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圖形變換模型之翻折（折疊）模型

幾何變換中的翻折（折疊、對稱）問題是歷年中考的熱點問題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查

學生的識圖能力及靈活運用數學知識解決問題的能力。

涉及翻折問題，以矩形對稱最常見，變化形式多樣。無論如何變化，解題工具無非全等、相似、勾股

以及三角函數，從條件出發，找到每種對稱下隱藏的結論，往往是解題關鍵。本專題以各類幾個圖形（三

角形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓等）為背景進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

【知識儲備】

翻折和折疊問題其實質就是對稱問題，翻折圖形的性質就是翻折前后圖形是全等的，對應的邊和角都是相

等的。以這個性質為基礎，結合三角形、四邊形、圓的性質，三角形相似，勾股定理設方程思想來考查。

解決翻折題型的策略：

I）利用翻折的性質：①翻折前后兩個圖形全等；②對應點連線被對稱軸垂直平分；

2）結合相關圖形的性質（三角形，四邊形等）；3）運用勾股定理或者三角形相似建立方程。

模型1.矩形中的翻折模型

【模型解讀】

,Ec4DAD

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例1.（2024?遼寧鞍山?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，矩形/08C的邊分別在x軸、

了軸正半軸上，點。在8c邊上，將矩形ZO2C沿/。折疊，點。恰好落在邊上的點E處.若。/=8,

03=10,則點。的坐標是.

【答案】（10,3）

【分析】根據折疊的性質得出NE=/C=10,在RtzX/OE中，勾股定理求得。石=6,進而得出BE=4,在

RtVOBE中，勾股定理建立方程，求得8。的長，即可求解.

【詳解】解：???四邊形NO2C是矩形，.?./C=O3=10,

????,.-.AE=AC=10,在RtZUOE中，OE=^AE2-AO2=A/102-82=6

EB=OB—OE=10—6=4,:.設DB=m,則CD=8—"7,

,折疊，；.Z）E=CD=8-加，在Rt△。即中，DE2=EB2+BD2.

.?.（8-m）2=m2+42,解得：m=3,.?.DB=3,二。的坐標為（10,3）,故答案為：（10,3）.

【點睛】本題考查矩形與折疊，勾股定理，坐標與圖形，熟練掌握折疊的性質以及勾股定理是解題的關

鍵.

例2.2024春?江蘇泰州?八年級統考期中）如圖,在矩形/BCD中，4B=3,BC=8,￡是8C的中點，將V4BE

沿直線NE翻折，點落8在點尸處，連結CF,則CF的長為（）

F

【答案】B

【分析】連接B尸交/E于點根據三角形的面積公式求出88,得到B/，根據直角三角形的判定得到

9C=90。，根據勾股定理求出答案.

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【詳解】解：連接3尸交NE于點才,

?.?將V4BE沿直線/E翻折，點落8在點尸處，

???點3、尸關于NE對稱，=5F_L4E,：8C=8,點￡為2c的中點，BE=4,

又?;AB=3,\AE=slAB2+BE2=A/32+42=5>==貝1|8尸=尋，

?1?FE=BE=EC,:.NBFC=90。,CF=VsC2-BF2=^82-(y)2=y.故選：B.

【點睛】本題考查的是翻折變換的性質和矩形的性質，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前

后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵.

例3.(2024?湖北?統考中考真題)如圖，將邊長為3的正方形A8CD沿直線E尸折疊，使點B的對應點州落

在邊4D上(點M不與點4。重合)，點C落在點N處，MN與CD交于點、P,折痕分別與邊48,CD交于

點、E,F,連接■.⑴求證：ZAMB=ZBMP；(2)若。P=l,求MD的長.

【答案】⑴證明見解析(2)〃。=二

【分析】(1)由折疊和正方形的性質得到/口牛=/M。=90。，EM=EB,則NEMB=NEBM,進而證明

NBMP=ZMBC,再由平行線的性質證明NAMB=ZMBC即可證明ZAMB=/BMP；

(2)如圖，延長肱V,8c交于點0.證明尸得到QC=2〃D,QP=2MP,

^MD=x,則0c=2x,BQ=3+2x.由/BMQ=,得到MQ=80=3+2x.貝Ij

==之產.由勾股定理建立方程/+仔=［土產］,解方程即可得到〃D=

【詳解】(1)證明：由翻折和正方形的性質可得，NEMP=NEBC=90°,EM=EB.

