，t的值為卷或5或8.

22.(10分)閱讀材料：要將多項式+即+加計加分解因式，可以先把它的前兩項分成一

組，再把它的后兩項分成一組，從而得到：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a

(m+n)+Z?(m+n),這時a(M+〃)+/?(濟+〃)中又有公因式(nt+幾)，于是可以提出(M十幾)，

從而得至！J(m+n)(〃+/?),因止匕有am+an+bm^-bn=(am+an)