安徽省安慶市潛山市第二中學2024屆數學高一下期末監測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，則下列不等式中不正確的是（）A． B． C． D．2．若關于的方程，當時總有4個解，則可以是（）A． B． C． D．3．在三棱錐中，已知所有棱長均為，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．4．已知是函數的兩個零點，則（）A． B．C． D．5．如圖，在坡度一定的山坡處測得山頂上一建筑物的頂端對于山坡的斜度為，向山頂前進100米到達后，又測得對于山坡的斜度為，若米，山坡對于地平面的坡角為，則（）A． B． C． D．6．某興趣小組合作制作了一個手工制品，并將其繪制成如圖所示的三視圖，其中側視圖中的圓的半徑為3，則制作該手工制品表面積為（）A． B． C． D．7．某學校的A，B，C三個社團分別有學生人，人，人，若采用分層抽樣的方法從三個社團中共抽取人參加某項活動，則從A社團中應抽取的學生人數為（）A．2 B．4 C．5 D．68．一個扇形的弧長與面積都是3，則這個扇形圓心角的弧度數為（）A． B． C． D．9．直線在軸上的截距為（）A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．310．已知，兩條不同直線與的交點在直線上，則的值為（）A．2 B．1 C．0 D．-1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某四棱錐的三視圖如圖所示，如果網格紙上小正方形的邊長為1，那么該四棱錐最長棱的棱長為．12．在中，，則_____________13．函數在內的單調遞增區間為____.14．在△中，，，，則_________．15．若正四棱錐的所有棱長都相等，則該棱錐的側棱與底面所成的角的大小為____.16．長時間的低頭,對人的身體如頸椎、眼睛等會造成定的損害，為了了解某群體中“低頭族”的比例，現從該群體包含老、中、青三個年齡段的人中采用分層抽樣的方法抽取人進行調查，已知這人里老、中、青三個年齡段的分配比例如圖所示，則這個群體里青年人人數為_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設公差不為0的等差數列中，，且構成等比數列．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）若數列的前項和滿足：，求數列的前項和．18．已知直線l的方程為.(1)求過點且與直線l垂直的直線方程；(2)求直線與的交點，且求這個點到直線l的距離.19．如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，??分別是??的中點.（1）證明:直線平面；（2）求直線與面所成角的大小；（3）求二面角的平面角的余弦值.20．已知函數.（1）若，求函數的值；（2）求函數的值域.21．某校為創建“綠色校園”，在校園內種植樹木，有A、B、C三種樹木可供選擇，已知這三種樹木6年內的生長規律如下：A樹木：種植前樹木高0.84米，第一年能長高0.1米，以后每年比上一年多長高0.2米；B樹木：種植前樹木高0.84米，第一年能長高0.04米，以后每年生長的高度是上一年生長高度的2倍；C樹木：樹木的高度（單位：米）與生長年限（單位：年，）滿足如下函數：（表示種植前樹木的高度，取）．（1）若要求6年內樹木的高度超過5米，你會選擇哪種樹木？為什么？（2）若選C樹木，從種植起的6年內，第幾年內生長最快？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

，可得，則根據不等式的性質逐一分析選項，A：，，所以成立；B：，則，根據基本不等式以及等號成立的條件則可判斷；C：且，根據可乘性可知結果；D：，根據乘方性可判斷結果.【詳解】A：由題意，不等式，可得，則，，所以成立，所以A是正確的；B：由，則，所以，因為，所以等號不成立，所以成立，所以B是正確的；C：由且，根據不等式的性質，可得，所以C不正確；D：由，可得，所以D是正確的，故選：C.【點睛】本題考查不等式的性質，不等式等號成立的條件，熟記不等式的性質是解題的關鍵，屬于基礎題.2、D【解析】

根據函數的解析式，寫出與的解析式，再判斷對應方程在時解的個數．【詳解】對，，，；方程，當時有4個解，當時有3個解，當時有2個解，不符合；對，，，；方程，當時有2個解，當時有3個解，當時有4個解，不符合；對，，，；方程，當時有4個解，當時有3個解，當時有2個解，不符合；對，，，；方程，當時恒有4個解，符合題意．【點睛】本題考查了函數與方程的應用問題，考查數形結合思想的運用，對綜合能力的要求較高．3、A【解析】

取的中點，連接、，于是得到異面直線與所成的角為，然后計算出的三條邊長，并利用余弦定理計算出，即可得出答案．【詳解】如下圖所示，取的中點，連接、，由于、分別為、的中點，則，且，所以，異面直線與所成的角為或其補角，三棱錐是邊長為的正四面體，則、均是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選A．【點睛】本題考查異面直線所成角的計算，利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下：（1）一作：平移直線，找出異面直線所成的角；（2）二證：對異面直線所成的角進行說明；（3）三計算：選擇合適的三角形，并計算出三角形的邊長，利用余弦定理計算所求的角．4、A【解析】

在同一直角坐標系中作出與的圖象，設兩函數圖象的交點，依題意可得，利用對數的運算性質結合圖象即可得答案．【詳解】解：，在同一直角坐標系中作出與的圖象，

設兩函數圖象的交點，

則，即，

又，

所以，，即，

所以①；

又，故，即②，由①②得：，

故選：A．【點睛】本題考查根的存在性及根的個數判斷，依題意可得是關鍵，考查作圖能力與運算求解能力，屬于難題．5、C【解析】

先在中利用正弦定理求出BC的值，再在中由正弦定理解出，再計算．【詳解】在中，，在中，，又∵，∴.故選C.【點睛】本題考查解三角形在實際中的應用，屬于基礎題．6、D【解析】