:.NEMB=ZEBM.:"EMP-ZEMB=ZEBC-ZEBM,即/BMP=ZMBC,

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???四邊形是正方形，/.AD//BC./.ZAMB=ZMBC.ZAMB=ZBMP.

(2)解：如圖，延長MN,BC交于點、Q.?；AD〃BC,ADMPsACQP.

「…、一」MDMPDP\

又DP=1,正方形48cZ)邊長為3,：.CP=2——=——=――=—,

vzLN

：.QC=2MD,QP=2MP,^MD=x,貝ij℃=2x,：.BQ=3+2x.

?：/BMP=NMBC,BPZBMQ=ZMBQ,：.MQ=BQ=3+2x..-.MP=^MQ=.

22222

在中，MD+DP=MP,■-X+1=(^^].解得：x,=0(舍)，x2=y..-.MD=^.

【點睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，相似三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，勾股

定理等等，正確作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵.

例4.（2024春?江蘇宿遷?八年級統考期末）如圖，在矩形23CQ中，AB=6,BC=8.點。為矩形/3CQ

的對稱中心，點￡為邊NB上的動點,連接石。并延長交。于點足將四邊形NEFD沿著E尸翻折，得到四

邊形AEFD，邊HE交邊8c于點G,連接。G、OC,則VOGC的面積的最小值為（）

A.18-3B.|+3V7?6+7

【答案】D

【分析】在￡/上截取應飲=EG,連接OM,證明VMOE之VGOE,所以OM=OG,即可得。加最短時，OG

也就最短，而當＜W_L/3時，OW最短，且OM=4=OG,再過點。作0H/8C,得OH=3,又因為

OC=5,就可以根據勾股定理計算G〃、的長，從而計算出最小面積.

【詳解】解：在瓦4上截取EN=EG,連接OM,

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由折疊得：NMEO=NGEO,又；EO=EO,，VMOE0VGOE（SAS）,

:.OM=OG,最短時，OG也就最短，而當時，最短，

此時，???點O為矩形48CD的對稱中心，??.OW=；BC=4=OG,即OG的最小值是4,

在VOGC中，；點。為矩形/BCD的對稱中心，

.：0C長度是矩形對角線長度的一半，即是5,定值，/3C。度數也不變，是定值，

.??當0G=4最小值時，AOGC面積最小.過點。作

???點。為矩形/BCD的對稱中心，:.OH=；AB=3,

RtVOG“中，GH=^OG2-OH2=A/42-32=布,

RtVOHC中，HC=yj0C2-OH2=V52-32=4>:.GC=GH+HC=近+4，

：.VOGC面積的最小值是:xGCxOH=；x（V7+4）x3=mV7+6.故選：D.

【點睛】本題考查矩形的性質、全等三角形的判定與性質及垂線段最短等知識，解題關鍵是找到。G最小

值.

例5.（2024春?遼寧撫順?八年級校聯考期中）如圖，矩形紙片/BCD中，AB=6,BC=10,點E、G分別

在BC、ABk,將△￡>（?￡、V2EG分別沿。￡、EG翻折，翻折后點C與點尸重合，點2與點尸重合.當n、

P、F、￡四點在同一直線上時，線段G尸長為（）

8rz855nr

A.-V2B.-C.-D.-V2

3333

【答案】B

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【分析】據矩形的性質得到CD=4B=6,4D=BC=U）,Z5=ZC=90°,據折疊的性質得到。尸=CD=6,

EF=CE,NDFE=NC=NDFA=90。,根據勾股定理得到N尸=8,設EF=CE=x,由勾股定理列方程得

到NE=10,BE=8,由折疊的性質得到尸G=8G,NAPG=NEPG=NB=90°,PE=BE=8,求得

AP=AE-PE=2,設尸G=3G=y,則4G=6-y,據勾股定理列方程即可得到結論.

