2024年1月“七省聯考”考前猜想卷

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.若全集U=R,/={x|x<l},B={x\x>\],則（）

A.AcBB.*A=BC.BcS^AD.”U8=R

【答案】C

【解析】/={x|x<l},B={x\x>\},^A={x\x>l},則Nc2=0,A錯誤，

B^A,B錯誤，C正確，/u3={x|x<l或x>l},D錯誤，故選C.

2.已知i為復數單位，智=2+i,貝”=l+ai的模為（）

1-1

A.1B.V2C.2D.4

【答案】B

【解析】由苧絲=2+i可得3+ai=（2+i）（l-i）=3-i,所以a=-l,

1-1

所以z=l-i,則目==g,故選B.

3.在三角形NBC中，AC=3,AB=4,ZCAB=120°,貝川方+就）?益=（）

A.10B.12C.-10D.-12

【答案】A

【解析】記就=則，|=3，W=4,

'.'a-b=|3|-|^|cos0=12cosl2O°=-6,:.（a+bYb=展3+時=-6+16=10.

4.sin(a—6)+sin(a+⑼=；,cosasin〃=；,則tana

)

tan￡

343

A.-B.一C.1D

432-1

【答案】A

【解析】由sin(a-4)+sin(a+尸)=5,得2sinacos力=,,

即sinacos^=:,而cosasin〃=；,

tanasinacosB3,,.

所以--------------,故選：A

tan/3cosasin￡

5.在等比數列｛4｝中，％，是方程--8x+加=0兩根，若%。5=3%,則用的值為（）

A.3B.9C.-9D.-3

【答案】B

【解析】因為出，。6是方程--81+加=0兩根,

所以出+以=8,。2。6=%八二64-4冽＞0,即加＜16,

在等比數列｛%｝中，a2a6=a3a5=又。3a5=3a4，

所以4=34,因為〃4。。，所以為=3,所以加=蠟=9,故選B.

6.中國國家大劇院是亞洲最大的劇院綜合體，中國國家表演藝術的最高殿堂，中外文化交流的最大平

臺.大劇院的平面投影是橢圓C,其長軸長度約為212m,短軸長度約為144m.若直線/平行于長軸

且C的中心到/的距離是24m,貝!!/被C截得的線段長度約為（）

A.140mB.143mC.200mD.209m

【答案】C

【解析】設該橢圓焦點在》軸上,以中心為原點，建立直角坐標系,如圖所示,

22

設橢圓的方程為：「+勺=1，a>b>0,由題意可得2Q=212,26=144,

a2b1

2,2

將Q=106,6=72代入方程，得彘+方1,

因為直線/平行于長軸且C的中心到/的距離是24m,

7.*=±廂”是“直線x+y+6=0與圓C:(x+l『+(y-l)2=5相切”的()

A.充分條件B.必要條件

C.既是充分條件又是必要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

【答案】C

【解析】圓心C到直線x+y+6=o的距離"=裳=0，

所以同=J記，即6=±加，所以所求直線方程為x+y士而=0.

“b=M”是“直線x+y+6=0與圓C：(x+l)2+(y-l>=5相切”的充要條件，故選C.

8.設a=ln2,b=L09,c=e03,則()

A.c<b<aB.a<c<b

C.c<a<bD.a<b<c

【答案】D

【解析】a=ln2<Ine=1<Z>,c=e?3>eP=1>a,

令〃x)=e-x2_i,則/，(x)=e=2x,

令g(x)=e*-2x,貝i]g'(x)=e*-2,

當xe(-a),ln2)時，g'(x)<0,〃x)單調遞減,

當xe(ln2,+8)時,g，(x)>0/(x)單調遞增，

所以廣(x)2/(ln2)=2(l-ln2)>0,

所以/(x)在R上單調遞增，

所以〃0.3)>〃0)=0,即e°3>i.O9,所以c>6.

