2024年湖南省長沙市長郡教育集團中考數學一模試卷

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合

題意的選項.本大題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）-2023的倒數是（）

A.2023B.一1C.-2023D.—」

20232023

2.（3分）2022年10月12日，“天宮課堂”第三課在中國空間站開講，3名航天員演示了

在微重力環境下毛細效應實驗、水球變“懶”實驗等，數據150萬用科學記數法表示為

（）

A.1.5X105B.0.15X105C.1.5X106D.1.5X107

3.（3分）計算2-一包的結果是（）

a-ba-b

A.2B.-2C.0D.2b-2a

4.（3分）在以下節水、節能、回收、綠色食品四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

5.（3分）以下列數值為長度的各組線段中，能組成三角形的是（）

A.2,4,7B.3,3,6C.5,8,2D.4,5,6

6.（3分）為了調查我市某校學生的視力情況，在全校的2000名學生中隨機抽取了300名

學生，下列說法正確的是（）

A.此次調查屬于全面調查

B.樣本容量是300

C.2000名學生是總體

D.被抽取的每一名學生稱為個體

7.（3分）如圖，在△ABC中，NC=90°,任意長為半徑畫弧，分別交AC,N,再分別以

為圓心長為半徑畫弧，兩弧交于點。，交3C于點￡已知CE=3,AB=6（）

C

AB

N

C.12D.18

8.（3分）如圖，直角三角板的直角頂點放在直線6上，且。〃6,則/2的度數為（）

A.35°B.45°C.55°D.25°

9.（3分）關于一次函數y=-2x+4,下列說法不正確的是（）

A.圖象不經過第三象限

B.y隨著x的增大而減小

C.圖象與x軸交于（-2,0）

D.圖象與y軸交于（0,4）

10.（3分）4B,C,D,E五名學生猜測自己能否進入市中國象棋前三強.A說：“如果

我進入，那么2也進入.”2說：“如果我進入，那么O也進入.說：“如果我進入，

那么E也進入，則進入前三強的三個人是（）

A.A,B,CB.B,C,DC.C,D,ED.D,E,A

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）分解因式：x3-4x=.

12.（3分）不等式組1

2x+l)0

13.（3分）已知根是-1,0,1,2,3中的一個數，則關于x的方程尤2-無+相=。有解的概

率為?

14.（3分）如圖，點A在反比例函數y:3的圖象上，已知點8,C關于原點對稱.

BO|C^JC

15.（3分）如圖，在。。中，CD是直徑，垂足為E,若/C=30°,則的半徑為

cm.

c

16.（3分）若扇形的圓心角為135。，半徑為4,則它的弧長為.（結果保留TT）

三、解答題（本大題共9個小題，共72分）

17.（6分）|X-42|-2sin45°+（y）~2-2024°

18.（6分）先化簡，再求值：（a-b）2+（o+i＞）（a-b）-la（a-2b）,其中a=2024

19.（6分）某校數學社團開展“探索生活中的數學”研學活動，小亮想測量某大廈樓頂上

的一個廣告牌CD的高度,從與大廈相距30根的A處觀測廣告牌頂部D的仰角ZBAD

=30°,如圖所示.

（1）求大廈BC的高度;（結果精確到O.bn）

（2）求廣告牌CO的高度.（結果取整數）

（參考數據：sin27°20.454,cos27°^0.891,tan27°"0.510,日心1.732）

D

AB

20.（8分）打造書香文化，培養閱讀習慣，某校舉行了以“禮、才、恩”為主題的讀書活

動，學生根據自己的愛好選擇一類書籍（A：政史類，B：文學類，C：科技類，D：藝術

類，E-.其他類）.柳老師組織數學興趣小組對學校部分學生進行了問卷調查，繪制了兩

根據以上信息，解答下列問題：

（1）此次被調查的學生人數為名，并補全條形統計圖；

（2）在扇形統計圖中，C“科技類”所對應的圓心角度數是度;

（3）若該校有3000名學生，請你估計最喜歡閱讀文學類書籍的學生人數；

（4）甲同學從A,B,C三類書籍中隨機選擇一種，乙同學從3,C,請用畫樹狀圖或者

列表法求甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率.

21.（8分）如圖，點C在線段8。上，AB1BD,ACYCE,BC=DE.