【詳解】解：在矩形紙片43CD中，AB=6,BC=10,.-.CD=AB=6,AD=BC=\Q,ZB=ZC=90°,

???將△￡?（?￡沿DE翻折，翻折后點C與點F重合，

.-.DF=CD=6,EF=CE,ZDFE=ZC=ZDFA=90°,AF=^AD2-DF2=V102-62=81

設EF=CE=x,BE=10-x,AE=S+x,

???AB2+BE2=AE2，.-.62+（10-x）2=（8+x）2,解得：x=2,.?./E=10,BE=8,

?.?將VBEG沿EG翻折，翻折后點2與點尸重合，

PG=BG,ZAPG=ZEPG=ZB=90°,PE=BE=8,：.AP=AE-PE=2,設PG=8G=y,貝|

AG=6-y,

oO

AG2-AP2+PG2,.?.（6-y）2=22+_/,線段G尸長為故選：B.

【點睛】本題考查翻折變換（折疊問題），矩形的性質，勾股定理，根據勾股定理列方程是解題關鍵.

例6.（2024,江蘇鹽城,統考中考真題）綜合與實踐

【問題情境】如圖1,小華將矩形紙片先沿對角線折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線BD

上，點B的對應點記為2',折痕與邊2。分別交于點E,F.

【活動猜想】（1）如圖2,當點夕與點。重合時，四邊形3EDF是哪種特殊的四邊形？答：.

【問題解決】（2）如圖3,當AB=4,40=8,時=3時，求證：點H,B',C在同一條直線上.

【深入探究】（3）如圖4,當N8與5c滿足什么關系時，始終有4?與對角線/C平行？請說明理由.

（4）在（3）的情形下，設/C與AD,E尸分別交于點。，P,試探究三條線段/P,B'D,E尸之間滿足

的等量關系，并說明理由.

上m

圖1圖2圖3圖4

【答案】（1）菱形；（2）證明見解答；（3）BC=43AB,證明見解析；（4）由F=2（AP+B，D）,理由見解

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析

【分析】（1）由折疊可得：EFLBD,OB=OD,再證得△BFO當ADEaASA）,可得OE=O尸，利用菱形的

判定定理即可得出答案；（2）設EF與BD交于點M,過點"作B'K,3c于K,利用勾股定理可得

BD=4#,再證明△?Rra/sABDC,可求得即/=半，進而可得89=為叵，再由△BBKsAgQC,可求得

B'K=^,BK="CK=BC-BK=^-^-=^-,運用勾股定理可得8‘C=4,運用勾股定理逆定理可得

ZCB'F=90°,進而可得//2/+/。8戶=90。+90。=180。，即可證得結論；

（3）設NOAB=NOBA=a,則/。8。=90。-&,利用折疊的性質和平行線性質可得：ZAB'B=ZAOB=a,

再運用三角形內角和定理即可求得a=60。，利用解直角三角形即可求得答案；

（4）過點￡作EGL3C于G,設EF交BD千H,設AE=m,EF=n,利用解直角三角形可得

B'D=BD-BB'=瓜Y（m+；"）=與1-&,4P=2AE-cos3。。=后,即可得出結論.

【詳解】解：（1）當點"與點。重合時，四邊形3EZ用是菱形.

理由：設E尸與8。交于點。，如圖，

???四邊形28CD是矩形，ZOBF=NODE,

.?.△5FO^Ar?￡O(ASA),OE=OF,；.四邊形8即尸是菱形.故答案為：菱形.

(2)證明：???四邊形/3C。是矩形，AB=4,AD=8,BF=3,：.BC=AD=8,CD=AB=4,

/BCD=90°,

.-.CF=BC-BF=S-3=5,BD=4BC1+CD2=V82+42=475，

如圖，設E尸與交于點M,過點皮作B'KLBC于K,

由折疊得：^A'B'F=ZABF=ABMF=ZB'MF=90°,B'F=BF=3,BB'=IBM,:.NBMF=NBCD,

八BMBFBM3.RM.6#.RH，」2后

NFBM=ZDBC,AABFM^△BDC,/.—=——，n即n—=—f=,..DM.=-----,..DD--------

BCBDoZ555

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B，KBKBB'12y

■：ZBKB'=ZBCD,ZB'BK=ZDBC,:.ABB'KsABDC,：.——=—=——，即B'KBK5

CDBCBD=-^-

:.B'K=—,BK=—,:.CK=BC-BK=-=—,B'C=^B'K2+CK2=4,

5555

?「B'F2+B'C2=32+42=25,CF2=52=25,/.B'F2+BrC2=CF2,/.NCB'F=90°,

ZA'B'F+ZCB'F=90°+90°=180°,...點/，B’,C在同一條直線上.

