第5章導數及其應用5.3導數在研究函數中的應用5.3.2極大值與極小值(1)內容索引學習目標活動方案檢測反饋學習目標1.了解函數極值的概念，會從函數圖象直觀地認識函數極值與導數的關系．2.初步掌握求函數極值的方法．3.體會滲透在數學中的整體與局部的辯證關系．活動方案1.觀察上述函數圖象，回答下面的問題：(1)函數圖象在點P的左、右兩側分別有什么變化規律？活動一理解函數極值的概念，理解極值與導數的關系【解析】函數圖象在點P處從左側到右側由“上升”變為“下降”，即函數由單調遞增變為單調遞減．(2)在點P附近，哪個點的位置最高？對應的函數值哪個最大？【解析】點P的位置最高，f(x1)最大．2.函數極值的概念．(1)試根據上圖給出函數極大值的概念：【解析】一般地，若存在δ>0，當x∈(x1－δ，x1＋δ)時，都有f(x)≤f(x1)，則稱f(x1)為函數f(x)的一個極大值．(2)類比給出函數極小值的概念：【解析】一般地，若存在δ>0，當x∈(x2－δ，x2＋δ)時，都有f(x)≥f(x2)，則稱f(x2)為函數f(x)的一個極小值．(3)極值的概念：【解析】函數的極大值、極小值統稱為函數的極值．思考1???函數的極大值與極小值是否都唯一？極大值一定比極小值大嗎？【解析】不唯一，不一定．思考2???函數的極值點能否出現在區間端點？【解析】不能思考3???在函數極大值點兩側的函數圖象有什么變化規律？能否從導數出發進行研究？【解析】圖象先上升后下降，即先單調遞增后單調遞減．能從導數出發研究，即左側f′(x)>0，右側f′(x)<0.3.函數的極值與導數的關系．結合上圖探求函數的極大值與導數的關系，并填寫下表：xx1左側x1x1右側f′(x)f′(x)____0f′(x)____0f′(x)____0f(x)單調遞____取得________單調遞____試類比探求極小值與導數的關系：xx2左側x2x2右側f′(x)f′(x)____0f′(x)____0f′(x)____0f(x)單調遞____取得________單調遞____【解析】>＝<增極大值減<＝>減極小值增思考4???若函數f(x)在x0處取得極值，則f′(x0)＝0.反過來，若f′(x0)＝0，則函數f(x)一定在x0處取得極值嗎？能否舉例說明？

【解析】不一定，如函數y＝x3，導數為y′＝3x2，當x＝0時，y′＝0，但函數在x＝0處不是極值．例1已知函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內的極小值點的個數為(

)A.1

B.2

C.3

D.4【答案】A【解析】由圖象，設f′(x)與x軸負半軸的兩個交點的橫坐標分別為c，d，其中c<d.由圖可知，在區間(－∞，c)，(d，b)上f′(x)≥0，所以函數f(x)在區間(－∞，c)，(d，b)上單調遞增；在區間(c，d)上，f′(x)<0，所以f(x)在區間(c，d)上單調遞減，所以當x＝c時，函數f(x)取得極大值，當x＝d時，函數取得極小值，故函數y＝f(x)的極小值點的個數為1.例2求下列函數的極值：活動二掌握求函數極值的方法(2)f(x)＝x4－4x3＋5；【解析】(1)函數f(x)的定義域為R.f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.列表如下：當x＝3時，f(x)有極小值－9.x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

(2)因為f(x)＝x4－4x3＋5，所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.列表如下：故當x＝3時函數f(x)取得極小值，且極小值為f(3)＝－22；無極大值．x(－∞，0)0(0,3)3(3，＋∞)f′(x)－0－0＋f(x)

不是極值

極小值

列表如下：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)

極大值

思考5???求函數的極值的一般步驟是什么？【解析】①先求導；②令導數為0，求出x的值；③列表，根據f′(x)在f′(x)＝0的根左、右的函數值的符號來確定函數的極值．

求函數f(x)＝x3－3x2－9x＋5的極值．【解析】由題意，得f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表如下：所以當x＝－1時，f(x)有極大值f(－1)＝10；當x＝3時，f(x)有極小值f(3)＝－22.x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2.列表如下：所以當x＝0時，f(x)有極小值f(0)＝0；x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)

極小值

極大值

檢測反饋245131.函數f(x)＝lnx－x在區間(0，e)上的極大值為(

)A.－e B.－1C.1－e D.0【答案】B245132.(2023阜新二中期末)設f′(x)是函數f(x)的導函數，y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可能是(

)【解析】由導函數f′(x)的圖象可知，在區間(－∞，0)上，f′(x)>0，f(x)單調遞增；在區間(0,2)上，f′(x)<0，f(x)單調遞減；在區間(2，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)單調遞增，所以0是函數的極大值點，2是函數的極小值點，結合函數的圖象可知A符合．【答案】A2453B.f(x)在定義域內無零點1D.f(x)的極小值小于極大值245312453【答案】BC124534.(2023通化梅河口五中期末)函數f(x)＝(x2－1)3＋6的極值點為________.1【解析】由題意，得f′(x)＝3(x2－1)2·2x＝6x(x2－1)2.當x＝0時，f′(x)＝0；當x>0時，f′(x)≥0，f(x)單調遞增；當x<0時，f′(x)≤0，f(x)單調遞減，所以函數f(x)＝(x2－1)3＋6的極小值點為0，無極大值點．【答案】024535.求下列函數的極值：1(2)y＝x－2cosx；(3)y＝ex－ex.24531列表如下