2023-2024學年遼寧省葫蘆島市遼寧實驗中學東戴河分校高一下數學期末學業水平測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x<0時，f(x)=-x2-5xA．(-1,2) B．(-1,3) C．(-2,3) D．(-2,4)2．某學校高一、高二年級共有1800人，現按照分層抽樣的方法，抽取90人作為樣本進行某項調查.若樣本中高一年級學生有42人，則該校高一年級學生共有（）A．420人 B．480人 C．840人 D．960人3．某同學用收集到的6組數據對（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6）制作成如圖所示的散點圖（點旁的數據為該點坐標），并由最小二乘法計算得到回歸直線l的方程：x，相關指數為r．現給出以下3個結論：①r>0；②直線l恰好過點D；③1；其中正確的結論是A．①② B．①③C．②③ D．①②③4．將正整數排列如下：123456789101112131415……則圖中數出現在()A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列5．一個人打靶時連續射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是A．兩次都中靶B．至少有一次中靶C．兩次都不中靶D．只有一次中靶6．過點作圓的切線,且直線與平行，則與間的距離是（）A． B． C． D．7．中，若，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．銳角三角形 D．直角三角形8．下圖是500名學生某次數學測試成績（單位：分）的頻率分布直方圖，則這500名學生中測試成績在區間[90，100）中的學生人數是A．60 B．55 C．45 D．509．正六邊形的邊長為，以頂點為起點，其他頂點為終點的向量分別為；以頂點為起點，其他頂點為終點的向量分別為．若分別為的最小值、最大值，其中，則下列對的描述正確的是（）A． B． C． D．10．已知角的終邊過點，則的值為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，長方體中，，，，與相交于點，則點的坐標為______________．12．在平面直角坐標系中，從五個點：中任取三個，這三點能構成三角形的概率是_______．13．在等比數列中，，，則______________.14．設為數列的前項和，若，則數列的通項公式為__________．15．在中，已知，則____________.16．函數的遞增區間是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，且（1）求的定義域.（2）判斷的奇偶性，并說明理由.18．在中，內角，，所對的邊分別為，，．若.（1）求角的度數；（2）當時，求的取值范圍．19．如圖，四面體中，，，為的中點.（1）證明：；（2）已知是邊長為2正三角形.（Ⅰ）若為棱的中點，求的大小；（Ⅱ）若為線段上的點，且，求四面體的體積的最大值.20．在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB．（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC．求證：AC⊥FB；（Ⅱ）已知G,H分別是EC和FB的中點.求證：GH∥平面ABC．21．在中，，，的對邊分別為，，，已知．（1）判斷的形狀；（2）若，，求．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據題意，結合函數的奇偶性分析可得函數的解析式，作出函數圖象，結合不等式和二次函數的性質以及函數圖象中的遞減區間，分析可得答案.【詳解】根據題意，設x>0，則-x<0，所以f(-x)=-x因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(-x)=-x所以f(x)=x即x≥0時，當x<0時，f(x)=-x則f(x)的圖象如圖：在區間(-5若f(x)-f(x-1)<0，即f(x-1)>f(x)，又由x-1<x，且f(-3)=f(-2),f(2)=f(3)，必有x-1>-3x<3時，f(x)-f(x-1)<0解得-2<x<3，因此不等式的解集是(-2,3)，故選C.【點睛】本題主要考查了函數奇偶性的應用，利用函數的奇偶性求出函數的解析式，根據圖象解不等式是本題的關鍵，屬于難題.2、C【解析】

先由樣本容量和總體容量確定抽樣比，用高一年級抽取的人數除以抽樣比即可求出結果.【詳解】由題意需要從1800人中抽取90人，所以抽樣比為，又樣本中高一年級學生有42人，所以該校高一年級學生共有人.故選C【點睛】本題主要考查分層抽樣，先確定抽樣比，即可確定每層的個體數，屬于基礎題型.3、A【解析】由圖可知這些點分布在一條斜率大于零的直線附近，所以為正相關，即相關系數因為所以回歸直線的方程必過點，即直線恰好過點；因為直線斜率接近于AD斜率，而，所以③錯誤，綜上正確結論是①②，選A.4、B【解析】

計算每行首個數字的通項公式，再判斷出現在第幾列，得到答案.【詳解】每行的首個數字為：1,2,4,7,11…利用累加法：計算知：數出現在第行列故答案選B【點睛】本題考查了數列的應用，計算首數字的通項公式是解題的關鍵.5、A【解析】

利用對立事件、互斥事件的定義直接求解．【詳解】一個人打靶時連續射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是兩次都中靶．故選：A．【點睛】本題考查互事件的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件、互斥事件的定義的合理運用．6、D【解析】由題意知點在圓C上，圓心坐標為，所以，故切線的斜率為，所以切線方程為，即．因為直線l與直線平行，所以，解得，所以直線的方程是－4x＋3y－8＝0，即4x－3y＋8＝0.所以直線與直線l間的距離為．選D．7、D【解析】

根據正弦定理，得到，進而得到，再由兩角和的正弦公式，即可得出結果.【詳解】因為，所以，所以，即，所以，又因此，所以，即三角形為直角三角形.故選D【點睛】本題主要考查三角形形狀的判斷，熟記正弦定理即可，屬于常考題型.8、D【解析】分析：根據頻率分布直方圖可得測試成績落在中的頻率，從而可得結果.詳解：由頻率分布直方圖可得測試成績落在中的頻率為，所以測試成績落在中的人數為，，故選D.點睛：本題主要考查頻率分布直方圖的應用，屬于中檔題.直觀圖的主要性質有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為；（2）組距與直方圖縱坐標的乘積為該組數據的頻率.9、A【解析】