(3)當=時，始終有與對角線NC平行.

理由:如圖，設/C、BD交于點O,

???四邊形/BCD是矩形，.[04=08,

^ZOAB=ZOBA=a,則/O3C=90°-a,由折疊得：ZA'B'F=ZABC=90°,B'F=BF,

ZBB'F+ZA'B'B=90°,ZBB'F=ZOBC=90°-a,:.NAB'B=NOBA=a,

A'B//AC,ZAB'B=ZAOB=a,-.-ZOAB+ZOBA+ZAOB=180°,

a+a+a=180°,即3a=180°,/.a=60°,ABAC=60°,--=tanABAC=tan60°=73,BC=\[3AB;

AB

(4)y/3EF=2(AP+B'D),理由如下：如圖，過點E作EG_LBC于G,設,EF交_BD于H,

由折疊得：EF1BD,B'F=BF,ZBFE^ZB'FE，T^AE=m,EF=n,

由(3)得：ABAC=60°=ZABD,ZBB'F=ZDBC=30°,ZBFE=ZB'FE=60°,

:.EG=EFsm60°=—n,FG=EFcos60°=-n,ZEAB=ZABG=ZBGE=90°,

22

四邊形/8GE是矩形，AB=EG=—n,BG=AE=m,AD//BC,

2

BF=B'F=m+—n,BH=BF-cos30°=-^-(m+—n),BB'=2BH=V3(m+—w),

2222

BD=2AB=y/3n,B'D=BD—BB'—y/3n—(in+—n)=—n—s/3m,

AD//BC,:"DEF=NEFG=60。，ZAPE=ZDEF-ADAC=60°-30°=30°=ADAC,

AP-2AE-cos30°=y/3m,AP+B'D=y/Snt+n—y/Sni)=n,

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:.AP+B'D=^-EF,即GEF=2(/P+B'Z)).

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性質，等

腰三角形性質，平行線性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等，涉

及知識點多，綜合性強，難度較大.

模型2.正方形中的翻折模型

【模型解讀】

B一

FD

I)

HD

例L（2024?河南洛陽?統考二模）如圖，正方形的邊長為4,點尸為CD邊的中點，點尸是4D邊上

不與端點重合的一動點，連接AP.將V4B尸沿BP翻折，點/的對應點為點￡,則線段EF長的最小值為

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C.V34D.377-2

【答案】B

【分析】先確定線段跖的最小值的臨界點，然后結合正方形的性質，折疊的性質，以及勾股定理，即可求

出答案.

【詳解】連接8R則EABF—BE,當點8、E、尸在同一條直線上時，跖的長度有最小值，如圖

由翻折的性質，BE=AB=4,在正方形N8CO中，BC=CD=4,4c=90。,

?.?點尸為CO邊的中點，.99=2,"兩=2石，

■■EF=BF-BE=2y[5-4；故選：B.

【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，勾股定理，最短路徑問題，解題的關鍵掌握所學的知識,

正確找出線段最小值的臨界點，從而進行解題.

例2.（2024?廣西玉林?統考模擬預測）如圖，在正方形A8CO的邊AB上取一點E,連接CE,將△BCE沿CE

翻折，點B恰好與對角線AC上的點F重合，連接OF,若BE=2,則△CDF的面積是（）

D.竽

B.372+4C.672+8

【答案】B

【分析】由折疊可得EF=BE=2,ZCFE=ZB=9O°,且NFAE=45。可得AF=2,AE=2及，即可求對角線BD

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的長，則可求4CDF面積.

【詳解】如圖連接BD交AC于0,

???ABCD為正方形，.?/ABC=90。，AB=BC,AC1BD,D0=B0,NBAC=45。，

???△BCE沿CE翻折，.-.BE=EF=2,BC=CF,ZEFC=90°,

???Z.BAC=45°,NEFC=90°,；.Z_EAF=NAEF=45°,.-.AF=EF=2,；.AE=2④，

；.AB=2亞+2=BC=CF,；.BD=亞AB=4+2亞，；.0D=2+行，＜的二:xCFxD0=3及+4,故選B.

【點睛】本題考查翻折變換、正方形的性質、勾股定理、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是

熟練應用所學知識解決問題.