由三視圖可知，得到該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體，根據幾何體的表面積公式，即可求解.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體，其中圓錐的底面半徑為3，高為4，所以幾何體的表面為.選D.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及表面積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據三視圖的規則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應公式求解.7、B【解析】

分層抽樣每部分占比一樣，通過A，B，C三個社團為，易得A中的人數。【詳解】A，B，C三個社團人數比為，所以12中A有人，B有人，C有人。故選：B【點睛】此題考查分層抽樣原理，根據抽樣前后每部分占比一樣求解即可，屬于簡單題目。8、B【解析】

根據扇形的弧長與面積公式,代入已知條件即可求解.【詳解】設扇形的弧長為,面積為,半徑為,圓心角弧度數為由定義可得,代入解得rad故選:B【點睛】本題考查了扇形的弧長與面積公式應用,屬于基礎題.9、B【解析】

令,求出值則是截距。【詳解】直線方程化為斜截式為：，時，，所以，在軸上的截距為－3。【點睛】軸上的截距：即令,求出值；同理軸上的截距：即令,求出值10、C【解析】

聯立方程求交點，根據交點在在直線上，得到三角關系式，化簡得到答案.【詳解】交點在直線上觀察分母和不是恒相等故故答案選C【點睛】本題考查了直線方程，三角函數運算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先通過拔高法還原三視圖為一個四棱錐，再根據圖像找到最長棱計算即可。【詳解】根據拔高法還原三視圖，可得斜棱長最長，所以斜棱長為。【點睛】此題考查簡單三視圖還原，關鍵點通過拔高法將三視圖還原易求解，屬于較易題目。12、【解析】

先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值．【詳解】由，結合正弦定理可得，故設，，()，由余弦定理可得，故.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的運用，屬于基礎題．13、【解析】

將函數進行化簡為，求出其單調增區間再結合，可得結論.【詳解】解：，遞增區間為：，可得，在范圍內單調遞增區間為。故答案為：.【點睛】本題考查了正弦函數的單調區間，屬于基礎題。14、【解析】

利用余弦定理求得的值，進而求得的大小.【詳解】由余弦定理得，由于，故.【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函數值，屬于基礎題.15、【解析】

先作出線面角，再利用三角函數求解即可．【詳解】如圖，設正四棱錐的棱長為1，作在底面的射影，則為與底面所成角，為正方形的中心，，，，故答案為．【點睛】本題考查線面角，考查學生的計算能力，作出線面角是關鍵．屬于基礎題.16、【解析】

根據餅狀圖得到青年人的分配比例；利用總數乘以比例即可得到青年人的人數.【詳解】由餅狀圖可知青年人的分配比例為：這個群體里青年人的人數為：人本題正確結果：【點睛】本題考查分層抽樣知識的應用，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據條件列方程解得公差，再根據等差數列通項公式得結果，（Ⅱ）先根據和項求通項，再根據錯位相減法求和.【詳解】（Ⅰ）因為構成等比數列，所以（0舍去）所以（Ⅱ）當時，當時，，相減得所以即【點睛】本題考查等差數列通項公式以及錯位相減法求和，考查基本分析求解能力，屬中檔題.18、（1）（2）1【解析】

(1)與l垂直的直線方程可設為，再將點代入方程可得；(2)先求兩直線的交點，再用點到直線的距離公式可得點到直線l的距離．【詳解】解：(1)設與直線垂直的直線方程為,把代入，得，解得,∴所求直線方程為.(2)解方程組得∴直線與的交點為,點到直線的距離.【點睛】本題考查兩直線垂直時方程的求法和點到直線的距離公式．19、（1）證明見解析（2）（3）【解析】

（1）取的中點，證明為平行四邊形，且，再由三角形中位線證明，最后由線面平行的判定定理證明即可；（2）作交于點，由線面垂直關系得到直線與面所成角為，再根據是正三角形求解即可；（3）由（2）知，平面，再證明和分別垂直于，求出直線與面所成角為，再求出和的長度即可求解.【詳解】（1）在直四棱柱中，取的中點，連接，，，因為，，且，所以為平行四邊形，所以，又因為?分別是棱?的中點，所以，所以，因為.所以???四點共面，所以平面，又因為平面，所以直線平面.（2）因為，，是棱的中點，所以，為正三角形，取的中點，則，又因為直四棱柱中，平面，所以，所以平面，即直線與面所成角為，所以，即，所以直線與面所成角為.（3）過在平面內作，垂足為，連接.因為面，即，且與相交于點，故且，則為二面角的平面角，在正三角形中，，在中，，∵，∴，在中，，，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查線面平行的判定、線面角和二面角的求法，考查學生的空間想象能力和對線面關系的掌握，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）,.（2）由（1）,,∴函數的值域為[1，2].21、（1）選擇C；（2）第4或第5年.【解析】

（1）根據已知求出三種樹木六年末的高度，判斷得解；（2）設為第年內樹木生長的高度，先求出，設，則，．再利用分析函數的單調性，分析函數的圖像得解.【詳解】（1）