（1）求證：AABC-CDE；

（2）己知AB=2,DE=4,求△ACE的面積.

22.（9分）為了調動學生學習數學的興趣，某校八年級舉行了數學計算題比賽，為表彰獲

獎的選手，8兩種文具作為獎品.已知A文具的單價比8文具的單價貴8元，且用720

元購買A文具的數量與用480元購買B文具的數量相同.

（1）求A,8兩種文具的單價；

（2）若年級組需要購買A,B兩種文具共100件，且購買這兩種文具的總費用不超過2080

元

23.（9分）在Rt^ABC中，ZBAC=90°,。是的中點，過點A作A/〃BC交CE的

延長線于點F.

（1）求證：四邊形AO2尸是菱形；

（2）若AB=2,ZAFB=60°,求CP的長.

24.（10分）在平面直角坐標系中有且只有一個交點的兩個函數稱為“親密函數”，這個唯

一的交點稱為他們的“密接點”.例如：y=3x-1與y=-x+3有且只有一個交點（1,2）,

則稱這兩個函數為“親密函數”，點（1,2）

(1)判斷下列幾組函數，是“親密函數”的在_____內記“J”，不是“親密函數”的在

內記“X”；

?y=2x-1與y=-x+2；

②產1與丫旦

XX

?y=x1-x+1與y=x.

(2)一次函數尸質+6與反比例函數y=-K(其中匕b為常數，且他們的“密接點”P

x

到原點的距離等于3,求6的值.

(3)兩條直線Z1與/2都是二次函數y=/+c的“親密函數”,且“密接點”分別為M,N.記

直線/1與h的交點的縱坐標為m,直線MN與y軸的交點的縱坐標為n.試判斷m與n

的關系，并證明你的判斷.

25.(10分)如圖，四邊形A8C。內接于O。，對角線AC,NDMC=/DAB.

(1)求證：AB=BC.

(2)當時，記迦=依記也典＞=t.

由SAADM

①當k=l時，求f的值；

2

②求，的最大值.

(3)當為直徑時，連接08交AC于點E,滿足以下條件：①SABGW=3；②S^BEM

=2m-n；③SADCM=3W+〃(處幾均為正整數)；求。。的半徑廠的值.

參考答案與試題解析

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合

題意的選項.本大題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）-2023的倒數是（）

A.2023B.一LC.-2023D.1

20232023

【解答】解：：-2023義（-」_）=1,

2023

-2023的倒數是--L_,

2023

故選：B.

2.（3分）2022年10月12日，“天宮課堂”第三課在中國空間站開講，3名航天員演示了

在微重力環境下毛細效應實驗、水球變“懶”實驗等，數據150萬用科學記數法表示為

（）

A.1.5X105B.0.15X105C.1.5X106D.1.5X107

【解答】解：150萬=1500000=1.5X105.

故選：C.

3.（3分）計算2-一旦的結果是（）

a-ba-b

A.2B.-2C.0D.2b-2〃

［解答］解：2a

a-ba-b

_6b-2a

a-b

=_2（a-b）

a-b

=-7,

故選：B.

4.（3分）在以下節水、節能、回收、綠色食品四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

【解答】解：A、不是軸對稱圖形;

B、不是軸對稱圖形；

C＞不是軸對稱圖形；

D、是軸對稱圖形.

故選：D.

5.（3分）以下列數值為長度的各組線段中，能組成三角形的是（）

A.2,4,7B.3,3,6C.5,8,2D.4,5,6

【解答】解：A、4+2=5<7；

B、3+6—6；

C、5+5=7<8；

D、3+5=9>7.

故選：D.

6.（3分）為了調查我市某校學生的視力情況，在全校的2000名學生中隨機抽取了300名

學生，下列說法正確的是（）

A.此次調查屬于全面調查

B.樣本容量是300

C.2000名學生是總體

D.被抽取的每一名學生稱為個體

【解答】解:A、此次調查屬于抽樣調查；

B、樣本容量是300；

C、2000名學生的視力情況是總體；

。、被抽取的每一名學生的視力情況稱為個體；

故選：B.