綜上，〃<6<。.故選口

二、選擇題：本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.近年來，我國人口老齡化持續加劇，為改善人口結構，保障國民經濟可持續發展，國家出臺了一系

列政策，如2016年起實施全面兩孩生育政策，2021年起實施三孩生育政策等.根據下方的統計圖，下

列結論正確的是（）

(

H

日

科

)

*

森

A.2010至2022年每年新生兒數量的平均數高于1400萬

B.2010至2022年每年新生兒數量的第一四分位數低于1400萬

C.2015至2022年每年新生兒數量呈現先增加后下降的變化趨勢

D.2010至2016年每年新生兒數量的方差大于2016至2022年每年新生兒數量的方差

【答案】AC

【解析】對于A,由折線圖可知：2010至2022年每年新生兒數量13個數據中有2010至2018年的數量（9

個）均高于1500萬，3個數據低于1400萬，根據數據之間的差距可得2010至2022年每年新生兒數量的

平均數高于1400萬，故選項A正確;

對于B,由圖可知共有13個數據，因為13x25%=3.25,所以第一四分位數是按照從小到大排列的數據

的第4個數據，由折線圖可知，第4個數據為2019年新生兒的數量，其值大于1400萬，故選項B錯誤;

對于C,由折線圖可知2015至2022年每年新生兒數量呈現先增加后下降的變化趨勢，故選項C正確;

對于D,由折線圖可知：2010至2016年每年新生兒數量的波動比2016至2022年每年新生兒數量的波動

小,所以2010至2016年每年新生兒數量的方差小于2016至2022年每年新生兒數量的方差，故選項D錯

誤,故選AC.

10.已知函數/(x)=/sin(ox+°)則（）

A./⑴的最小正周期為兀

B.當xe時，的值域為---

C.將函數/(x)的圖象向右平移自個單位長度可得函數g(x)=sin2x的圖象

D.將函數/(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數圖象關于點

(連，。］對稱

【答案】ACD

571兀

【解析】由圖可知，/=1,函數/(X)的最小正周期T=4x=兀，故正確;

n~~6A

由7=知0=/=?=2,

因為"=1,所以sin

又-[<o<三,所以夕=2,所以/(x)=sin

對于B,，所以sin

所以〃x)的值域為-丁」，故B錯誤；

對于C,將函數/㈤的圖象向右平移］個單位長度，得到g(x)=sin2卜今=sin2x的圖象，故C正

確；

對于D,將函數/(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到y=sin(x+2］的圖

象，

因為當x=用時，^=sin^+^=sin3t=O,所以得到的函數圖象關于點片，0)對稱，故D正確.故選

ACD.

11.如圖，在棱長為1的正方體/BCD-4801。中，尸為棱CG上的動點(點尸不與點C,。重合)，過點

P作平面a分別與棱2C,CD交于M,N兩點，若CP=CM=CN,則下列說法正確的是()

D

A.4C_L平面。

B.存在點尸，使得/G〃平面a

C.存在點P,使得點4到平面e的距離為:

D.用過點尸，M,的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形

【答案】ACD

【解析】連接Bq/。，。。,/。,。/

因為CM=CN,CB=CD,所以二CM巴=C一N，所以MN//BD

CBCD

又MNu平面C3。，5。匚平面。1§。，所以A/N〃平面￡5。

同理可證MP//5G，〃平面

又MPcMN=M,MN、VPu平面。，所以平面弓⑶。〃平面a

易證4C_L平面所以4。_L平面a,A正確

又/Gc平面￡8O=G，所以4cl與平面a相交，不存在點P使得4。1〃平面a,B不正確.

因為|4C|=V1+1+1=6,點C到平面QBD的距離為辛

所以點4到平面a的距離的取值范圍為（竽,指）

又短＜2＜百，所以存在點P,使得點出到平面。的距離為。，C正確.

333

因為/A//3G,所以/。//〃尸，所以用過點尸，M,a的平面去截正方體得到的截面是四邊形4apM

又ADJIMP,且42片〃尸，所以截面為梯形，D正確

故選：ACD

12.拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射

出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線

c：y>2=2X,O為坐標原點，一束平行于x軸的光線4從點P（加,2）射入，經過C上的點火占,必）反射

后，再經過。上另一點3（%,%）反射后，沿直線4射出，經過點。，則（）

1

A.再%2=-

延長/。交直線'T于點則“。三點共線

B.0B,

C.

