數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

全國新高考卷的題型會有所調整，考試題型為8（單選題）+3（多選題）+3（填

空題）+5（解答題），其中最后一道試題是新高考地區新增加的題型，主要涉及集合、

數列，導數等模塊，以解答題的方式進行考查。

預測2024年新高考地區數列極有可能出現在概率與統計大題中，而結構不良型題

型可能為集合或導數模塊中的一個，出現在19題的可能性較大，難度中等偏上，例如

本卷第19題。

第I卷（選擇題）

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合要求的。

1.已知樣本數據4無2,…，為00的平均數和標準差均為4,則數據-占

的平均數與方差分別為（）

A.-5,4B.-5,16C.4,16D.4,4

2.己知向量.=（1,2）,忖=3,卜-2*而',則向量a在向量6上的投影向量的模長

為（）

A.6B.3C.2D.述

5

3.已知在等比數列｛%｝中，2出+4=15,a2a3a4=729,則Sn-a"=（）

A.2X3"T一2B.C.2x3"-nD.5x3"-3

4.已知三棱錐A-3CD中，AB=6,AC=3,BC=35/L三棱錐A-JBCD的體積為生m,

2

其外接球的體積為苛兀，則線段。長度的最大值為（）

A.7B.8C.772D.10

5.一個信息設備裝有一排六只發光電子元件，每個電子元件被點亮時可發出紅色光、

藍色光、綠色光中的一種光.若每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不

能同時被點亮，根據這三個被點亮的電子元件的不同位置以及發出的不同顏色的光來表

示不同的信息，則這排電子元件能表示的信息種數共有（）

A.60種B.68種C.82種D.108種

6.已知4=2一/，^=iogic=log23,則（）

A.6z<Zr<cB.c^b^aC.D.b^c^a

7.純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅動車輪行駛，符合道路交通、安全法規

各項要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發動.因其對環境影響較小，逐漸成為當

今世界的乘用車的發展方向.研究發現電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年

Peukert提出鉛酸電池的容量C、放電時間/和放電電流/之間關系的經驗公式：C=/",

其中九為與蓄電池結構有關的常數（稱為Peukert常數），在電池容量不變的條件下，當

放電電流為7.5A時，放電時間為60h；當放電電流為25A時，放電時間為15h,則該蓄

電池的Peukert常數彳約為（參考數據：1g2。0.301,1g3ao.477）（）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

22

8.已知雙曲線-4=l（a>0,b>0）與拋物線C2：y=2px（p>0）,拋物線C?的準

ab

線過雙曲線的焦點尸，過點歹作雙曲線G的一條漸近線的垂線，垂足為點延長

月與拋物線C?相交于點N,若ON+30P=4OM,則雙曲線G的離心率等于（）

A.73+1B.C.V2D.V2+1

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在復平面內，下列說法正確的是（）

A.若復數Z=「（i為虛數單位），則z74=-l

B.若復數z滿足z=[,則zeR

C.若2必2=0,則Z1=O或Z2=0

D.若復數z滿足|z-l|+|z+l|=2,則復數z對應點的集合是以坐標原點。為中心，

焦點在X軸上的橢圓

10.設直線系M:xcos"9+ysin"e=l（其中0,小，w均為參數，0<0<2n,w,ne{l,2））,

則下列命題中是真命題的是（）

A.當機=1,〃=1時，存在一個圓與直線系M中所有直線都相切

B.存在優，n,使直線系M中所有直線恒過定點，且不過第三象限

C.當加=〃時，坐標原點到直線系M中所有直線的距離最大值為1,最小值為變

2

D.當m=2,〃=1時，若存在一點A（“,0）,使其到直線系M中所有直線的距離不

小于1,貝！JaWO

11.如圖所示，一個圓錐SO的底面是一個半徑為3的圓，AC為直徑，且/ASC=120。，

點B為圓。上一動點（異于A,C兩點），則下列結論正確的是（）

A./S4B的取值范圍是

62_

B.二面角S-3C-A的平面角的取值范圍是[,鼻

C.點A到平面5BC的距離最大值為3

D.點M為線段S3上的一動點，當&時，AM+MO6

第口卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設集合A={x|V一無一6<0},B^[x\-a<x<a},若A=B,則實數。的取值范圍

是.