7.（3分）如圖，在△ABC中，/C=90°,任意長為半徑畫弧，分別交AC,N,再分別以

為圓心/MN長為半徑畫弧，兩弧交于點。，交8C于點E.已知CE=3,AB=6C）

A.6B.9C.12D.18

【解答】解：由基本作圖得到AE平分/BAC,

點E為AC和AB的距離相等，

.?.點E到AB的距離等于AC,即點E到AB的距離為3,

S^ABE—」X6X3=3.

2

故選：B.

8.（3分）如圖，直角三角板的直角頂點放在直線b上，且。〃6,則/2的度數為（

A.35°B.45°C.55°D.25°

【解答】解:'：a//b,Zl=55°,

/.Z3=Z6=55°,

.?.Z2=90°-Z3=90°-55°=35°.

9.（3分）關于一次函數y=-2x+4,下列說法不正確的是（）

A.圖象不經過第三象限

B.y隨著尤的增大而減小

C.圖象與x軸交于（-2,0）

D.圖象與y軸交于（0,4）

【解答】解:Vy=-2x+4,k=-2<0,

圖象經過一、二、四象限，

故A,8不符合題意；

當y=0時，-7x+4=0,

，圖象與x軸交于（7,0）；

當x=0時，y=3,

，圖象與y軸交于（0,4）；

故選：c.

10.（3分）A,B,C,D,E五名學生猜測自己能否進入市中國象棋前三強.A說：“如果

我進入，那么8也進入8說：“如果我進入，那么。也進入說：“如果我進入，

那么E也進入，則進入前三強的三個人是（）

A.A,B,CB.B,C,DC.C,D,ED.D,E,A

【解答】解：若A進入前三強，那么進入前三強的有A、B、C、D,顯然不合題意，

同理，當B進入前三強時，所以應從。開始進入前三強，D,E.

故選：C.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）分解因式：/-4x=x（尤+2）（x-2）.

【解答】解：?-4x,

=x（x4-4）,

=x(x+2)(x-2).

故答案為：x(x+2)(x-2).

x+3

x-l<

12.（3分）不等式組.的解集是--^x<5

-2

2x+l)0

【解答】解：由x-l<2坦得：x<5,

8

由2x+320得：無，-―,

6

則不等式組的解集為-工W尤<4,

2

故答案為：-工Wx<5.

2

13.（3分）已知根是-1,0,1,2,3中的一個數，則關于x的方程/-尤+相=0有解的概

率為1.

—2—

【解答】解：：關于X的方程X2-x+加=0有解,

b6-4ac=l-5mNO,

解得：k^—,

3

?,?滿足條件的根的值有-1,0,

關于x的方程x3-x+m^Q有解的概率為2,

32

故答案為：A.

2

的圖象上，已知點2,C關于原點對稱3

的圖象上,

.o

??S/\ABO=—，

3

??,點8,。關于原點對稱，

:?BO=CO,

SAABC—2SAABO=2XB=3.

2

故答案為：3.

15.（3分）如圖，在。。中，C￡）是直徑,垂足為E,若NC=30°,則。。的半徑為_^V3

則ND4c=90°,

'：AB±CD,NC=30°,

.\cos30。=蝮=近，

CD2

:.CD=4，Rcm,

故答案為：4/3.

VTJ

D

16.(3分)若扇形的圓心角為135°,半徑為4,則它的弧長為37T.(結果保留it)

［解答］解：z=nKr=135712￡A=3K.

180180

故答案為：71T.

三、解答題(本大題共9個小題，共72分)

17.(6分)|卜加|-2sin45°+(y)~2-2024°

【解答】解：［|-8sin45°+G1)-8-2024°=

V8-l-2X-^-+-5=x/2-1W4+^-l=-2+5=2-

18.(6分)先化簡，再求值：Q-6)2+(a+b)(a-b)-2a(a-2b),其中a=2024

【解答】解：(o-b)2+(a+6)(a-b)-2a(a-6b)

=cT-lab+l^+a1-b2-3a2+4aZ7

=3ab,

當a=2024,b=-1時，

原式=2X2024X(-7)=-4048.

19.(6分)某校數學社團開展“探索生活中的數學”研學活動，小亮想測量某大廈樓頂上

的一個廣告牌CD的高度，從與大廈BC相距30/77的A處觀測廣告牌頂部D的仰角/BAD

=30°,如圖所示.