例3.Q024?廣東九年級課時練習）如圖，正方形23CQ中，=6,點E在邊C0上，且CD=3DE.ADE

沿/E對折至△/KE,延長E尸交邊BC于點G,連接/G、CF,則下列結論：①△4BG2△/尸G；②

N4GB+44￡D=135。③G尸=3；④/G〃CF；其中正確的有（填序號）.

【答案】①②③④

【分析】根據折疊，得到3=UFE=9Q°,推出N3=/尸，UFG〃B=90°,可證明

RtAABGmRtAAFG,即可判斷①正確；^DAE=ZEAF,/.BAG=ZFAG,進而可得NG4E=45。，根據

三角形內角和定理即可得乙4￡尸+乙4。尸=135。，得到乙4G8+2E￡?=135。，進而判斷②正確；設BG=GF=

x,則CG=6-x,EG=x+2,CE=4,在RtZkEGC中，根據勾股定理建立方程（x+2）2=（6-x）2+42,解

方程可得G尸=3,即可判斷③正確；根據2G=AG=3,得到CG=2CBG=6-3=3,得至UCG”G,推出

乙GCF=KGFC,根據乙1G8=ZJGR得至【」N5G尸=2乙4G尸=2NG尸C,得至UzJG尸=NGFC,推出/G||CF,即可判

斷④正確

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【詳解】???四邊形是正方形，.?.ND=NAgC=ND45=N5GD=90。，AB=BC=CD=AD=6,

-CD=3DE,:,DE=2,??.CE=4,???將A4QE沿4E*對折至八4在，

??.々FE=^4DE=90°,AF=AD,EF=DE=2,；.乙4FG=，4BG=9O。,AF=AB,

[AB=AF八

在RtA4BG和RtA4尸G中，\,萬…：^tAABG=RtAAFG(HL),.??①正確；

\ACr=AG

?.?將△ADE沿4E對折至八4跳，ZDAE=ZEAF,???RtzX4BGmRtAlFG,；./BAG=NFAG,

???ZDAE+NEAF+ZBAG+NFAG=ZDAB=90°,ZEAG=ZEAF+ZFAG=-ZDAB=45°,

2

■■■^AEF+/-ADF=135°,.-.^AGB+AAED=135°,.,.②正確；

設8G=GF=x,貝!|CG=6-x,EG=x+2,

CE=^,(x+2)2=(6-x)2+42,解得x=3,.?-3G=GF=3,.?.③正確；

?：BG=FG=3,：.CG=BC-BG=6-3=3,：.CG=FG,：.乙GCF=^GFC,

???—G8="GR%BG尸=24GF=2NG尸C,.,.2GF=NGPC,??dGIICE?.④正確；

故答案為：①②③④.

【點睛】本題考查了正方形性質，折疊圖形全等的性質，三角形全等的判斷和性質，三角形內角和定理，

勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

例4.(2024?江蘇揚州?統考中考真題)如圖，已知正方形N2CD的邊長為1,點￡、下分別在邊/。、8c上,

將正方形沿著E尸翻折，點8恰好落在CD邊上的點"處，如果四邊形4RFE與四邊形EFCD的面積比為

3：5,那么線段尸C的長為.

【答案】t

O

【分析】連接班'，過點尸作用，M于點H,設CE=x,則。H=x,則AF=l-x,根據已知條件，分

別表示出，證明VEHFgVB'CB(ASA),得出砒=2'C=；-2x,在RtVB'"中，

B'F2^B'C2+CF2,勾股定理建立方程，解方程即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接88',過點廠作于點H,

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??,正方形的邊長為1,四邊形48FE與四邊形￡尸。。的面積比為3:5,

33

???8四邊形43在=7*1=三，設貝ijQ〃=x,貝Ij5尸=l—x

OO

13131

?■?S四邊形的E=K（NE+8F）XN8.即5（4E+1一x）xl=6：,AE^x--

ZoZo4

：.DE=\-AE=--x,.-.EH=ED-HD=--x-x=--2x,

444

?折疊，：.BB'LEF,.?.Nl+/2=/8GF=90°,?,?Z2+Z3=90°,Z1=Z3,

又FH=BC=l,NEHF=AC：.\IEHF^IB'CB（ASA）,EH=B'C=^-2x

在RtVBRC中，＞即0一x）2=x2+[\-2xj解得：x=|,故答案為：|.