13.已知三棱柱ABC-A耳G中，ABC是邊長為2的等邊三角形，四邊形與4為菱

形，ZA,AB=60°,平面ABBA，平面ABC,〃為AB的中點，N為B片的中點，則三

棱錐Q-AtMN的外接球的表面積為.

,_/、,,,a(]wc—Inx)1,

14.已知對任思玉,％24。，"("00)，且當王<X2時，都有：----0-----<1"1-----，貝的

X2—XiXxX2

取值范圍是.

四'解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)在"C中，內角A,B,C所對的邊分別a,b,c,其中a=b+2,c=06,

且sinA=A/2sinC-

⑴求c的值；

⑵求tanA的值；

⑶求cos12A+j的值.

16.（15分）如圖，在三棱錐P-ABC中，M為AC邊上的一點，ZAPC=ZPMA=90°,

cosZCAB=—,AB=2PC=76,PA=6

3

(1)證明：AC_L平面BBAf；

(2)設點。為邊PB的中點，試判斷三棱錐尸-ACQ的體積是否有最大值？如果有，請求

出最大值；如果沒有，請說明理由.

17.(15分)近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生

開放了兩個健身中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當

的體育鍛煉.

(1)該校學生甲、乙、丙三人某周均從A2兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲、

乙.丙該周選擇A健身中心健身的概率分別為;求這三人中這一周恰好有一人選

擇A健身中心健身的概率；

(2)該校學生丁每周六、日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身

中心的其中一個，其中周六選擇A健身中心的概率為;.若丁周六選擇A健身中心，則

周日仍選擇A健身中心的概率為:；若周六選擇5健身中心，則周日選擇A健身中心的

4

概率為I.求丁周日選擇8健身中心健身的概率；

(3)現用健身指數上(左40,10])來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規定

上值低于1分的學生為健身效果不佳的學生，經統計發現從全校學生中隨機抽取一人，

其上值低于1分的概率為0.12.現從全校學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學生不是健

身效果不佳的學生，則繼續抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學生為止，但

抽取的總次數不超過若抽取次數的期望值不超過23,求，的最大值.

參考數據：0.9829?0.557,0.9830?0.545,0.9831?0.535.

18.（17分）已知橢圓C：E+￡=l（a>6>0）的上下頂點分別為耳,與，左右頂點分別

ab

為a，4，四邊形a片&為的面積為6石，若橢圓c上的點到右焦點距離的最大值和最

小值之和為6.

⑴求橢圓C的方程；

⑵過點（-1,0）且斜率不為o的直線/與c交于P,。（異于A，4）兩點，設直線右尸與

直線4。交于點加，證明：點”在定直線上.

19.（17分）給定整數〃之3,由"元實數集合尸定義其隨影數集。={|x-加尤,yeP,尤滬y}.

若min（Q）=l,則稱集合尸為一個"元理想數集，并定義尸的理數f為其中所有元素的絕

對值之和.

⑴分別判斷集合5={-2,-1,2,3},7={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想數集；（結論不要求

說明理由）

⑵任取一個5元理想數集尸，求證：|min（P）|+|max（尸心4；

⑶當「={公孫…，々期}取遍所有2024元理想數集時，求理數f的最小值.

注：由〃個實數組成的集合叫做〃元實數集合，max（P）,min（P）分別表示數集尸中的最

大數與最小數.

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

全國新高考卷的題型會有所調整，考試題型為8（單選題）+3（多選題）+3（填

空題）+5（解答題），其中最后一道試題是新高考地區新增加的題型，主要涉及集合、

數列，導數等模塊，以解答題的方式進行考查。

預測2024年新高考地區數列極有可能出現在概率與統計大題中，而結構不良型題

型可能為集合或導數模塊中的一個，出現在19題的可能性較大，難度中等偏上，例如

本卷第19題。

第I卷（選擇題）

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合要求的。

1.已知樣本數據士,々，…，占oo的平均數和標準差均為4,貝！）數據一五一1,一%T,…,fooT

的平均數與方差分別為（）

A.-5,4B.-5,16C.4,16D.4,4

【答案】B

【詳解】由題意知樣本數據4尤2，，石00的平均數和標準差均為4,則石，尤2,…的方

差為16,

則f，-尤2,…，Foo的平均數為-4,方差為（-1）2xl6=16,

故，-占00-1的平均數為T-1=-5,方差16,

故選：B

2.已知向量&=0,2）,網=3,卜-2.=a，則向量a在向量B上的投影向量的模長

為（）

A.6B.3C.2D.