(1)求大廈BC的高度；(結果精確到O.Lw)

(2)求廣告牌CO的高度.(結果取整數)

(參考數據：sin27°"0.454,cos27°心0.891,tan27°-0.510,V3^1.732)

【解答】解：（1）由題意得：DBLAB,

在Rtz^ABC中，AB=30m,

.,.BC=AB?tan27°^30X0.510=15.3(m),

，大廈8C的高度約為15.2〃”

(2)在RtZXAB。中，Z￡)AB=30°,

：.BD=AB-tan300=30X返=10&,

3

'：BC=15.3m,

:.CD=BD-BC=10如-15.6仁2(m),

廣告牌CD的高度約為2〃z.

20.（8分）打造書香文化，培養閱讀習慣，某校舉行了以“禮、才、恩”為主題的讀書活

動，學生根據自己的愛好選擇一類書籍（A：政史類，B：文學類，C：科技類，D：藝術

類，￡：其他類）.柳老師組織數學興趣小組對學校部分學生進行了問卷調查，繪制了兩

（1）此次被調查的學生人數為100名,并補全條形統計圖；

（2）在扇形統計圖中，C“科技類”所對應的圓心角度數是144度;

（3）若該校有3000名學生，請你估計最喜歡閱讀文學類書籍的學生人數；

（4）甲同學從A,B,C三類書籍中隨機選擇一種，乙同學從8,C,請用畫樹狀圖或者

列表法求甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率.

【解答】解：（1）旦=100（名），

10%1u

。的人數=100-10-20-40-5=25（名）,

故答案為：144；

（3）3000X_20_=600（人），

100

答：估計最喜歡閱讀文學類書籍的學生人數約為600人;

（4）畫樹狀圖如下：

開始

ABC

/1\/1\/4\

BCDBCDBCD

共有9種等可能的結果，其中甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的結果有7種、CC,

甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率為2.

9

21.（8分）如圖，點C在線段8。上，ABLBD,AC±CE,BC=DE.

（1）求證：△ABC94CDE；

（2）已知AB=2,DE=4,求△ACE的面積.

/.ZD=ZACE=90°,

：.ZBAC=ZDCE=90a-ZACB,

在△ABC和△(?￡)￡中，

，ZBAC=ZDCE

-ZB=ZD，

BC=DE

AABC^ACDE(A4S).

(2)解：，；△AB%LCDE,AB=2,

：.AC^CE,AB=CD=2,

：.ZD=9Q°,

CE4=Crr+DEr=22+42=20,

VZACE=90°,

，S&ACE=CE=Z2=AX20=10,

222

.?.△ACE的面積為10.

22.(9分)為了調動學生學習數學的興趣，某校八年級舉行了數學計算題比賽，為表彰獲

獎的選手，8兩種文具作為獎品.已知A文具的單價比B文具的單價貴8元，且用720

元購買A文具的數量與用480元購買B文具的數量相同.

(1)求A,B兩種文具的單價；

(2)若年級組需要購買A,B兩種文具共100件，且購買這兩種文具的總費用不超過2080

元

【解答】解：(1)設A種文具的單價是x元，則8種文具的單價是(x-8)元，

根據題意得：您=皿，

xx-8

解得:x=24,

經檢驗，x=24是所列方程的解，

'.x-6=24-8=16,

答：A種文具的單價是24元，B種文具的單價是16元；

(2)設年級組購買B種文具機件，則購買A種文具(100-/〃)件，

根據題意得：24(100-機)+16sW2080,

解得：山240,

答：年級組至少購買8種文具40件.

23.(9分)在RtaABC中，ZBAC=90°,。是BC的中點，過點A作A尸〃BC交CE的

延長線于點F.

(1)求證：四邊形尸是菱形；

(2)若AB=2,ZAFB=60°，求CF的長.

【解答】(1)證明：?..。是3c的中點，E是A。的中點，

：.BD=CD,AE=DE,

,JAF//BC,

：.NAFE=ZDCE,

在△AFE1和中，

,ZAFE=ZDCE

<NAEF=/DEC'

AE=DE

.?.△AFE義ADCE(AAS),

J.FA^CD,

：.FA//BD,FA=BD,

...四邊形ADBF是平行四邊形，

：/BAC=90°,。是BC的中點，

：.AD=BD=1.BC,

2

四邊形A"?F是菱形.

