固原市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高考考前提分?jǐn)?shù)學(xué)仿真卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={x|x2-4x-5<0},則4口3=()

A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1,2)

2.已知i是虛數(shù)單位，則手+三二()

Q『?口

A.一；+：匚B.C.j+D.

3.新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，深入推動(dòng)優(yōu)化升級(jí)和融合發(fā)展，持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給，實(shí)現(xiàn)了行業(yè)

的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收增長(zhǎng)情況，則下列說法錯(cuò)誤的是()

我國新聞出版產(chǎn)業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收增長(zhǎng)情況

25000C-239235喈

_____1

20000C-166353皿43

15000.C-

10000C-

5000.C-1935.5

2012年2013年2014年2015年2016年

□松宇出版業(yè)營(yíng)業(yè)收入《億元)

□新聞出版業(yè)營(yíng)業(yè)收入《億元)

A.2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收均逐年增加

B.2016年我國數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收的2倍

C.2016年我國新聞出版業(yè)營(yíng)收超過2012年我國新聞出版業(yè)營(yíng)收的1.5倍

D.2016年我國數(shù)字出版營(yíng)收占新聞出版營(yíng)收的比例未超過三分之一

4.已知平面向量a，b>c滿足：?-Z?=0,|c|=l,|a-c|=|z?-c|=5,則。一匕的最小值為()

A.5B.6C.7D.8

5.蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計(jì)的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用

均勻投點(diǎn)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計(jì)模擬法或統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法.現(xiàn)向一邊長(zhǎng)為2a的正方形模

型內(nèi)均勻投點(diǎn)，落入陰影部分的概率為則圓周率萬R()

A.4。+2B.472+1

C.6-4pD.4p+3

2X_Y3Y<01

6.已知函數(shù)/'(x)='—，貝|/(/(—))=()

In%,%>0e

3

A.-B.1C.-1D.0

2

7.兩圓（x+aY+V=4和f+（y—與2=1相外切，且"wo,則山1的最大值為（）

a+b

91

A.-B.9C.-D.1

43

22

8.若A5為過橢圓一一+乙=1中心的弦，耳為橢圓的焦點(diǎn)，則△片43面積的最大值為（）

16925

A.20B.30C.50D.60

9.如圖，這是某校高三年級(jí)甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測(cè)試的班級(jí)平均分的莖葉圖，則下列說法不正確的是（）

甲班乙班

7958

73I1013

11

A.甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的平均水平高于乙班

B.甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分比乙班穩(wěn)定

c.甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的中位數(shù)高于乙班

D.甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測(cè)試的總平均分是103

10.如圖，ABC中NA=2/3=60°,點(diǎn)。在5c上，ZBAD=30°,將△ABD沿AO旋轉(zhuǎn)得到三棱錐3'—ADC,

分別記B'A,ED與平面AOC所成角為a,夕，則a,夕的大小關(guān)系是（）

A

D

A.a</3<2aB.2a<13<3a

C.p<2a,2a3a兩種情況都存在D.存在某一位置使得尸>3a

11.函數(shù)〃x）=X-Hcosx（―%VxV不且XW0）的圖象可能為（）

12.從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方

案種數(shù)為

A.48B.72C.90D.96

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知公差大于零的等差數(shù)列｛4｝中，的、4、%依次成等比數(shù)列，則渠的值是.

22

14.已知雙曲線=13>0,8>0）與拋物線y2=8x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)凡兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,若|FP|=5,則點(diǎn)

ab

F到雙曲線的漸近線的距離為.

15.函數(shù)/（尤）=?+log2（l-x）的定義域?yàn)?/p>

7T

16.若點(diǎn)P(cosa,sina)在直線y=2x上，貝！1cos(2a+5)的值等于.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/1(x)=lnx-x2+ox(aeR).

(1)若/(x)W0恒成立，求。的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)/Xx)的極值點(diǎn)為4,當(dāng)。變化時(shí)，點(diǎn)(不，/(/))構(gòu)成曲線M，證明：過原點(diǎn)的任意直線丫=履與曲線M

有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

18.(12分)記數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S“，已知2”，4,250一。,,成等差數(shù)列56^).