5

【答案】C

【詳解】因為。=(1,2),所以同=石,

因為卜一2可=&7,所以,一26『=17,

所以。.a-4a.〃+4b/=17，又卜卜3,

\a-b\6

所以小6=6,所以向量口在向量b上的投影向量的模的值為W=g=2,

故選：C.

3.已知在等比數列｛%｝中，2a2+%=15,a2a3a4=729,則S“-%=()

A.2X3"T—2B.C.2x3"-nD.5x3"-3

【答案】B

【詳解】因為在等比數列｛4｝中，/。3%=729,所以城=729,解得生=9,

又2a2+的=15,解得4=3,

設等比數列｛4｝的公比為/則4=￡=(=3，

所以4=1,所以S“_aa="一37=g(3"T_l).

故選：B.

4.已知三棱錐A-3CD中，AB=6,AC=3,8C=3石，三棱錐A-BCD的體積為空5,

2

其外接球的體積為器兀，則線段。長度的最大值為()

A.7B.8C.772D.10

【答案】C

【詳解】因為球的體積為器兀，所以球的半徑R滿足郢兀=：成3,可得R=5；

XAB=6,AC=3,BC=3A/3,因此AB?=AC?，即ZAC3=90,此時

SABC=gx3x3^=￥^；

設點。到平面ABC的距離為"貝口酸生叵=生四，可得力=7,

322

因為。在球的截面圓上，設截面圓所在的平面為。，當a與平面ABC平行時，DC有

最大值；

設球心到平面A3C的距離為d,而一MC的外心即為AB的中點，外接圓的半徑為

-AB^3,

2

則d=152-3?=4,故球心到平面a的距離為7-4=3,

可知截面圓半徑為752-32=4；

設C在平面a上的射影為E,則E的軌跡為圓，如下圖所示：

設該圓圓心為。，則當。。,石三點共線時且點。在。,石中間時，OE最長，

此時DE=3+4=7,故線段8長度的最大值為7應.

故選：C

5.一個信息設備裝有一排六只發光電子元件，每個電子元件被點亮時可發出紅色光、

藍色光、綠色光中的一種光.若每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不

能同時被點亮，根據這三個被點亮的電子元件的不同位置以及發出的不同顏色的光來表

示不同的信息，則這排電子元件能表示的信息種數共有（）

A.60種B.68種C.82種D.108種

【答案】D

【詳解】每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能同時被點亮，

所以需把3個亮的發光原件插入未點亮的元件中，有C：=4種方法，

且不同顏色數有3x3x3=27種，

所以這排電子元件能表示的信息種數共有4x27=108種.

故選：D

6.已知a=2-",bTogj；，c=log23,貝i]()

4J

A.a<b<icB.c^b^aC.b<~a<cD.b<.c<.a

【答案】A

【詳解】由指數函數與對數函數的性質可得，a=2-ll<2-1=^

1117I1.I1

-=logj\<b=log]-<logi-=l,c=log23>log22=I,

242W344

所以。<6<C,

故選：A.

7.純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅動車輪行駛，符合道路交通、安全法規

各項要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發動.因其對環境影響較小，逐漸成為當

今世界的乘用車的發展方向.研究發現電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年

Peukert提出鉛酸電池的容量C、放電時間/和放電電流/之間關系的經驗公式：C=,

其中幾為與蓄電池結構有關的常數(稱為Peukert常數)，在電池容量不變的條件下，當

放電電流為7.5A時，放電時間為60h；當放電電流為25A時，放電時間為I5h,則該蓄

電池的Peukert常數幾約為(參考數據：恒2。0.301,1g3ao.477)()

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

【答案】D

【詳解】由題意知C=7.5'x60=25/xl5,

所以[Tl[=[=4,兩邊取以10為底的對數，得21gl=21g2,

21g22x0.301

所以力=“15

l-lg31-0.477

故選：D.