【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，熟練掌握以上知

識是解題的關鍵.

例5.（2024?江蘇?統考中考真題）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為:2"+1二1（〃為正整數）的矩形

2"

稱為〃階奇妙矩形.（1）概念理解：當〃=1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學習過

的黃金矩形，它的寬（4D）與長（CD）的比值是.

（2）操作驗證：用正方形紙片/BCD進行如下操作（如圖（2））：

第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF,連接CE；

第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點。的對應點為點H,展開，折痕為CG；

第三步：過點G折疊紙片，使得點48分別落在邊4D、BC上,展開，折痕為GK.

試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形.

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（3）方法遷移：用正方形紙片/BCD折疊出一個2階奇妙矩形.要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作

簡要標注.（4）探究發現：小明操作發現任一個〃階奇妙矩形都可以通過折紙得到.他還發現：如圖（4）,

點、E為正方形ABCD邊ABk（不與端點重合）任意一點，連接CE,繼續（2）中操作的第二步、第三步，

四邊形NG/羽的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值.請寫出這個定值，并說明理由.

【答案】（1）1二1；（2）見解析；（3）理由見解析

【分析】（1）將”=1代入史上1二1,即可求解.（2）設正方形的邊長為2,根據折疊的性質，可得

2"

AE=EB=1,設。G=x,貝1」4G=2-x,在RtV/EG,RtVGHE中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解;

（3）仿照Q）的方法得出2階奇妙矩形.（4）根據（2）的方法，分別求得四邊形NGHE的周長與矩形GDCX

的周長，即可求解.

【詳解】解：（1）當〃=1時，"+1-1=jlzl,故答案為：計二1.

2"22

（2）如圖（2）,連接EG,

設正方形的邊長為2,根據折疊的性質，可得==1

設DG=x,貝i|/G=2-x根據折疊，可得G〃=GZ）=x,CH=CD=2,

在RtABEC中，EC^ylEB2+BC2=A/12+22>：.EH=也-2,

在RtV/EG,RtVGHE中，AG2+AE2=GE2,GH2+fl/2=G￡2.-.(2-x)2+12=(V5-2)"+x2

高考復習材料

解得：x=V5-l.-.-=避二L矩形GDCK是1階奇妙矩形.

DC2

(3)用正方形紙片/BCD進行如下操作(如圖)：

第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為MN,再對折，折痕為E尸，連接CE；

第二步：折疊紙片使落在CE上，點。的對應點為點展開，折痕為CG；

第三步：過點G折疊紙片，使得點48分別落在邊2c上，展開，折痕為GK.

矩形GZXK是2階奇妙矩形，

理由如下，連接GE,設正方形的邊長為4,根據折疊可得￡3=1,則4￡=4-1=3,

設DG=x,貝!J/G=4—x根據折疊，可得GH=GD=x,CH=CD=4,

在Rtz\BEC中，EC=NEB?+BC27m后,：.EH=后-4,

在RtV/EG,RtVGHE中，AG'+AE1=GE2,GH2+EH2=GE1

???(4-x)2+32=(V17-4)2+x2W^：x=g-]...黑=*T

當〃=2時，也”'+1-1=姮二1...矩形GDCK是2階奇妙矩形.

2"4

(4)如圖(4),連接諛GE,設正方形的邊長為1,設EB=m,則/￡=1-冽，

設。G=x,貝=l—x根據折疊，可得G〃=GD=x,CH=CD=1,

在Rtz\2EC中，EC=dEB2+BC?=J1+療，■-EH^^+m2-b

在RtVAEG,RtVGHE中，AG2+AE2=GE2,GH~+EH2=GE2

(1-x)2+(1-w)2=(71W-1)2+x2w,x=^m2+\-m

，四邊形AGHE的邊長為l-x+x+Jl+加、一1+1-〃7=y/l+m2-m+1=x+1

矩形GDCK的周長為2(G￡>+DC)=2(x+l),.?.四邊形的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值!

【點睛】本題考查了正方形的折疊問題，勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵.

模型3.菱形中的翻折模型

【模型解讀】

高考復習材料

例1.（2024,四川成都?模擬預測）如圖，在菱形N8C。中，乙43c=120。，將菱形折疊，使點A恰好落在對

角線BD上的點G處（不與8、。重合），折痕為E尸，若。G=2,BG=6,則BE的長為.