(1)證明：數(shù)列｛a,,+1｝是等比數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記用=烏史■數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為7“，求7”.

anan+\

19.(12分)在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號(hào)再到公共繳費(fèi)，日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)

支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普索合作，調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶，

從中隨機(jī)抽取了60名，統(tǒng)計(jì)他們出門隨身攜帶現(xiàn)金(單位：元)如莖葉圖如示，規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下

(不含100元)的為“手機(jī)支付族”，其他為“非手機(jī)支付族”.

男性女性

035

7408

885535

20605男性女性合計(jì)

870手機(jī)支付族

38558

095非手機(jī)支付族

850001000

98220115合計(jì)

50001208

55420130

6610145

54320156

5016

(1)根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，將2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)?

(2)用樣本估計(jì)總體，若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機(jī)抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機(jī)支付族”的人數(shù)為求隨

機(jī)變量4的期望和方差；

(3)某商場(chǎng)為了推廣手機(jī)支付，特推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可直減100元；方案二：

手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可抽獎(jiǎng)2次，每次中獎(jiǎng)的概率同為工，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打9折，中獎(jiǎng)兩次

2

打8?5折.如果你打算用手機(jī)支付購買某樣價(jià)值1200元的商品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，選擇哪種優(yōu)

惠方案更劃算？

附:

2

P(K>k0)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

n(ad-be)2

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

20.(12分)已知函數(shù)〃x)=G；2+cosx(a￡R)

(1)當(dāng)a=g時(shí)，證明了'(x)20,在[0,+s)恒成立;

(2)若/(九)在x=0處取得極大值，求。的取值范圍.

2

V)的右焦點(diǎn)(、歷)過點(diǎn)尸且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為

21.(12分)橢圓。：二+l[a>b>0F,0,x

a

3TL

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)(2,0)且斜率不為0的直線與橢圓c交于"，N兩點(diǎn).。為坐標(biāo)原點(diǎn)，4為橢圓C的右頂點(diǎn)，求四邊形

OMAN面積的最大值.

22.(10分)在三棱錐S-ABC中，AABC是邊長(zhǎng)為2石的正三角形，平面S4C，平面ABC,SA=SC^2,V、

N分別為AB、S3的中點(diǎn).

(1)證明：AC±SB,

(2)求三棱錐3-CVW的體積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合B,再由集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)榧?={_2,-1,0』,2},8={%|(尤_5)(%+1)<0}={%|_1<%<5}

.?.Ac5={-2,-l,0,l,2}c{x|-1<X<5}={0,1,2},

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)得出結(jié)果

【詳解】

故選二

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。

3、C

【解析】

通過圖表所給數(shù)據(jù)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.

【詳解】

根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B：1935.5x2=3871<5720.9,正確;對(duì)于選項(xiàng)C：16635.3x1.5>23595.8,

故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：23595.8x」《7865>5720.9,正確.選C.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查柱狀圖是識(shí)別和數(shù)據(jù)分析，題目較為簡(jiǎn)單.

4、B

【解析】

rr

建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將〃-匕的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式,

利用基本不等式求得最小值.

【詳解】

建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)c=（cosasin。），OA=a,OB=b,且A（加由于

|<2-c|=|z?-c|=5,所以

a-c=^m-cos3.-sine),Z?—c=(—cosa〃一sine)所以

m2-2mcos^+cos20+sin20=25

即m2+n2=48+2mcos0+2nsin6?

n2-2zisin^+sin28+cos?0-25

卜二|(〃-c)-僅-c)=,(a—。)一2=A/48+2mcos0+2nsin0

=J加2+/N逝嬴.當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取得最小值，此時(shí)由根2+/=48+2mcos8+2〃sin9得

2m2=48+2m（sin+cos=48+2y[2msinj,當(dāng)8=苧時(shí)，2m?有最小值為48—2國，即

2加2=48—20根，m2+J%—24=0，解得m=3拒?所以當(dāng)且僅當(dāng)冽="=3。2,6=7時(shí)。一〃有最小值為

,2x（30『=6.