9

D.若PB平分/ABQ,則加二=

一4

【答案】AB

5，。1,4（%,2）,如圖:

【解析】由題意知，點廠

2-04

k

將2（42）代入j?=2x,得玉=2,所以/（2,2）,則直線48的斜率2-13,

則直線力5的方程為p

y2=2x

_1

聯立42，得8x2-17x+2=0，解得玉=2,x2—

y=一X------8

33

%=-;，則

又％二三時，8

O

44-所以A選項正確;

所以項々=2

175

又|/8|=%+/+1=2+4+1=?,所以C選項錯誤;

o8

又知直線8Q〃x軸，且成,J］，則直線時的方程為歹=-；，

又N(2,2),所以直線4。的方程為了=》，

令x=-g,解得”一；，即0在直線30上，

所以。，B,。三點共線，所以B選項正確；

設直線尸3的傾斜角為8(de［。,；］),斜率為勺，直線43的傾斜角為e，

若PB平分乙4BQ,即//8。=2/尸80,即a=2。，

2。42ki

所以tana=tan26=-----^―,則￡=一y，且左o>O，解得左o=7，

1-tan031-左02

2-f-^

7141

又k°='>解得：m=—1所以D選項錯誤；故選AB.

128

m——

8

三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分

13.給定條件：①/(X)是奇函數；②/(盯)=〃x)/(y).寫出同時滿足①②的一個函數〃x)的解析

式：.

【答案】/(x)=x(答案不唯一)

【解析】當/(X)=x時，定義域為R,關于原點對稱，且〃r)=T=-,〃x),則其為奇函數，

又因為/(孫)=^=x,y=f(x)/僅)，所以/(x)=x滿足題意，

2

14.已知(ax-2)(x+—y的展開式中的常數項為240,則。=.

【答案】3

【解析】(X+-)5的展開式的通項&］=C"5-(_y=2,=0,123,4,5),

%x

令5—2/二一1得尸=3,令5—2尸=0,無解，

2

所以(◎-2)(%+—)5的展開式中的常數項為q.23C；=80。=240,所以a=3.

x

15.為備戰巴黎奧運會，某運動項目進行對內大比武，王燕、張策兩位選手進行三輪兩勝的比拼，若王

燕獲勝的概率為一3,且每輪比賽都分出勝負，則最終張策獲勝的概率為______

4

【答案片

【解析】①第一局王燕勝，第二局張策勝，第三局張策勝，②第一局張策勝，第二局王燕勝，第三局

張策勝，③第一局，第二局張策2勝，.?.比賽結束時乙獲勝的概率

P=-X—X1——X—X——I--X—=1--------1=——

4444444464646432

16.四棱錐尸-48CD各頂點都在球心O為的球面上，且尸/，平面48c0,底面4BCD為矩形,

PA=AD=2,AB=2也,設分別是尸的中點，則平面4W截球。所得截面的面積

為.

【答案】3n

【解析】如下圖所示，

易知四棱錐尸-N8C?外接球與以AP,AB,AD為棱長的長方體的外接球相同；

由題意可知球心。為尸C中點，

2

故球C的直徑2R=不2+2?+（26丁=4,解得R=2

由MN分別是尸Z）,CD的中點可得MNHPC,可得PC//平面AMN；

所以球心O到平面AMN的距離等于點C到平面AMN的距離，

設球心。到平面的距離為d,截面圓的半徑為7,

在三棱錐C-/MN中，易知平面MNC,且工^=；'0、0=1,

所以匕1-AWC=321Az松X/M>

而=9％"d=；xgxV2X2d,由等體積法得d=\,

所以/=尺2_/=3,故截面面積為/=37t.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）已知數列｛%｝滿足％=1,且點（一L-）在直線y=x-2上

an+\an

（1）求數列｛%｝的通項公式;

（2）數列｛a,%.前〃項和為北,求能使北<3切-12對恒成立的加（加eZ）的最小值.