【答案】2.8

【分析】作陰，8。于根據折疊的性質得到EG=￡/,根據菱形的性質、等邊三角形的判定定理得到

△/應＞為等邊三角形，得到=根據勾股定理列出方程，解方程即可.

【詳解】解：作EXLAD于由折疊的性質可知，EG=EA,由題意得，BD=DG+BG=8,

???四邊形ABCD是菱形,AD=AB,NABD=NCBD=|NABC=60°,

為等邊三角形，AB=BD=8,設8E=x,則EG=/E=8-x,

在RtVEHB中,BH=-x,EH=-x,在RtVEHG中,EG2=EH2+GH2,

22

高考復習材料

即AE=2.8,故答案為：2.8.

【點睛】本題考查的是翻轉變換的性質、菱形的性質、勾股定理、解直角三角形，掌握翻轉變換是一種對

稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵.

例2.（2024,安徽,統考一模）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，NA=60。，點M是AD邊的中點，點N是

AB邊上一動點，將AAMN沿MN所在的直線翻折得到△NMN,連結A，C,則AC長度的最小值是（）.

A.V7C.V3D.2

【答案】B

【分析】根據題意，在N的運動過程中A，在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動，當A，C取最小

值時，由兩點之間線段最短知此時M、A\C三點共線，得出A，的位置，進而利用銳角三角函數關系求出

A（的長即可.

【詳解】如圖所示：

???MA，是定值，A，C長度取最小值時，即/V在MC上時，過點M作MF1DC于點F,

,?,在邊長為2的菱形ABCD中，ZA=60°,M為AD中點，；.2MD=AD=CD=2,ZFDM=60°,

iipi

.-.ZFMD=3O°,/.FD=-MD=-,.-.FI\/l=DMxcos30o=—,

222

22,/

MC=yjFM+CF=y/l,.-.AC=MC-MA=A/7-1.故選B.

例3.（2024?山東棗莊?九年級校考階段練習）如圖，在菱形紙片/BCD中，AB=4,ZA=60°,將菱形紙

片翻折，使點”落在的中點E處，折痕為FG,點尸，G分別在邊AD±,則EF的長為（）

高考復習材料

【答案】A

【分析】連接BE、BD,根據菱形的性質可知MCD是等邊三角形，由E是中點，可求得DE,BE,

又因為CDI/AB,可得NABE=NCEB=90。,利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：連接班、BD,

；四邊形23CD為菱形，ZA=60°,:.AB=4=BC=CD,ZA=60°=ZC,，ABCD是等邊三角形，

?.?E是CD中點，DE=2=CE,BE1CD,ZEBC=30°,BE=43CE=273,

■■■CD//AB,:.NABE=NCEB=90°,由折疊可得/斤=EF,

7

-：EF2=BE2+BF2,：.EF2=12+（4-EF）2,：.EF=-.故選：A.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理等知識點，解題的關鍵是根據題意作

出輔助線得到等邊三角形再由勾股定理求解.

例4.（2024春?湖北十堰?八年級校聯考期中）如圖，在菱形紙片/BCD中，ZABC=60。,E是C。邊的中

點，將菱形紙片沿過點/的直線折疊，使點2落在直線/E上的點G處，折痕為4尸，FG與CD交于點H,

有如下結論：①NCFH=30。；②DE=^AE；③CH=GH；@S.ABF,S四邊形.°=3：5,上述結論中，

3

所有正確結論的序號是（）

F

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A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】連接NC,得到V/CD是等邊三角形，根據三線合一的性質得到NGLCD,由折疊得

/G=/8=60。，求出的度數即可判斷①；利用30度角的性質求出。E,勾股定理求出/E,即

可判斷②；連接CG,由折疊得/G=/B=/C,根據等邊對等角求出N2CG=44GC,得至U

NHCG=NHGC,即可判斷③；過點尸作9，48于點先求出/B/G=90。，由折疊得

ZBAF=ZGAF=45°,MF=CBM,設BM=x,貝1]/舷=板=氐，求出$△??，再得到

/。=。1)=/2=(1+6卜，根據$菱畛88一兒如求出四邊形//。。的面積，即可判斷④.

