PAGEPAGE39習題解答習題11-11．指出下列方程是否為微分方程？若是請指出它的階：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）是微分方程，且為一階微分方程；（2）是微分方程，且為二階微分方程；（3）不是微分方程；（4）是微分方程，且為一階微分方程；（5）是微分方程，且為二階微分方程．2．驗證是微分方程的通解，并求滿足初始條件的特解．解由可得，將及代入方程中，得，所以函數是微分方程的解．又因為方程是一階的，而函數含有一個任意常數，且任意常數的個數等于方程的階數，所以函數是微分方程的通解．將代入中，得所求特解．3．驗證由方程所確定的隱函數是微分方程的通解，并求滿足初始條件的特解．解由可得，將及代入方程中，得，所以函數是微分方程的解．又因為方程是一階的，而函數含有一個任意常數，且任意常數的個數等于方程的階數，所以函數是微分方程的通解．將代入中，得所求特解．4．設曲線在點處的切線斜率等于該點橫坐標的平方，寫出該曲線所滿足的微分方程．解設所求曲線的方程為，根據導數的幾何意義，由題意得．習題11-21．求下列可分離變量的微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）分離變量有,兩端積分,可得通解為．（2）分離變量有兩端積分，可得通解為．（3）分離變量有兩端積分，可得通解為．（4）分離變量有，兩端積分，可得通解為．（5）分離變量有，兩端積分，可得通解為．*2．求下列齊次方程的通解：（1）；（2）；（3）．解（1）令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（2）令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（3）令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.*3．用適當的變量代換求下列微分方程的通解：（1）；（2）．解（1）令，代入原方程，得分離變量得兩邊積分，得所求方程的通解為.（2）令，代入原方程，得分離變量得兩邊積分，得所求方程的通解為.4．求下列微分方程滿足初始條件的特解：（1）,；（2）．解（1）分離變量有，兩端積分，可得通解為，由得，故所求特解為．（2）分離變量有，兩端積分，可得通解為，由得，故所求特解為．5．求下列一階線性微分方程的通解：（1）；（2）+；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）此方程為一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（2）此方程為一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（3）原方程變形為，這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（4）原方程變形為，這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（5）將看作自變量，看作的函數，則有，這是關于未知函數的一階線性非齊次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解為即.（6）將看作自變量，看作的函數，則有，這是關于未知函數的一階線性非齊次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解為即.6．求下列微分方程滿足初始條件的特解：（1）；（2）；（3），；（4）．解（1）這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.（2）這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.（3）這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.（4）這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.7．求一曲線，使它通過原點，且在任意點處的切線斜率等于．解設曲線的方程為，由題意可得，這是一階線性微分方程，其中，，代入通解公式得所求通解即.又曲線通過原點，即得，故曲線的方程為．*習題11-3求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）對原方程積分一次，得，再積分，得原微分方程的通解為．（2）對原方程積分一次，得，再積分，又得，第三次積分，得原微分方程的通解為．（3）設，則，代入原方程，得．這是可分離變量的微分方程，分離變量得．兩邊積分，得，即，兩邊積分，得．（4）設，則，代入原方程得，在時，約去并分離變量，得，兩端積分，得，即，再分離變量，得方程的通解為．（5）設，則，代入原方程，得．這是可分離變量的微分方程，分離變量得．兩邊積分，得，即，兩邊積分，得方程的通解為．（6）設，則，代入原方程，得．這是可分離變量的微分方程，分離變量得．兩邊積分，得，化簡解出，兩邊積分，得方程的通解為．2．求方程滿足初始條件的特解．解設，原方程化為這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩邊積分，得將初始條件代入上式，得，故分離變量并兩端積分，得再由條件可得，故所求特解為.3．求方程滿足初始條件的特解．解設，原方程化為這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩邊積分，得將初始條件代入上式，得，故分離變量并兩端積分，得再由條件可得，故所求特解為.4．求方程滿足初始條件的特解．解設，代入原方程得，即，這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式，得所求通解，即，代入初始條件，求得，故，積分得方程的通解為，再由條件可得，故所求特解為.5．求方程滿足初始條件的特解．解設，則，代入原方程得，這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩端積分，得將初始條件代入上式，得，故分離變量并兩端積分，得再由條件可得，故所求特解為．6．求的經過點且在此點與直線相切的積分曲線．解方程滿足的初始條件為對方程積分一次，得，將初始條件代入上式，得，故再積分，得方程的通解為．再由條件可得，故所求特解為．所以的經過點且在此點與直線相切的積分曲線方程為．習題11-41．求下列二階常系數線性齊次微分方程的通解：（1）；（2）；(3)；(4).．解（1）所給方程的特征方程是，特征根為兩個不相等的實根：，．故所求通解為.（2）所給方程的特征方程是.特征根是一對共軛復根：．因此所求通解是（3）所給方程的特征方程是，特征根為兩個不相等的實根：，．故所求通解為.（4）所給方程的特征方程是，特征根為兩個相等的實根：．故方程的通解為.求下列微分方程滿足初始條件的特解：(1)；(2)；（3）；（4）．解（1）所給方程的特征方程是，特征根為兩個不相等的實根：，．故所求通解為代入初始條件，得，對求導，得．