故選：B

本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

5、A

【解析】

計(jì)算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.

【詳解】

,Snn—2471—2

由

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了面積型幾何概型的概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

2%_d%<0111

由函數(shù)，(尤)=,'-，求得/(一)=ln—=—1,進(jìn)而求得了(/(一))的值，得到答案.

lnx,x>0eee

【詳解】

3

_rr<n

由題意函數(shù)/(%)='一，

Inx,x>0

iiiQ

則;?(一)=ln—=—1,所以/(/(—))=/(—1)=2一1—(―1)3=工，故選A.

eee2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理

與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

由兩圓相外切，得出標(biāo)+廿二%結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】

因?yàn)閮蓤A(尤++V=4和必+(丁—=1相外切

所以〃？莪7=3,即4+步=9

（29丫81

aV/（9一叫--5）+“

a2+b2~9-9

,9a2b2…j8119

當(dāng)=一時(shí),取最大值—x—=

2a2+b"494

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，屬于中檔題.

8、D

【解析】

先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)對(duì)稱性可得3(-x,-y),在表示出面積，由圖象遏制，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的頂點(diǎn)時(shí),

此時(shí)八耳A3面積最大，再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.

【詳解】

由題意，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)對(duì)稱性可得8(-X,-y),

則八耳A3的面積為S=1x|(9F|x|2y|=c|y|,

當(dāng)|y|最大時(shí)，△耳AB的面積最大，

由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)的面積最大,

22

又由工+2L=1,可得橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-5),(0,5),

16925

所以^F{AB的面積的最大值為S=cb=V169-25x5=60.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，以及三角形面積公式的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及化

歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

9、D

【解析】

計(jì)算兩班的平均值，中位數(shù)，方差得到ABC正確，兩班人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計(jì)算，。錯(cuò)誤，得到

答案.

【詳解】

由題意可得甲班的平均分是104,中位數(shù)是103,方差是26.4；

乙班的平均分是102,中位數(shù)是101,方差是37.6,則A,B,C正確.

因?yàn)榧住⒁覂砂嗟娜藬?shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計(jì)算，故。錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了莖葉圖，平均值，中位數(shù)，方差，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

10、A

【解析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得戊、/角，分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得

答案.

【詳解】

由題可得過點(diǎn)B作AD交AD于點(diǎn)E,過3'作CD的垂線，垂足為。，則易得(z=NB，AO,p=AB'DO.

設(shè)C￡>=1,則有5D=AD=2,DE=1,BE=6

二可得AB，=AB=2A,BD=BD=2.

sina=空,sin/?="

AB1DBf

sinf3=5/3sina>sinaf(3>cc?

。夕￡。我，sinos

sin2a=2sinacosa=-sin1a,

2,1-s譏2aG[^/3,2],?*-sin2a..若sina=sin夕，

2a..。.

綜上可得，a</3、,2a.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水

平.

11、D

【解析】

因?yàn)?(—x)=(—x+Acosx=—(x—Acosx=—/(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除A,B；取X=?,貝!J

XX

/(?)=(?-工)cos?=-(?-工)<0,故選D.

7171

考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.

12、D

【解析】

因甲不參加生物競(jìng)賽，則安排甲參加另外3場(chǎng)比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽

①當(dāng)甲參加另外3場(chǎng)比賽時(shí)，共有Q1?=72種選擇方案;②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時(shí)，共有=24種選擇方案.綜

上所述，所有參賽方案有72+24=96種

故答案為：96

點(diǎn)睛：本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體，考查了分類計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4

【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)求出公差與出的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化求解冷的值.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則d>0,

由于%、。6、依次成等比數(shù)列，則即(/+44)-=々2(42+10d)，

?,a*a、+10d18d9

d>0,解得a°=8d,因此，一=-------=萬7=了.

