2024年3月安徽省普通高中學業水平考試

數學模擬試題（三）

考試時間：90分鐘滿分：100分

第I卷（選擇題54分）

一、選擇題（本大題共18小題，每小題3分，滿分54分，每小題4個選項中，只有一個選

項符合題目要求）

1.已知集合4={旬-24工<3},3={x|x>0},則=()

A.[-2,3]B.[0,3]C.(。,+巧D.[-2,+s)

2.設復數z滿足z（l+i）=2i,i是虛數單位，貝IJ|z|=

A.B.2C.1D.y[5

3.函數y=2sing+：）的最小正周期是（）.

71

A.—B.兀C.27rD.4兀

2

4.下列函數中，值域是（。,+8）的是（）

,1

A.y=x2B.y=-C.y=-2'D.^=lg(x+l)(x>0)

X

5.已知角a的終邊上一點坐標為（道,-l）,則角a的最小正值為()

.5兀-7兀_Hu-5兀

A.—B.—C.—D.——

6663

6.化簡sin347cos148+sin77cos58的值為()

A.立B.-且C.1D.@

2222

7.若a>6>0,則下列不等式一定成立的是（）

?bb+111

A.—>------B.a+->b7-\--

aa+1ab

八0°—bid

C.ac1>be1D.a—>b——

ab

8.函數〃尤）=ln?g在下列區間中存在零點的是（

)

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

9.如圖，尸為平行四邊形A3CD所在平面外一點，過8C的平面與平面外。交于斯，E在線段尸。上且異

于P、D,則四邊形EFBC是()

A.空間四邊形B.矩形C.梯形D.平行四邊形

10.一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.從袋中隨機抽取兩個球，那

么取出的球的編號之和不大于4的概率為()

A.-B.1C.-D.-

6233

11.已知a=logz；,6=2與，0=3瓜2,貝!b,c的大小關系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

12.己知平面向量：石的夾角為g，且|/=2,日|=1，則-2+=()

A.4B.2C.1D.屈

13./1BC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,C,若4=1,A=2，B=N則。=(

612

A.1B.72C.gD.36

14.若棱長為由的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為()

927―

A.—7iB.—nC.97rD.277r

28

15.設/(x)為定義R上奇函數，當xWO時，/(x)=2'+2x+b"為常數)，則〃-1)=()

A.3B.—C.—1D.—3

2

16.甲、乙兩人進行飛鏢游戲，甲的10次成績分別為8,6,7,7,8,10,10,9,7,8,乙的10次成績

的平均數為8,方差為0.4,則下列說法不正確的是()

A.甲的10次成績的極差為4B.甲的10次成績的75%分位數為8

C.甲和乙的20次成績的平均數為8D.乙比甲的成績更穩定

17.已知函數Ax)的定義域為R,且滿足/(-x+2)=-f(x+2),又/(x+1)為偶函數，若/(1)=1,則

/(2)+/(7)=()

試卷第2頁，共4頁

A.0B.1C.2D.-1

2"—l,x<2

18.已知函數/(x)=若方程/(X)-〃=0恰有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍為

-,x>2

)

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,3)

第n卷(非選擇題46分)

二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，滿分16分，請把答案寫在相應橫線上)

19.設i是虛數單位，復數z=，L,貝h對應的點位于第__象限

1-1

20.在中，ZA=90°,AB=AC=4,點M為邊AB的中點，點尸在邊BC上，則MPCP的最小值為

21

21.已知%>0,丁>。，且一+—=1,若2x+y>機恒成立，則實數加的取值范圍是.

%y

cosa=g,cos(cr+=貝|sinQ=

22.已知￡(o,,J,

三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，滿分30分，解答題應寫出文字說明及演算步

驟)

23.已知函數=+(1-2a)x-2a.

⑴求關于1的不等式/⑴>0的解集；

(2)若/(1)=6,求函數丫=/區在上的最小值.

x-1

24.如圖，在棱長為2的正方體ABCO-44GA中，點￡,廠分別為棱。C和的中點.

⑴求證：4尸〃平面ARE;

(2)求三棱錐4-AER的體積.

25.記"BC內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,M(6+c)(sinB-sinC)=(sinA-sinC)a.

⑴求3的值；

(2)若AABC的面積為g,b=2,求△ABC周長.

試卷第4頁，共4頁

1.D

【分析】

利用并集的定義可求得集合AuB.

【詳解】

因為集合A={+24]<3},B=,因此，AuB=[-2,+oo).

故選：D.

2.A

【詳解】

z=3=l+"z|=0，故選A,

3.D

【分析】

用周期公式計算.

【詳解】

12萬

由題意，co=—,:.T=—=4萬；

2m

故選：D.

4.D

【分析】

利用不等式性質及函數單調性對選項依次求值域即可.