22

8.已知雙曲線￡：1-2=1(">0,6>0)與拋物線C2：V=2px(p>0),拋物線C,的準

a-b

線過雙曲線Ci的焦點尸，過點尸作雙曲線G的一條漸近線的垂線，垂足為點加，延長

引度與拋物線G相交于點N,若ON+3O尸=4QW，則雙曲線G的離心率等于()

A.6+1B.號?C.72D.72+1

【答案】C

【詳解】設雙曲線的焦距為2c,

拋物線Q的準線過雙曲線G的焦點F,

??——C=>——=C,

22

b[be]

又?.S(_c,0)至IJy=、x的距離d=j.+心=b,^\MF\=b,

ON+3OF=4OMON-OM=3OM-3OF,?>-MN=3FM,

.-\NM\=3b,則|7W|=4b,

22

.,JOF\=cf^\OM\=ylFO-FM=a,

過N作軸，則RWFNP,

&=盟=粵=￡=島處也

FN17Vpi|FP|4b|NP||FP|11c11c

因此尸

4a2b2=(4Z?2—c2)c2=>c4=4Z?2(c2—a2)=4Z?4=>c2=2b2,故，=2a2,

故e=0.故選：C.

二'選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在復平面內，下列說法正確的是（）

A.若復數2=緊（i為虛數單位），則z74=-l

1+1

B.若復數z滿足z=』，則zeR

C.右Z]Z2=0,則zi=O或Z2=0

D.若復數z滿足|z-l|+|z+l|=2,則復數z對應點的集合是以坐標原點。為中心,

焦點在x軸上的橢圓

【答案】ABC

1-i(1?2i

【詳解】解：復數z=

17r(l+i)(j)2

因為「=1,所以z，，/1%?一1,故選項A正確;

設z=a+Z?i(a,Z?￡R),若復數Z滿足z=I

則a+歷=a-歷，即Z?=0,所以ZER,故選項B正確;

設Z]=m+〃i（機，幾￡R）,z2=c+%（c,d￡R）,

則z/2=（m+叫（c+潰）=儂一次Z+（m6?+〃c）i.

因為2送2=me—nd—[md+nc）i,且Z1Z2=me—nd—[md+nc）i,

所以Z]Z2=Z1Z2.

若Z1Z2=0,則Z1Z2=O，所以Z1=O或Z2=0，故選項C正確；

由復數z滿足|z-l|+|z+l|=2,則復數z對應點的集合是一條線段，故選項D錯誤.

故選：ABC

10.設直線系M：xcosme+ysin==l（其中0,加，〃均為參數，0＜，＜2兀，m,Me{l,2}）,

則下列命題中是真命題的是（）

A.當機=1,〃=1時，存在一個圓與直線系M中所有直線都相切

B.存在如n,使直線系"中所有直線恒過定點，且不過第三象限

C.當〃7="時，坐標原點到直線系M中所有直線的距離最大值為1,最小值為正

2

D.當%=2,〃=1時，若存在一點A（aO）,使其到直線系M中所有直線的距離不

小于1,貝!]

【答案】ABD

【詳解】A選項，當根=1,〃=1時，M:xcosO+ysinO=l,

設圓為一+,2=i,則圓心（0,0）到直線”:xcos/9+ysin＜9=l的距離==1,

，cos6+sin6

■^M:xcosO+ysin0=l^x2+y2=1總相切，A正確；

B選項,當根=〃=2時，M:xcos23+ysin23=1,

由于8$2。+$五。=1,故直線加"852。+*也2。=1恒過（1,1）,

若sinO=O時，直線為M:x=l,

若sindwO時，直線“"52。+何11*=1的斜率為_^^40,

sin0

故直線M:xcos23+ysin23=1不過第三象限，

所以存在優，n,使直線系M中所有直線恒過定點，且不過第三象限，B正確;

C選項，當〃2="=1時，A/：xcos6+ysin6=l,

111

坐標原點到直線系M的距離為4=/J,=1,

Vcos26?+sin26?

當當〃?=〃=2時，Mxcos10+ysm10=1,

111

坐標原點到直線系M的距離為d2=/"

Vcos46?+sin46>

其中cos46+sin"0=cos26cos20+sin26sin20<cos20+sin20=1,

故心=/J.4J]，C錯誤.