利用向量的數量積公式，可知只有，其余數量積均小于等于0，從而得到結論．【詳解】由題意，以頂點A為起點，其他頂點為終點的向量分別為，以頂點D為起點，其他頂點為終點的向量分別為，則利用向量的數量積公式，可知只有，其余數量積均小于等于0，又因為分別為的最小值、最大值，所以，故選A．【點睛】本題主要考查了向量的數量積運算，其中解答中熟記向量的數量積的運算公式，分析出向量數量積的正負是關鍵，著重考查了分析解決問題的能力，屬于中檔試題．10、B【解析】

由三角函數的廣義定義可得的值.【詳解】因為，故選B.【點睛】本題考查三角函數的概念及定義，考查基本運算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

易知是的中點，求出的坐標，根據中點坐標公式求解.【詳解】可知，，由中點坐標公式得的坐標公式，即【點睛】本題考查空間直角坐標系和中點坐標公式，空間直角坐標的讀取是易錯點.12、【解析】

分別算出兩點間的距離，共有種，構成三角形的條件為任意兩邊之和大于第三邊，所以在這10種中找出滿足條件的即可．【詳解】由兩點之間的距離公式，得：，，，任取三點有：，共10種，能構成三角形的有：，共6種，所求概率為：.【點睛】構成三角形必須滿足任意兩邊之和大于第三邊，則n個點共有個線段，找出滿足條件的即可，屬于中等難度題目．13、1【解析】

根據已知兩項求出數列的公比，然后根據等比數列的通項公式進行求解即可．【詳解】∵a1＝1，a5＝4∴公比∴∴該等比數列的通項公式a3＝11＝1故答案為：1．【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式，一般利用基本量的思想，屬于基礎題．14、，【解析】

令時，求出，再令時，求出的值，再檢驗的值是否符合，由此得出數列的通項公式.【詳解】當時，，當時，，不合適上式，當時，，不合適上式，因此，，.故答案為,.【點睛】本題考查利用前項和求數列的通項，考查計算能力，屬于中等題.15、84【解析】

根據余弦定理以及同角公式求得，再根據面積公式可得答案.【詳解】由余弦定理可得，又，所以，所以.故答案為：84【點睛】本題考查了余弦定理，考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，屬于基礎題.16、；【解析】

先利用輔助角公式對函數化簡，由可求解.【詳解】函數，由，可得，所以函數的單調增區間為.故答案為：【點睛】本題考查了輔助角公式、正弦函數的圖像與性質，需熟記公式與性質，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）偶函數，理由見解析.【解析】

（1）根據對數的真數大于零可求得和的定義域，取交集可得定義域；（2）整理可得，驗證得，得到函數為偶函數.【詳解】（1）令得：定義域為令得：定義域為的定義域為（2）由題意得：，為定義在上的偶函數【點睛】本題考查函數定義域的求解、奇偶性的判斷；求解函數定義域的關鍵是明確對數函數要求真數必須大于零，且需保證構成函數的每個部分都有意義.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據余弦定理即可解決．（2）根據向量的三角形法則即可解決．【詳解】（1）因為，所以得，所以，所以，因為所以；（2）取的中點，則，，所以所以，從而由平行四邊形性質有故.【點睛】本題主要考查了余弦定理以及向量的三角形法則，其中第二問用了完全平方以及加減消元的思想，是本題的一個難點．解決本題的關鍵是畫一個三角形結合三角形進行分析．19、（1）證明見解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（1）取中點，連接，通過證明，證得平面，由此證得.（2）（I）通過證明，證得平面，由此證得,利用“直斜邊的中線等于斜邊的一半”這個定理及其逆定理，證得.（II）利用求得四面體的體積的表達式，結合基本不等式求得四面體的體積的最大值.【詳解】（1）取的中點，所以，所以.又因為，所以，又，所以面，所以.（2）（Ⅰ）由題意得，在正三角形中，，又因為，且，所以面，所以.∵為棱的中點，∴，在中，為的中點，.∴（Ⅱ），四面體的體積，又因為，即，所以等號當且僅當時成立，此時.故所求的四面體的體積的最大值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查線面垂直的證明，考查直角三角形的判定，考查三棱錐體積的最大值的求法，考查基本不等式的運用，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）證明：見解析；（Ⅱ）見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）根據，知與確定一個平面，連接，得到，，從而平面，證得.（Ⅱ）設的中點為，連，在，中，由三角形中位線定理可得線線平行，證得平面平面，進一步得到平面.試題解析：（Ⅰ）證明：因，所以與確定平面.連接，因為為的中點，所以，同理可得.又，所以平面，因為平面，所以.（Ⅱ）設的中點為，連.在中，因為是的中點，所以，又，所以.在中，因為是的中點，所以，又，所以平面平面，因為平面，所以平面.【考點】平行關系，垂直關系【名師點睛】本題主要考查直線與直線垂直、直線與平面平行.此類題目是立體幾何中的基本問題.解答本題，關鍵在于能利用已知的直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，通過嚴密推理，給出規范的證明.本題能較好地考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力及轉化與化歸思想等.21、（1）為直角三角形或等腰三角形（2）【解析】

（1）由正弦定理和題設條件，得，再利用