2024年湖南省長沙市望城區中考數學一模試卷一、選擇題：本題共9小題，每小題3分，共27分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列實數是無理數的是(

)A.227 B.6 C.28 2.如圖所示是第19屆杭州亞運會的運動圖標，屬于軸對稱圖形的是(

)A. B. C. D.3.下列計算正確的是(

)A.(xy)2=xy2 B.x24.著名的數學蘇步青被譽為“數學大王”.為紀念其卓越貢獻，國際上將一顆距地球約218000000公里的行星命名為“蘇步青星”，數據218000000用科學記數法表示為(

)A.0.218×109 B.2.18×108 C.5.如圖，AB/?/DE，點B，C，D在同一直線上，若∠BCE=55°，∠E=25°，則∠B的度數是(

)

A.55° B.30° C.25° D.20°6.射擊比賽中，某隊員10次射擊成績如圖所示，則該隊員成績(單位：環)的中位數為(

)A.2 B.8 C.8.5 D.97.不等式組-x<1x-1≤1的解集在數軸上可表示為(

)A. B.

C. D.8.在一次函數y=(2m+2)x+4中，y隨x的增大而增大，那么m的值可以是(

)A.0 B.-1 C.-1.5 D.-29.不透明的盒子放有三張大小、形狀及質地相同的卡片，卡片上分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩，小明從盒子中隨機抽取兩張卡片，卡片上詩的作者都是李白的概率是(

)A.13 B.14 C.15二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。10.分解因式：a2-111.若一組數據3，4，3，6，7的眾數是3，則這組數據的中位數為______．12.已知：如圖所示，邊長為6的等邊△ABC，以BC邊所在直線為x軸，過B點且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A點坐標為______．

13.如圖，P是反比例函數y=k+1x(k≠0)的圖象上任意一點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，若△POM的面積等于4，則k14.如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=10cm，弦CD⊥AB于點E，CD=8cm，連接OC，則BE=______cm．

15.為了測量一個圓形鐵環的半徑，小華采用了如下方法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的直角三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到有關數據，進而求得鐵環的半徑，若測得AB=10cm，則鐵環的半徑是______．

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題6分)

計算：|-3|+(17.(本小題6分)

先化簡，再求值：(-2ab+3a2)-2b2-(a18.(本小題6分)

如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為AC=15km，與公路上另一停靠站B的距離為BC=20km，停靠站A、B之間的距離為AB=25km，為方便運輸貨物現要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CD⊥AB．

(1)請判斷△ABC的形狀？

(2)求修建的公路CD的長．19.(本小題8分)

為落實“雙減”政策，某校利用課后服務開展了“書香校園”的讀書活動，活動中，為了解學生對書籍種類(A：藝術類，B：科技類，C：文學類，D：體育類)的喜歡情況，在全校范圍內隨機抽取若干名學生，進行問卷調查(每個被調查的學生必須選擇而且只能在這四種類型中選擇一項)將數據進行整理并繪制成兩幅不完整的統計圖．

(1)這次調查中，一共調查了______名學生；

(2)在扇形統計圖中，“D”部分所對應的圓心角的度數為______度；并補全條形統計圖．

(3)若全校有4800名學生，請估計喜歡B(科技類)的學生有多少名？20.(本小題8分)

如圖，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BE=CD，BD與CE交于點O．

(1)求證：△COD≌△BOE；

(2)若CD=2，AE=5，求AC的長．21.(本小題9分)

為進一步落實“德智體美勞”五育并舉，某中學開展球類比賽，準備從體育用品商場一次性購買若干個足球和籃球.已知購買2個足球和1個籃球共需210元，購買3個足球和2個籃球共需360元．

(1)足球和籃球的單價各多少元？

(2)根據學校實際情況，需一次性購買足球和籃球共100個，且足球和籃球的總費用不超過7200元，學校最多可以購買多少個籃球？22.(本小題9分)

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90o，D是AB上一點，CD=BC，過點D作DF⊥AC于點F，過點C作CE/?/AB交DF的延長線于點E．