Vcos6+sm0

D選項，當m=2,〃=1時，M:xcos2+j^sin=1,

/\Lzcos2^-1

點A（〃,o）到直線系M中所有直線的距離4=J」>1，

{cos'0+sin20

化簡得（片-l）cos?0>2〃-1恒成立，

由于以光2夕￡[0,1],

若4—1=0，解得。=±1,

當a=l時，0>1,不合要求，舍去，

當〃=一1時，02-1,滿足要求，

若/—I>。，即。>1或。〈一1,此時（"一l）cos?6的最小值為0,

則022。一1,解得故此時a<-L,

2

若—1<0,即一,此時（"-l）cos28的最小值為〃2一］,

則4—122〃—1,解得或故此時—lva<0,

綜上，a<0,D正確.

故選：ABD

11.如圖所示，一個圓錐SO的底面是一個半徑為3的圓，AC為直徑，且NASC=120。,

點3為圓。上一動點（異于A,。兩點），則下列結論正確的是（）

A.N5AB的取值范圍是

62_

（7T7T）

B.二面角S-8C-A的平面角的取值范圍是［^，萬）

C.點A到平面SBC的距離最大值為3

D.點加為線段S3上的一動點，當&時，AM+MO6

【答案】BD

【詳解】由己知AC=6,ZASC=120°,且&1=SC=SS,

CA2-kSC12_AC2

在/ASC中，由余弦定理可知，cosZASC=----------------------,

2SASC

即=2sA—^—―,解得SA=SC=S3=,則SO=\/§'

22SA'

A選項：點8為圓。上一動點（異于A,C兩點），

則ABe（O,6）,

S^+AB2-SB-AB2

在‘ABS中，cosZSAB=

2sA?AB46AB-473

AB

所以cos/SA2=而§

B選項：取8C中點D,連接SO,OD,則SDL3C,ODA.BC,豆ODIIAB,

（9D=1ABG（0,3）,

則二面角S-3C—A的平面角為/SDO,

SO_V3

所以tanZSDO=

OD-OD

所以NSDOeB選項正確;

C選項：由已知SSB。=；BC-SD,

又SABC=^ABBC=ODBC,

則三棱錐S-ABC的體積VSABC==SABCSO=BODBC,

o—/loC3/IDC3

設點點A到平面SBC的距離為d,

則匕,.,d=-BC-SDd=—ODBC,

/I—DBOCr=-r\SOORL.r，c

5oJ

則d=2若型=2gcosZSDOG（0,3）,C選項錯誤；

D選項：當&4_LS8時，AB=^2SA=2y/6,BC=2道,

則ASAB為等腰直角三角形，△SBC為等邊三角形,

將平面SBC繞S3至SB。，使C'與SAB共面，

如圖所示,

s

--------------

5兀

在.5AC中，NASC=—,

6

由余弦定理可知AC'2=SA2+SC'2-2SA-SC-cosZASC=12+12+1273=24+12>/3>36,

所以AM+MC2AC'>6,D選項正確；

故選：BD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設集合A={x|尤2-X-6<0},B={x\-a<x<a],若A=B,則實數。的取值范圍

是.

【答案】[3,+8)

【詳角軍】集合A={x|/-尤一6<0}={x|(x-3)(x+2)<0)={x|-2<x<3},

yiB={x\-a<x<a],且

[—aW—2]a22「、

故可得，即、:，解得。目3,內).

[a>3[a>3

故答案為：[3,內).

13.已知三棱柱ABC-A耳G中，ABC是邊長為2的等邊三角形，四邊形AB與人為菱

形，Z4AB=60°,平面A網4,平面ABC,"為AB的中點，N為期的中點，則三

棱錐Q-A.MN的外接球的表面積為.

【答案】7兀

【詳解】解法一連接A4，\B,記ABA耳=a，則QA=1.

連接O]M,OjN,則0]M=0]N==1,故。i為4MN外接圓的圓心.

取A4的中點。，連接0Q,則。。=；AA=1,所以點。在4成的外接圓上.

連接G。，因為△?!（片G為等邊三角形，所以與，cp=6

由平面ABB^1平面ABC,知平面ABB^1平面A}BXCX,

又平面ABB^-}平面AB?=4與，GDu平面A笈G,所以CQ，平面ABB}\.

設三棱錐的外接球半徑為R,則R2=F+[?]=：,

故三棱錐Q-&MN的外接球的表面積為4兀代=7%.