【解析】（1）點（二一，'）在直線）=x-2上，

%%

所以數列］是以首項為工=1,公差為2的等差數列.--------------3分

故，=一+2("-1)=2“-1,即°“=——.--------------5分

2Tl—1

/、11rl11八

(2)aa=—不7,［卜--------------6刀

n+］n(2n—1)(2〃+1)212〃-12n+［J

1

2〃+1

----------------------8分

要使7；<3冽-12對〃EN*恒成立,

3m-12>-,Wm>—----------------------9分

26

又meZ,所以冽的最小值為5.10分

18.（本小題滿分12分）在銳角445C中，內角力,B,C的對邊分別為a,b,c,且。-2bcosZ=6.

（1）求證：A=2B；

（2）若A的角平分線交5。于。，且。=2,求△，助面積的取值范圍.

【解析】（1）因為。-2bcos4=6,

由正弦定理得sinC-2sin5cos4=sin52分

又4+8+0=兀，所以sin(Z+5)—2sin5cos4=sirUcos5-cos/sin5=sin(4—5)=sinB--------3分

因為“2C為銳角三角形，所以Be［。，］］，A-Be

My=sinx在上單調遞增，所以"8=8,B|JA=2B；----------------------5分

（2）由（1）可知，A=2B,所以在△48。中，ZABC=/BAD,

ADAB2i

由正弦定理得：—^=-（一赤=「^，所以---------------7分

sinBsin（7i-25）sm2BcosB

1QinR

所以S^ABD=—XABXADxsin5=-----=tan5.----------------------9分

△2cosB

又因為“5c為銳角三角形，

TTTTJT717r

所以0<8<-,0<2B<-,0<7t-35<-,解得一<8<—，----------------------11分

22264

（、（由\

所以taaSw--,1,即△48D面積的取值范圍為~~,1.----------------------12分

<）I3>

19.（本小題滿分12分）直播帶貨是一種直播和電商相結合的銷售手段，目前已被廣大消費者所接

受.針對這種現狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩步提升，以下是該公司

2023年前5個月的帶貨金額：

月份X12345

帶貨金額y/萬元350440580700880

（1）計算變量x,V的相關系數『（結果精確到0.01）.

（2）求變量x,了之間的線性回歸方程，并據此預測2023年7月份該公司的直播帶貨金額.

（3）該公司隨機抽取55人進行問卷調查，得到如下不完整的列聯表：

參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計

女性2530

男性10

總計

請填寫上表，并判斷是否有90%的把握認為參加直播帶貨與性別有關.

參考數據：±=590,￡（項4『=10,E（y,-7）2=176400,

Z=1Z=1

5_____________

X1,-x）（%-y）=1320,V441000?664.

Z=1

.X（x..-x）（z.-7）

參考公式：相關系數,線性回歸方程的斜率b=上一-,--截--距-------

1=1

d=y-bx.

n(ad-bc\,

附：K2=7------77-----77——------7，其中n=a+b+c+d.

[a+b)[c+d)(a+c)(b+d)

尸（K注可0.150.100.050.025

*2.0722.7063.8415.024

【解析】（1）—1產-0.99------------------2分

2x^41000

(2)因為x=

5_25__

X[廠x)=10,X卜-祖乂-y)=1320,--------------------4分

/=11=1

.士k,一司5-工)mo

所以6=----------------=——=132,<5=590-132x3=194,-------------------6分

E”丫10

7=1

所以變量X,J之間的線性回歸方程為5)=132^+194,

當x=7時，9=132x7+194=1118(萬元).

所以預測2023年7月份該公司的直播帶貨金額為1118萬元.--------------8分

（3）補全完整的列聯表如下.

參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計

女性25530

男性151025

總計401555

----------------------9分

零假設吊：參加直播帶貨與性別無關,

根據以上數據，經計算得到/LB*??皿…』--------------"分

根據小概率值々=0.1的獨立性檢驗我們推斷用不成立，即參加直播帶貨與性別有關，該判斷犯錯誤

的概率不超過10%.----------------------12分

20.（本小題滿分12分）如圖，三棱柱/5C-45G的底面是等邊三角形，AB=AA、=6,ZABBt=60°,

D,E,尸分別為8片，CC,,2C的中點.