【詳解】

對于A：y=/的值域為[0,+8)；

對于B：y」的值域為(y>,0)i(0,+8)；

X

對于C：y=-2,的值域為(—8,0)；

對于D：x>0,x+1>1,.1.lg(x+l)>0,

.?.y=lg(x+l)的值域為(0,+s)；

故選：D

5.C

答案第1頁，共11頁

【分析】

根據三角函數的定義求出cosa,再根據a的終邊位于第四象限，即可得到滿足條件的角a的

取值，進而得到角a的最小正值.

【詳解】

因為角a的終邊上一點坐標為（石，-1）,

A/3y/3

所以cosa=

“若j+(_2

且a的終邊位于第四象限,

7C

/.a=---F2kn,k￡Z.

6

當左=1時，角a取最小正值1］手兀，

6

故選：C

6.D

【分析】

利用誘導公式結合兩角和的正弦公式化簡可得所求代數式的值.

【詳解】

原式=sin（270+77）cos（90+58）+sin77cos58

=sin58cos77+cos58sin77=sin（58+77）=sin135=sin（180-45）=sin45

故選：D.

7.D

【分析】

采用作差法可確定AD正誤；通過反例可知BC錯誤.

【詳解】

bb+1b-abb+1

對于A,<0,<，A錯誤;

aa+1~a~a+i

對于B,當。=2,=7時，a-\—=b+—=—,B錯誤;

2ab2

對于C,當C=0時，ac2=bc2=0,C錯誤；

iQ、7a2-b2/7，a+b\八b,a一

—b—=u-b-\-----—=(〃一/?)Id-------->0,/.a—>b—,D正確.

Ib)ab\ab)ab

故選：D.

答案第2頁，共II頁

8.B

【分析】

根據零點存在定理，代入驗證，即可得出結果.

【詳解】

因為/（x）=lnx-,顯然單調遞增，

X

又“1）=0-l=T<0,/（2）=ln2-1>0,

由零點存在定理可得/（尤）=111%-！的零點所在區間為（1,2）.

X

故選：B

9.C

【分析】

由線面平行的性質分析判斷即可

【詳解】

因為BC〃AD,ADu平面尸AD,平面MD,

所以BC〃平面PAD,

因為BCu平面EFBC,平面EFBC）平面E4D=￡F,

所以BC〃EF,

因為BC=AD,EF<AD,

所以EF<BC,

所以四邊形即BC為梯形，

故選：C

10.C

【分析】

利用列舉法列出所有可能情況，再根據古典概型的概率公式計算可得;

【詳解】

從編號為1、2、3、4的4個球中隨機抽取兩個球，

其可能結果有。,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）共6個,

其中滿足編號之和不大于4的有，（1,2）（1,3）共2個，

答案第3頁，共11頁

21

所以取出的球的編號之和不大于4的概率尸=亍=:

63

故選：C

11.A

【分析】

根據指數函數、對數函數的性質判斷即可.

【詳解】

解：因為a=log2；<log21=0,0<2-3<2°=1,即0<6<1,

ln2

c=3>3°=l,

所以a<6<c.

故選：A

12.B

【分析】

先求解-2bl的平方，因為|a-2b『=(a-26『，利用平面向量相關的運算法則求解出結果,

開方后求得|。-26|

【詳解】

\a-2b^=^a-2b^=a-^a-b+^b=|<2|-4|a,|-|z?|cos^-+4|Z2|

因為向量W1的夾角為?,且|/=2,|+=1，

所以|a-26/=4-4x2xg+4=4,\a-2b\=2

故選：B

13.B

【分析】

首先由誘導公式求出sinC,再根據正弦定理計算可得；

【詳解】

解：依題意sinC=sin［萬一(A+=sin(A+B)=sin

c_1

由正弦定理一一=-即屹=T,解得c=JL

sinCsinA——T

故選：B

答案第4頁，共11頁

14.A

【分析】

根據題意設正方體的外接球半徑為R,得,即可解決.

J""2+'2

【詳解】

由題知，正方體的棱長為石，且正方體的頂點都在同一球面上，

設正方體的外接球半徑為R,

所以氏=也*』2=近±2±2=3,

222

44?7Q

所以該球的體積為丫=彳兀&=7t.M=兀，

3382

故選：A

15.D

【分析】

根據奇函數可得b=-1,進而根據奇函數的性質即可求解.

【詳解】

由于〃x)為定義R上奇函數，所以/(0)=0?1b=0?b-1,

所以當尤NO時，f(x)=2*+2x-l,

因止匕/(-1)=_/(1)=一(2+2—1)=-3,

故選:D

16.B

【分析】

根據題意，計算極差、75%分位數、平均數和方差，再逐一判斷即可.