解法二連接AB,CM,則△AA8為正三角形，CMLAB,故

因為平面4叫A，平面ABC,平面4陽4〕平面ABC=A5,平面A盟A,，

所以平面A3C,

以MB為x軸，MC為，軸，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

得M（0,0,0）,3（1,0,0）,A（0,0,A/3）,N|,0,事，c（o,若,0）,G。，若，君），

由,AMN為等邊三角形，則AMN的外接圓圓心為尸

設三棱錐G-AMN的外接球的球心為。，連接OP,OM,OC”

則OP_L平面AMN,又CM_L平面4MN,所以0PCM.

設。

gm,,由C?G=OM,可得

、2

I+m2+使T

7bJ

解得7”=立，因此球心當,W],故外接球半徑R=O〃=立,

2U22I2

2

故三棱錐Q-&MN的外接球的表面積S=4兀=7兀.

故答案為：7兀

/、a（]wc-lux,）1

14.已知對任意不吃武。,”），且當&%時，都有：——0---<i+——，則”的

x2XxX2

取值范圍是.

【答案】S，2]

..,_/x,a（k\x-Inx.）1,、

【詳解】因為對任意外,馬€（0，口），且當玉<龍2時0——-<1+恒成立，

馬一玉七％2

冗—X

2

所以a\nx,-alnxj<x2-x{+~'1■■恒成立，

XxX2

I.11一

所以a\nx2-（Ax\xx<x2-jqH----------怛成立，

%x2

所以〃1叫一々+—<41叫_石+工恒成立①，

x2七

令/（%）=a\nx-x+—,xG（0,+a）,

由①式可得〃X2）</（%），所以/（%）在（。，+。）上單調遞減，

所以/（X）=-Jm+1V0在（0,+回上恒成立,

所以f一依+120在（0,+8）上恒成立，

所以在（0,+8）上恒成立，又X+L,口=2,當且僅當了=工，即彳=1時取

XX\XX

等號，

??.?W2.故答案為：（F,2]

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）在&ABC中，內角A,8,C所對的邊分別a,b,c,其中a=6+2,c=06,

且sinA=A/2sinC-

⑴求c的值；

⑵求tanA的值；

⑶求cos[2A+?）的值.

【答案】⑴2忘⑵一件⑶拒-3近

8

【詳解1（1）sinA=5/2sinC,

/.a-41c，

a=b+2]。=4

：.<c=y/2b,解得。=2

a=^/2cc=2V2

(2)由余弦定理可得cosA=/一〃=—也,X0<A<TI,

2bc4

I-----z-J14sinA[-

sinA=yJ1-cos2A=---,tanA4=-----=一。7.

4cosA

(3)因為cos2A=2C0S?A-l=--,sin2A=2sinAcosA=-^~,

44

所以cos12A+：=cos2Acos--sin2Asin-=爐一36

448

16.(15分)如圖，在三棱錐P-ABC中，M為AC邊上的一點，ZAPC=ZPMA=90°,

cosNCAB=/,AB=2PC=76,PA=y/3.

⑴證明：ACmPBM；

⑵設點。為邊PB的中點，試判斷三棱錐尸-ACQ的體積是否有最大值？如果有，請求

出最大值；如果沒有，請說明理由.

【答案】⑴詳見解析⑵也

4

【詳解】（1）解：因為NAPC=NPM4=90。，AB=2PC=?PA=0

所以4。=，4。2+尸。2=述,由射影定理得Ap2=A".A。，

2

ACr~

所以AM齊=,由余弦定理得曲〃=4"2+.2一=

所以+MABL則NAMB=90,即ACJ_aW,

又因為AC_LPAf,BMcPM=M,

所以AC_L平面PMB；

(2)因為點。為邊PB的中點，

=9=

所以VQ-PACJ^B-PAC)又^Q-PAC=Vp-ACQ^B-PAC^P-ABC，

所以yP-ACQ=萬匕。-A3C,

因為ACu平面ABC,所以平面ABC1平面PW,

所以點P到平面A3。的距離，即為點尸到的距離，設為九

因為sABC=LAB-ACsin/CAB=L卡?逑?邁=還為定值，

ABC22232

當力最大時，所以三棱錐P-AC。的體積最大，

DA

而尸M=—：—=1,貝lj/z4尸M=l,

AC

當/Z=l時，(LAC。)=-(^ABC)=-X-X^Xl=^.

\P-ACQ/max2VP-ABC7max2324

17.(15分)近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生

開放了A3兩個健身中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當

的體育鍛煉.