代入，得，解得，；故所求特解為.（2）所給方程的特征方程是，特征根是一對共軛復根：．因此所求通解是代入初始條件，得，對求導，得．代入，得；故所求特解為.（3）所給方程的特征方程是，特征根為兩個相等的實根：．故方程的通解為.代入初始條件，得，對求導，得．代入，得；故所求特解為.（4）所給方程的特征方程是，特征根是一對共軛復根：．因此所求通解是代入初始條件，得，對求導，得代入，得；故所求特解為.3．確定下列各方程的特解的形式：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）所給方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.所給方程是二階常系數線性非齊次微分方程，屬于=型，其中．因為不是特征方程的根，故所給方程的特解形式為.（2）所給方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.所給方程是二階常系數線性非齊次微分方程，屬于=型，其中．因為是特征方程的重根，故所給方程的特解形式為.（3）所給方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為．方程是二階常系數線性非齊次方程，屬于型，其中,，．由于是特征方程的根，故所給方程的特解形式為.（4）所給方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.方程是二階常系數線性非齊次方程，屬于型，其中．．由于是特征方程的根，故所給方程的特解形式為．4．求下列二階常系數線性齊次微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）；解（1）先求原方程對應齊次方程的通解.它的特征方程為，特征根為，所以對應齊次方程的通解為.由于屬于=型，其中方程，且不是特征方程的根，故可設所給方程的特解為.求導得，并代入所給方程，得，所求通解為.（2）所給方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，故對應齊次方程的通解為.由于屬于=型，其中，，且不是特征方程的根，故可設所給方程的特解為.求導得，并代入所給方程，得，所求通解為．（3）所給方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，故對應齊次方程的通解為.由于屬于=型，其中，，且是特征方程的單根，故可設所給方程的特解為.求導得，并代入所給方程，得，所求通解為．（4）所給方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，故對應齊次方程的通解為.由于屬于=型，其中，，且是特征方程的重根，故可設所給方程的特解為.求導得，并代入所給方程，得，所求通解為．（5）所給方程對應的齊次方程為齊次方程為其通解為，設特解，代入方程，解得，所求通解為．（6）所給方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，故對應齊次方程的通解為方程是二階常系數線性非齊次方程，屬于型，其中,，．由于是特征方程的根，故可設所給方程的特解為，求導得，并代入所給方程，得，所求通解為．5．求微分方程滿足初始條件的特解．解所給方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，故對應齊次方程的通解為.由于屬于=型，其中，，且是特征方程的單根，故可設所給方程的特解為.求導得，并代入所給方程，得，所給方程的通解為代入初始條件，得，對求導，代入，得；并且可解得故所求特解為．*習題11-51．已知曲線上任一點處的切線斜率與該切點到原點連線的斜率之和等于切點處的橫坐標，且曲線過點，求該曲線的方程．解設曲線的方程為，由題意可得，此方程是一階線性非齊次方程，由通解公式得=又已知曲線過點，故可得，所以所求曲線方程．2．設有連結點和的一段向上凸的曲線孤，對于孤上任一點,曲線孤與直線段所圍圖形的面積為，求曲線孤的方程．解設曲線孤的方程為，由題意可得上式兩邊求導得，令，則方程化為，兩邊積分，得，即由得，，所以曲線孤的方程．3．一物體放在20的恒溫室內冷卻，由100冷卻到60經過20分鐘，試問共經過多少時間方可使物體的溫度從開始時間的100降到30（若物體的溫度為T，則物體的冷卻速度與物體溫度同外界溫度之差成正比）？解設物體的溫度為T，依題意有且有時，；時，；分離變量有，兩端積分，可得通解為，由時，；時，；得，，故，所以，當時，代入上式，解得，因此經過1h方可使物體的溫度從開始時間的100降到30．4．一個單位質量的質點在數軸上運動，開始時質點在原點O處且速度為．在運動過程中，它受到一個力的作用，這個力的大小與質點到原點的距離成正比（比例系數）而方向與初速度的方向一致，又介質的阻力與速度成正比（比例系數）．求這質點的運動規律．解設質點所在的數軸為軸，所求質點的運動規律為，由題意可得且，它的特征方程為，特征根為，故通解為對上式求導，代入條件，，解得，故質點的運動規律即為，其中．5．一鏈條懸掛在一釘子上，啟動時一端離釘子8m，另一端12m，若不計摩擦阻力，求此鏈條滑過釘子所需的時間．解以釘子處為原點，s軸豎直向下，設在t時刻，鏈條較長一端下垂sm,且設鏈條密度均勻分布為，則向下拉鏈條下滑的作用力為由牛頓定律得如下微分方程，且，，它的特征方程為，特征根為，并可求得方程的一個特解為，故通解為對上式求導，代入條件，，解得，故，當時，鏈條即全部滑下，需時．總習題111．選擇題(1)下列方程中為一階線性微分方程的是（）.（A）（B）（C）（D）(2)一曲線上任意點（x，y）處的切線斜率等于，那么該曲線的圖形是（）.（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線（D）拋物線(3)設為任意常數，則（）.（A）不是微分方程的解（B）是微分方程的解（C）是微分方程的特解（D）是微分方程的通解(4)微分方程的特解的形式為（）.（A）（B）（C）（D）(5)設是二階常系數非齊次線性微分方程的兩個解，則下列結論中正確的是（）.（A）是的解（B）是的解（C）是對應齊次方程的解（D）是對應齊次方程的解解(1)C；(2)B；(3)B；(4)C；(5)D．2．填空題(1)微分方程的通解為.(2)已知微分方程的一個特解為，則該方程的通解是.(3)以為通解的二階常系數齊次線性微分方程是(4)已知微分方程的一個特解為，則該方程的通解為.解(1)(2)；(3)；(4)．3．求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）（a為任意常數）；（4）；*（5）．解（1）此方程為一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（2）將看作自變量，看作的函數，則有，這是關于未知函數的一階線性非齊次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解為即.（3）所給方程的特征方程是，當時，特征根為兩個不相等的實根：，，故所求通解為.當時，特征根為兩個相等的實根：，故所求通解為.（4）所給方程對應的齊次方