%%3d4

故答案為：49.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、V3

【解析】

設(shè)點(diǎn)P為(不，%)，由拋物線定義知，|閉=/+2=5,求出點(diǎn)P坐標(biāo)代入雙曲線方程得到。力的關(guān)系式，求出雙曲

線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

【詳解】

由題意得尸(2,0),因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線戶設(shè)上，\FP\=5,設(shè)點(diǎn)P為(％,%)，

/=3

由拋物線定義知，|閉=/+2=5,解得<

Jo=±276

22

「o24

不妨取P(3,2#),代入雙曲線去r一｝v=1,得3

b

又因?yàn)椤?〃=4,解得a=l,b=0因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±-x,

a

所以雙曲線的漸近線為尸土3*，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，

|土2詢

點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離d=/,z=0

在+(±6)

故答案為：百

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)遷移能力；靈活運(yùn)用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是

求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.

15,［0,1)

【解析】

根據(jù)函數(shù)成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.

【詳解】

%>0

解:要使函數(shù)有意義，則I,

1-%>0

即0<x<l.則定義域?yàn)椋海?,1).

故答案為：［0,1)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查定義域的求解，要熟練掌握張建函數(shù)成立的條件.

4

16、——

5

【解析】

根據(jù)題意可得sine=2cose,再由sin2(z+cos2a=l,即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意，得sine=2cosor,又sin?o+cos?tz=1，解得cosa=±@,

5

當(dāng)cosa--時(shí)，則sintz=?亞，

55

此時(shí)cos|2a——=-sin2a=-2x——x-----=——；

I2)555

當(dāng)cosc=一立時(shí)，則sina=-2也,

55

此時(shí)cos[2a+]J=-sin2a=—2x---x-4

5

綜上，cosl2a+^-j=4

5

4

故答案為：-二

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)a<l；(2)證明見解析

【解析】

InxInx

(1)由/(x)wo恒成立，可得—-^恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)g(x)=x--求導(dǎo)可判斷出g(x)的單調(diào)性,

XX

進(jìn)而可求出g(x)的最小值g(x)111m，令a<g(X)min即可;

⑵由f\x)=-2廠+依+1,可知存在唯一的x0e(0,+8),使得r(%)=0,則—+嘰+1=0,a=2%-',

XX0

進(jìn)而可得即曲線M的方程為y=lnx+%2—1,進(jìn)而只需證明對(duì)任意左WR,方程

lnx+d—1=丘有唯一解，然后構(gòu)造函數(shù)尸(x)=lnx+x2—6-i,分左<0、0〈女420和左>2&三種情況，

分別證明函數(shù)尸(九)在(0,+8)上有唯一的零點(diǎn)，即可證明結(jié)論成立.

【詳解】

InY

(1)由題意，可知%>0,由/(x)W0恒成立，可得——^恒成立.

人/、Inx?,%2—1+Inx

令g(x)=九-----，貝!|tg(%)二

x

h(x)=x2-1+Inx,貝!|〃(%)=2%+工，

x

0,/.hf(x)>0,

/.h(x)=J一i+m%在(0,+8)上單調(diào)遞增，又久1)=o,

1￡(0,1)時(shí)，/z(x)<0；X￡(l,+8)時(shí)，/z(x)>0,

即xc(O,l)時(shí)，g'(x)<0；xe(l,+8)時(shí)，g'(x)>0,

.?.xe(O,l)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減；xe(l,+8)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，

.,.x=l時(shí)，g(x)取最小值g⑴=1,

(2)證明：由r(x)=1—2x+a=—2必+辦+1,令7(勸=—2/+以+1,

XX

由7(0)=1>0,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知，存在唯一的不￡((),+8),使得:(%)=0,故/(%)存在唯一的極值點(diǎn)％,

c1

貝(]一2片9+ox。+1=0,a=2x-----,

0xo

2

/./(x0)=Inx0-x02+ax0=Inx0+x0-1,

???曲線M的方程為y=lnx+%2—1.