(2)解：作PG_LCB交C8的延長線于點G,則/G=90°,

???四邊形ADB尸是菱形，

:.AF=BF=AD=BD,ZADB^ZAFB=60°,

AADB和△ABB都是等邊三角形，

:.CD=BD=BF=AB=3,NABF=NABD=6(T,

.*.ZGBF=180°-ZABF=ZABD=60°,

?.Z^.=sinZGBF=sin600=返，跑2,

BF2BF2

:.FG=^-BF=^-辰,8G=上3X2=5,

2222

CG=C￡>+BO+BG=2+2+6=5,

CF=VFG24CG5=V(V3)2+82=2V7>

；.CP的長是

24.（10分）在平面直角坐標系中有且只有一個交點的兩個函數稱為“親密函數”，這個唯

一的交點稱為他們的“密接點”.例如：y=3x-1與＞=-x+3有且只有一個交點（1,2）,

則稱這兩個函數為“親密函數”，點（1,2）

（1）判斷下列幾組函數，是“親密函數”的在_____內記“J”，不是“親密函數”的在

內記“X”；

①y=2x-1與y=-x+2；（

@y=x1-x+1與y=x.J

⑵一次函數尸質+b與反比例函數y=-A（其中左，b為常數，且他們的“密接點”P

X

到原點的距離等于3,求6的值.

（3）兩條直線/1與/2都是二次函數y=/+c的“親密函數”,且“密接點”分別為N.記

直線/1與12的交點的縱坐標為m,直線MN與y軸的交點的縱坐標為n.試判斷m與n

的關系，并證明你的判斷.

【解答】解：⑴①；y=2尤-1與y=-x+2有且只有一個交點（1,1）,

這兩個函數是“親密函數”，

故答案為：V；

②：丫二國與丫二反，

XX

???這兩個函數不是“親密函數。

故答案為：X；

③y=%2-1+5與y=x有且只有一個交點（1,1）,

.??這兩個函數是“親密函數”，

故答案為：V；

(2)?.?一次函數y=fcc+6與反比例函數y=-K(其中左，左>3是“親密函數”，

X

...方程kx+b=-K有且只有一個實數根，

X

k^+bx+k^Q有兩個相等的實數根，

A=b5-49=3,

:.b=2k或=2k,

當b=7左時，kjr+lkx+k—h,解得x=-l,

：.P(-1,k),

???“密接點”尸到原點的距離等于6,

.1.712+k4=3V2(負值舍去)，

:.b=5近;

當6=-2%時，kx8-2kx+k—0,解得尤=4,

：.P(1,-k),

???“密接點”尸到原點的距離等于3,

?1-V?2+k2=8^(負值舍去)，

.'.b=-4遍；

當6=2左時，k>r+2kjc+k=Q,解得x=-l,

：.P(-5,k),

???“密接點”尸到原點的距離等于3,

.1.718+k2=3V2(負值舍去)，

，b=4\、歷；

綜上，6的值為5祀證；

(3)m+n=3c.

證明：設直線/i：y=kix+b3,直線/2:丁=左2什/?4,

??,兩條直線/1與/2都是二次函數y=d+c的“親密函數”，且“密接點”分別為M,N.

/.kxx+bi=j?+c,即x2-kix-^-c-Z?7=0有兩個相等的實數根，

A=v-4(c-/?1)=8,

K1

4

7

82

_4c-knk9k9

同理：b6=----L,N二一,

485

設直線MN的解析式為>=依X+加，

kfik9z-xkiki

——fa+Z?8=——+C?，—-^4+Z?3=--—+C②，

2424

kjk

①kiX-②義依得kib3-k6b3=--------(to-fe)+(ki-ki)c,

4

k<k

:?b7=~--------■+c,

5

kgk

令％=0,貝!j"=歷=-------■+c,

4

?fH=ksXrrr^bx=k2Xm+b3,

m-bim-b4

Xm=--------=-------—，

klk2

99

4c-k34c-k2

mAm;

.4_4

kk

79

.........-+c,

4

kk

79k2k

.,.m+n—.........—+c+(---------

44

25.(10分)如圖，四邊形ABC。內接于O。，對角線AC,NDMC=/DAB.