（1）在線段/4上找一點G,使尸G//平面4小，并說明理由；

（2）若平面44與8_1平面N8C,求平面與平面/5C所成二面角的正弦值.

【解析】（1）如圖所示：

當點G為-4的中點時，FG〃平面4DE,--------------1分

證明如下：設〃為DE中點，連接W，4〃.

因為在三棱柱NBC-14G中，BBJ/CCJ/AA,,--------------2分

D,E,F,G分別為BBt,CCt,BC,AAt的中點，

所以FHHECHAfi,且FH=EC=Afi,

所以四邊形4Gm為平行四邊形.

所以尸G〃4?,--------------4分

又因為4"u平面AQE,FG<Z平面&DE,

所以尸G〃平面--------------5分

（2）如圖所示：

取中點。，連接。綜/4,OC.

因為AB=AAX=BB[,ZABBt=60,

所以A/84為正三角形，所以q及--------------6分

又因為平面4405_L平面48C,平面平面48c=N8,BQu平面44]耳8,

所以尾。1平面4BC,

又C。,/。u平面/8C,

所以B]O_LCO,4O_L/。，

因為“8c為等邊三角形，所以Od瓦--------------7分

以。為原點，分別以。。。4。4所在直線為X軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

(33

依題意得4(0,3,0),8(0,-3,0),C(3立,0,0),4(0,6,36)，瓦(0,0,36),。0,--,^-,-------------8分

__(〔S3n、_

所以西=0,y,—,瓦=就=(3百,3,0).

設平面4QE的法向量為=(無,y,z),

n-DA.=0—y+—z=0-/廠、

則由_2，得2.2，令x=l,得〃=1,-百,5.---------------------9分

^-DE=Q〕3氐+3尸。

取平面N2C的法向量而=(0,0,1),

設平面AtDE與平面ABC所成二面角的大小為0,

則|cos6\=IcosCm,n\\=—^==--------------11分

"1I\/I\m\.\n\1x72929-門刀

所以sin6=Jl-cos23=2^^,

29

所以平面與平面45C所成二面角的正弦值為3支.--------------12分

29

21.（本小題滿分12分）已知直線x+y+l=O與拋物線C：*=2力（0>0）相切于點/,動直線/與拋物

線C交于不同兩點M,N（M,N異于點/）,且以血GV為直徑的圓過點4

（1）求拋物線C的方程及點/的坐標；

（2）當點/到直線/的距離最大時，求直線/的方程.

fx+y+1=0.

【解析】（1）聯立2c，消V得/+2.+20=0,

[x~=2py

因為直線x+y+l=0與拋物線C:x?=2抄（p>0）相切，

所以A=4?2-80=0,解得。=2或p=。（舍去），--------------2分

當p=2時，x2+4x+4=0,解得x=-2,所以y=1,---------------------4分

所以拋物線C的方程為Y=4J,點/的坐標為（-2,1）；----------------------5分

(2)顯然直線/的斜率存在，

可設為了=b+6,”(%,必),

[y=kx-\-b

由(2A，消V得一—4履一46=0,

[x=4y

貝!|A=16無2+166>0,

國=4左,石馬=T6，----------------------7分

A.M—(匹+2,必—1),/N—^2+2,%-1)，

因為以為直徑的圓過點4,

所以而?前:0，

即(占+2)伍+2)+(乂-1)(%-1)=0,----------------------8分

整理可得(左2+1)西/+[左(6—1)+2](%+9)+(%_1)2+4=0,

所以一46化2+1)+4/(6-1)+8后+(6—1)2+4=0,

化簡得62—66+9=4左2-8左+4，

所以(6-3『=(2左-2/，

所以b—3=2左一2或6—3=2-2左，

即6=2左+1或6=-2k+5,----------------------9分

當6=2左+1時，直線/:歹=區+2k+1,

即y-l=Mx+2),所以直線/過定點(-2,1)(舍去