故只需證明對(duì)任意左eR,方程lnx+V—1=區(qū)有唯一解.

1or2-kxA-}

令尸(x)=lnx+x2—近一1,則戶(x)=±+2x—左='一竺二，

XX

①當(dāng)上<0時(shí)，尸(左)>0恒成立，??.b(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

ek<l,e2k<1,F(ek)=k+e2k-kek-l=k(l-ek)+e2k-1<Q,

產(chǎn)⑴=—心0,.?.存在，滿足時(shí)，使得F⑺=0.

又歹(x)單調(diào)遞增，所以％=/為唯一解.

②當(dāng)0〈人42行時(shí)，二次函數(shù)y=2d-履+1,滿足八=42_840，

則9(x)>0恒成立，二廠(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

尸⑴=—左<0,F(e3)=3+e6-te3-1=(e3-V2)2+e3(272-k)>0,

二存在re(l,e3)使得P⑺=0,

又P(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，二.％=/為唯一解.

③當(dāng)左>20時(shí)，二次函數(shù)丁=2必—履+1,滿足A=42一8>0，

此時(shí)尸(X)=。有兩個(gè)不同的解占,工2,不妨設(shè)王<々，

列表如下:

X(0,xJX](再㈤%(%2，+0°)

F,M+0—0+

F(x)/極大值極小值7

由表可知，當(dāng)％=再時(shí)，O)的極大值為方(%i)=ln玉+%；一儲(chǔ)—1.

2

_何+1=0,尸(%)=In%1-xt-2,

0<x<—<,In玉<%:+2,

2

不)「.<尸(玉)

/.b(=ln%i_2v0,F(X2)<0.

方(e")=左之+匕2標(biāo)—品"—1=(e"—左)e"+左2一1.

下面來證明一女>0，

1Q21

構(gòu)造函數(shù)根(%)=x2-Inx(x>20),則mr(x)=2x——=-...，

xx

，當(dāng)XE(20,+OO)時(shí)，m(x)>0,此時(shí)加(兀)單調(diào)遞增，

3

m(x)>771(2^2)=8--ln2>0,

二xe(20,+co)時(shí)，X2>]nx>ex">elnx=x?

故/-4〉0成立.

???F(eA'2)=(e--kH+左2_1>0,

二存在徐(移產(chǎn))，使得/⑺=0.

又R(X)在(X2，+刈單調(diào)遞增，."=/為唯一解.

所以，對(duì)任意％eR,方程比%+/—1=依有唯一解，即過原點(diǎn)任意的直線、=區(qū)與曲線〃有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，考查利用單調(diào)性研究圖象交點(diǎn)問題，考查學(xué)生的

計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于難題.

E11

、證明見解析，

18(1)(2)Tn=--

【解析】

⑴由2〃,a“,2S”-4成等差數(shù)列，可得到34=2〃+2S“，再結(jié)合公式%=l消去S0，得到

[Sn-Sn_i,n>2

再給等式兩邊同時(shí)加整理可證明結(jié)果；

an+1=3a?+2(neN*),1,

7+1

(2)將(1)得到的4=3"-1代入〃=口一中化簡(jiǎn)后再裂項(xiàng)，然后求其前〃項(xiàng)和.

【詳解】

由一成等差數(shù)列，則一

(1)2〃,,25”an2a“=2〃+25”a”,

即3a“=2〃+2S“，①

當(dāng)〃=時(shí)，

13al=2+2al,aA-2,

又3%=2(〃+l)+2Sn+19②

由①②可得：3%什1-=2+2a.+i,

即an+i=3a“+2(〃eN*),

4C+1C

a“+i+1=3(??+1),"=1時(shí)，6+1=3,q+]=3.

所以｛a“+l｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

所以

an+1=3",a”=3"-l.

/、公3"11)

(2)b=__________________=_____________________

”(3n-l)(3B+1-l)213"-13n+1-lJ>

所以北=4+偽++bn=2^3^1-3n+1-J=4-2(3n+1-1)*

【點(diǎn)睛】

此題考查了數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的證明，裂列相消求和，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.