(1)該校學生甲、乙、丙三人某周均從兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲、

乙、丙該周選擇A健身中心健身的概率分別為g求這三人中這一周恰好有一人選

擇A健身中心健身的概率；

(2)該校學生丁每周六、日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身

中心的其中一個，其中周六選擇A健身中心的概率為，若丁周六選擇A健身中心，則

周日仍選擇A健身中心的概率為：；若周六選擇5健身中心，則周日選擇A健身中心的

4

概率為f.求丁周日選擇8健身中心健身的概率；

(3)現用健身指數女化40,10])來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規定

%值低于1分的學生為健身效果不佳的學生，經統計發現從全校學生中隨機抽取一人,

其左值低于1分的概率為0.12.現從全校學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學生不是健

身效果不佳的學生，則繼續抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學生為止，但

抽取的總次數不超過”?若抽取次數的期望值不超過23,求〃的最大值.

參考數據：0.9829x0.557,0.9830?0.545,0.9831?0.535.

713

【答案】⑴/；(2)—；(3)30.

1oZ4

【詳解】（1）由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率

7

18'

（2）記事件C：丁周六選擇A健身中心，事件。：丁周日選擇8健身中心,

_11a_n1

則P（C）=PQ）=?,P（OC）=I-『『尸（00=1-

__1a111a

由全概率公式得尸（。）=P（C）P（D|C）+P（C）P（￡>|C）=-X4+-x^=-.

故丁周日選擇8健身中心健身的概率為二13.

24

（3）設從全校學生中隨機抽取1人，抽取到的學生是健身效果不佳的學生的概率為P,

則P=0.12,

設抽取次數為X,則X的分布列為

X123Ln-1n

pp(1-p)p(1-PTPL(1-P)，(1-p尸

故E(X)=p+(l-p)px2+(l-p)2px3++(1-p)"-2-1)+(1-Xn,

又

(l-p)E(X)=(l-2)p+(l-p)2px2+(l-p)3px3+.+(l_p)"T/X(〃-l)+(l_p)"X”,

兩式相減得pE(X)=p+(l_p)p+(l_p)2p++(l-p)n_2p+(l_p)"Tp,

所以E(X)=]+(l-p)+(l_p)~++(1-2廠+(1-0廣

1-(1-0〃_1-(1-^)H(1+H)_l-0.98n

P0.02

1-0w

而E(x)=在九GN*時單調遞增,

170.02

1—0.98〃1-0.557

可知當〃=29時，E（X）==22.15；

0.02~0.02

1-0.98"1-0.545「…

當〃二30時，E（X）=--------?--------=22.75；

0.020.02

1-0.98"1-0.535

當〃=31時，E（X）==23.25.

0.020.12

若抽取次數的期望值不超過23,則〃的最大值為30.

18.（17分）已知橢圓C：（+2

%=l（a>b>0）的上下頂點分別為BQ?,左右頂點分別

a

為4,4,四邊形a耳4鄉的面積為6石，若橢圓。上的點到右焦點距離的最大值和最

小值之和為6.

（1）求橢圓。的方程;

⑵過點（-1,。）且斜率不為。的直線/與。交于RQ（異于4,4）兩點，設直線4P與

直線AQ交于點加，證明：點時在定直線上.

【答案】⑴5+=1（2）證明見解析

5

【詳解】（1）設右焦點坐標為鳥（G。），橢圓。上的一點7（私幾），則-。4加工。,

2222

故與+勺=1,即”2=/一bm

aba2

b2m2

則T（m,n）到右焦點的距離d=J（加-c）,〃2m2-2cm+c2+Z?2—

a2

22

cm82cm

-2cm+a=-------a

a2a

cm,em,

因為一c4利所以一cV——<c—c—QW-----aWc-a,

aa

cm

故a-cV----a<a+c,

a

即橢圓C上的點到右焦點距離的最大值為a+c,最小值為a-c,

故〃+C+Q—C=2Q=6,角星得々=3,

又四邊形紇的面積為闋?懈周=白2心26=2仍=6出,

故。6=36，所以6=6，

橢圓方程為寸+父=1；

（2）當過點（-1,0）且斜率不存在時，直線/方程為x+l=O,

|_+5=1中，令-1得一=±半，

直線4尸：3=二_（尤_3）'即4尸寸=—-