【詳解】解：連接/C,?.?四邊形/BCD是菱形，.?.4D=CD,ZD=N4BC=60。，.?.V/CD是等邊三角形，

???￡是C。邊的中點，??.4G1C。，.?.//ED=/GE〃=90。，

由折疊得/6=/3=60。，；.20^=/￡〃6=30。，:/。=180。-/3=120。，:/(7五〃=30。，故①正確；

?；NDAE=90°-ND=30°,；.AD=2DE,■■■AE=\lAD2-DE2=y/3DE>

==—,即。￡故②正確；連接CG,由折疊得/G=N8=/C,.?.NNCG=N/GC,

AEy/3DE33

???ZACD=ZAGF=60°,ZHCG=ZHGC,■.CH=GH,故③正確；

過點尸作必UAB于點M,-.-ABAD=180°-ZB=120°,NDAE=30°,

ZBAG=90°,由折疊得/84F=/G4F=45°,.^./A?=45°=/A4尸，.^.AM=FM,

?；NBFM=9Q°-NB=3Q°,：.MF=CBM,^BM=x,貝i|W=MF="v,

“2=(1+孫，Sv/gx(l+⑹-岳=9&2,...")=b=/2=(1+理，...

AE=*+吟x=^^x'菱形/BO=CDZE=(1+石卜?^lx=(3+2退卜2,

???四邊形/FCD的面積=S菱形憶-九"=(3+26k-年x?=士芋/,

???凡詼：$四邊眼9=?/：士芋故④錯誤；故選：B.

【點睛】此題考查了菱形的性質，勾股定理，直角三角形30度角的性質，三線合一的性質，等邊三角形的

判定和性質，熟練掌握各知識點并綜合應用是解題的關鍵.

高考復習材料

例5.（2024?浙江?九年級期末）對角線長分別為6和8的菱形N8CD如圖所示，點。為對角線的交點，過

點。折疊菱形，使2,8,兩點重合，是折痕.若8加=1,則CN的長為.

【答案】4

【分析】連接ZC、BD,如圖，利用菱形的性質得。C=；/C=3,OD=^BD=4,NCOD=90°,再利用

勾股定理計算出CD=5,接著證明=得到。N=,然后根據折疊的性質得=8加=1,從

而有DN=1,于是計算CD-DN即可.

【詳解】解：連接/C、BD,如圖，

;點。為菱形/BCD的對角線的交點，.??OC=：/C=3,OD二BD=4,ZCOD=90°,

在RtACOD中，CD=A/32+42=5>?-?ABIICD,AMBO=ANDO,

AMBO=ANDO

在AOW和AODN中<08=OD,:.XOBM=XODN,:.DN=BM,

ZBOM=ADON

:過點。折疊菱形，使5,夕兩點重合，是折痕，.?.5W=QW=1,

DN=l,:.CN=CD-DN=5-1=4,故答案為：4.

【點睛】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變,

位置變化，對應邊和對應角相等.也考查了菱形的性質.

例6.（2024秋?重慶?九年級專題練習）如圖，在菱形48CD中，BC=4,25=120°,點￡是4D的中點，

點廠是N3上一點，以E尸為對稱軸將△及4尸折疊得到△EGF,以CE為對稱軸將VCAE折疊得到VSE,使

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得點打落到EG上，連接/G.下列結論錯誤的是（）

CF14

A.ZCEF=90°B.CE//AGC.FG=1.6

AB~5

【答案】D

【分析】A.由折疊的性質可以知道E尸和CE分別是乙4EG和/DEG的平分線，同時一/磯）是平角，所以可

知ZCEF=90°,故選項A正確;B.由題意和折疊的性質可以知道斯1AG,EF1CE,就可以得到CE〃AG,

選項B正確；C和D.過點。作也1用于點NCB4=120°,可得8加=2,CM=243.設BF=a,可

以得到FG=/尸=4-。，FM=BF+BM=a+2.根據折疊的性質可得CG=8=4,根據勾股定理，求得

。=2.4,即可得到尸G=L6,CF=5.6,所以J==故選項C正確，選項D錯誤.

4B45

【詳解】解：A.由折疊可知E尸和CE分別是/ZEG和/DEG的平分線.

又ZAED=180°,ZCEF=ZCEG+ZFEG=-Z