918

19、(1)列聯(lián)表見解析，99%；(2)—；(3)第二種優(yōu)惠方案更劃算.

525

【解析】

(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)得出結(jié)論；

(2)有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機(jī)支付族”的概率為尸=(,知J服從二項(xiàng)分布，即48(3,；),可求得其期望和方差；

(3)若選方案一，則需付款1200—100=1100元，若選方案二，設(shè)實(shí)際付款X元,，則X的取值為1200,1080,1020,

求出實(shí)際付款的期望，再比較兩個(gè)方案中的付款的金額的大小，可得出選擇的方案.

【詳解】

(1)由已知得出聯(lián)列表:

男性女性合計(jì)

手機(jī)支付族10122260x(10x8—12x30)2

,所以K?=?7.033>6.635

非手機(jī)支付族3083822x38x40x20

合計(jì)402060

???有99%的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān);

1233

(2)有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機(jī)支付族”的概率為P=x=§,5(3,-),

.??E(0=3x|=|,ZO=3x|x1||=j|；

(3)若選方案一，則需付款1200-100=1100元

若選方案二，設(shè)實(shí)際付款X元,，則X的取值為1200,1080,1020,

???P(X=1200)=嗚1"，P(X=1080)==叱)出三,P(X=1020)=嗯[出=

.?.E(X)=1200x-+1080x-+1020x-=1095

'/424

,1100>1095,選擇第二種優(yōu)惠方案更劃算

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，二項(xiàng)分布的期望和方差，以及由期望值確定決策方案，屬于中檔題.

20、(1)證明見解析(2)1一°°，一g

【解析】

⑴根據(jù)/(x)=+cosx,求導(dǎo)/''(x)=x-sinx,^h[x)=x-sinx,用導(dǎo)數(shù)法求其最小值.

⑵設(shè)g(x)=/'(x)=2ox-sz九x,研究在％=0處左正右負(fù)，求導(dǎo)g'(x)=2a-cosx.,分a<-^,

-!<。<二,三種情況討論求解.

22

【詳解】

(1)因?yàn)?(X)+COSX,

所以/'(X)=x—sinx,

令//(%)=x-szTzx,貝!]//'(%)=1—cosx20,

所以妝x)是[0,+s)的增函數(shù)，

故W?/2(o)=o,

即/'(x)?0.

(2)因?yàn)間(x)=/'(x)=2at—sinx,

所以g'(x)=2a-cosx.,

①當(dāng)時(shí)，g'(<x^>l—cosx>0,

所以函數(shù)尸(x)在R上單調(diào)遞增.

若x>0,則/(左)>/(。)=0;

若非<0,則尸(同</(0)=0,

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,0),

所以/(九)在％=0處取得極小值，不符合題意，

②當(dāng)。三一5時(shí)，g'(%)<-l-cosx<0,

所以函數(shù)尸(x)在R上單調(diào)遞減.

若%>0,則/(8)</(0)=0,

若x<0,則/(x)>/'(0)=0;

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+8),單調(diào)遞增區(qū)間是(7,0),

所以/(%)在％=0處取得極大值，符合題意.

③當(dāng)—g<a<g時(shí)，3x0e(O,^-),使得cos/=2a,

即g〈Xo)=O,但當(dāng)xe(0，v)時(shí),cosx>2a即g'(x)<0,

所以函數(shù)尸(x)在(O,x0)上單調(diào)遞減，

所以/(力</'(0)=。，即函數(shù)/(%))在(0,尤。)上單調(diào)遞減，不符合題意

綜上所述，。的取值范圍是1-8,-g

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.

21、(1)—+^-=1(2)最大值2遙.

86

【解析】

72

(1)根據(jù)通徑竺=3&和c=0即可求

a

四邊形

(2)設(shè)直線跖V方程為％=陽+2,聯(lián)立橢圓，利用S