【詳解】

解：對于A,甲的10次成績分別為8,6,7,7,8,10,10,9,7,8,極差為10—6=4,

故A正確；

對于B,甲的10次成績從小到大依次為6,7,7,7,8,8,8,9,10,10,

i=10x75%=7.5,.?.甲的10次成績的75%分位數為第8個數是9,故B錯誤；

對于C,.甲的10次成績的平均數為卷(6+7+7+7+8+8+8+9+10+10)=8,乙的10次成績

的平均數為8,

答案第5頁，共11頁

?.?甲和乙的20次成績的平均數為：-(8><10+8*10)=8,故C正確；

對于D,甲的方差為七[(6-8)2+3X(7—8)2+3X(8-8)2+(9-8)2+2X(10—8)2]=1.6,乙的方

差為0.4,0.4<1.6,.,.乙比甲的成績更穩定，故D正確.

故選：B.

17.D

【分析】

利用給定條件，推理得出/(X+4)=-/(X+2)=/(X),再利用賦值法計算作答.

【詳解】

因為/(x+1)為偶函數，則f(x+l)=/(-%+1),

即有f[-x+2)=f[-(x-1)+1]=/(x),又f(-x+2)=-/(x+2),

因此f(x+2)=-/(%),有此x+4)=-7'(x+2)=/(X),

于是得/(7)=/(3+4)=/(3)=/(I+2)=-/(I)=-1,

又/(2)=f(0),f(2)=-/(0),則有/(2)=0,

所以〃2)+/⑺=-1,

故選：D

18.A

【分析】

畫出函數y=〃無)的圖像，將方程/(力-4=。恰有三個不同的實數根轉化為函數y=/(x)

與y=。有3個不同的交點即可.

【詳解】

若方程“X)=。恰有三個不同的實數根,

則函數y=/(x)與y=a有3個不同的交點

答案第6頁，共11頁

由圖可得函數y=/（x）與y=a有3個不同的交點，貝

故選：A.

19.二

【分析】

先利用復數的除法化簡復數z,再根據復數的幾何意義求解.

【詳解】

2i(l+i)

因為Z==-l+i

(l)(l+i)

所以z對應的點位于第二象限，

故答案為：二

9

20.—##-4.5

2

【分析】

根據已知條件建立平面直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用向量的坐標表示及向量的數量

積的坐標表示，結合二次函數的性質即可求解.

【詳解】

以A為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，如圖所示

由題意可知8（4,0）,C（0,4）,M（2,0）,設P（x,4-x）,0WxW4,

所以MP=(x—2,4-x),CP=(x,-無),

所以MPC戶=無？-2x-4尤+尤2=2尤z-6x=2（彳一』］--,0<x<4,

I2）2

39

由二次函數的性質知，當尤=日時，MPCP取最小值為-，

9

故答案為：--.

答案第7頁，共11頁

21.（7,9）

【分析】

21

將2x+y與一+一相乘，展開后利用基本不等式求出2尤+y的最小值，即可得出實數機的取

%y

值范圍.

【詳解】

21

因為尤>0,y>0,且一+—=1,

xy

所以，2犬+0=（2犬+丫）（2+']=5+豈+幺25+21戶.空=9,

當且僅當x=y=3時，等號成立，故2x+y的最小值為9.

因為2x+y>〃?恒成立，所以，m<（2x+y）min=9.

故答案為：（Y°,9）.

22.且##%

22

【分析】

利用同角的三角函數的基本關系式和兩角差的正弦可求sin夕的值.

【詳解】

因為cosa=g,故sina=

而6e（0，m，故a+匹（0㈤，而cos（a+￡）=-\,

故sin（a+￡）=，

所以sin'=sin（a+/?—=sin+'）cos—cos（a+尸）sina

541114后百

=---------X—IX----------=.

1471472

故答案為：走

2

23.（1）當a=-g時，不等式的解集為卜上力-1｝；

當a>-g時，不等式的解集為｛x|x<-l或x>2a｝；

當。〈-;時，不等式的解集為卜上>-1或x<2a｝.

答案第8頁，共11頁

(2)26+5.

【分析】

(1)利用一元二次不等式的解法及對參數。分類討論即可求解;

(2)根據已知條件及基本不等式即可求解.

【詳解】

(1)由得f+(1—2a)x-2a＞。,即(x—2a)(x+l)＞。,

當。=-g時，不等式(x+l)2>0,解得xw-l,不等式的解集為卜|尤力-1｝；

當-l<2a即。時，不等式的解集為或x>2a｝；

當—1>2〃即。<-g時，不等式的解集為｛x|x>-l或x<2。｝；

綜上所述，當a=時，不等式的解集為｛x|xx-l｝；

當。時，不等式的解集為何尤<-1或x>2。｝；

當時，不等式的解集為何》>-1或x<2a｝.

(2)由/⑴=6,M/(l)=l2+(l-2fl)xl-2a=6,解得a=—1,

所以/(%)=%2+3%+2.因為％〉1,所以＞。,

x-1

2

_/(x)_x+3尤+2x-l+~^-+5＞2(x-1)-—-+5=2A/6+5,

y

X—1X—1x-1的)(x-1)

當且僅當》-1=二，即了=#+1時，等號成立.