(1)求證：四邊形DBCE是平行四邊形．

(2)若BD=6，sinA=13，求23.(本小題10分)

如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M是線段DC延長線上的一點，連結MA交⊙O于點F，連結DF交AB于點G，連結AD，BD，CF．

(1)求證：△MAD∽△DAF．

(2)若AD=25BE，求tan∠AFD的值．

(3)在(2)的條件下，設tan∠M=x，AGGB=y．

①求y關于x的函數表達式；

②若E24.(本小題10分)

定義：在平面直角坐標系xOy中，當點N在圖形M的內部，或在圖形M上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”．

(1)如圖①，矩形ABCD的頂點坐標分別是A(-1,2)，B(-1,-1)，C(3,-1)，D(3,2)，在點N1(1,1)，N2(2,2)，N3(3,3)中，是矩形ABCD“夢之點”的是______；

(2)如圖②，已知點A，B是拋物線y=-12x2+x+92上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點.連接AC，AB，BC，判斷△ABC的形狀并說明理由．

(3)在(2)的條件下，點P為拋物線上一點，點Q為平面內一點，是否存在點P、Q，使得以AB為對角線，以A答案和解析1.B

解析：解：A．227是分數，屬于有理數，不符合題意；

B.6是無理數，符合題意；

C.28是整數，屬于有理數，不符合題意；

D.3.14是有限小數，屬于有理數，不符合題意．

故選：B．2.A

解析：解：B，C，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

A選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．

故選：A．

根據軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．

本題主要考查了軸對稱圖形，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．3.D

解析：[分析]

分別根據積的乘方運算法則，同底數冪的乘法法則，冪的乘方運算法則以及同底數冪的除法法則進行計算，再逐一判斷即可．

本題主要考查了同底數冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運算法則是解答本題的關鍵．

[詳解]

解：(xy)2=x2y2，故選項A錯誤；

x2?x3=x5，故選項B4.B

解析：解：218000000=2.18×108．

故選：B．

科學記數法的表現形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n是正整數，當原數絕對值小于15.B

解析：解：∵∠BCE=55°，∠E=25°，∠BCE=∠E+∠D，

∴∠D=∠BCE-∠E=55°-25°=30°，

∵AB//DE，

∴∠B=∠D，

∴∠B=30°，

故選：B．

根據三角形外角和內角的關系，可以得到∠D的度數，再根據平行線的性質，可以得到∠D=∠B，從而可以得到∠B的度數．

本題考查平行線的性質、三角形外角和內角的關系，解答本題的關鍵是求出∠D的度數．6.D

解析：解：由條形統計圖可得該隊員10次射擊成績(單位：環)為：6，7，8，8，9，9，9，9，10，10，

∴該隊員成績(單位：環)的中位數為(9+9)÷2=9．

故選：D．

由條形統計圖可得該隊員10次射擊成績，再根據中位數的定義即可求解．

本題主要考查中位數、條形統計圖，讀懂條形統計圖，從圖上獲取解題所需信息是解題關鍵．中位數：將一組數據按照從小到大(或從大到小)的順序排列，若數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數．若這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．7.B

解析：解：-x<1①x-1≤1②，

解不等式①得x>-1，

解不等式②得x≤2，

∴不等式組的解集為-1<x≤2，

表示在數軸上如圖：

故選：B．

先解出每個不等式，從而可得不等式組的解集，再表示在數軸上，即可得答案．

本題考查解一元一次不等式組，解題的關鍵是掌握取不等式公共解的方法．8.A

解析：【分析】

本題考查了一次函數的性質：對于一次函數y=kx+b，k>0，y隨x的增大而增大，函數圖象從左到右上升；k<0，y隨x的增大而減小，函數圖象從左到右下降。

根據一次函數的性質得到2m+2>0，然后解不等式得到m的取值范圍，再對各選項進行判斷。

【解答】

解：∵?y隨x的增大而增大

∴?2m+2>0

解得m>-1

故選A9.A

解析：解：把分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩的卡片分別記為A、B、C，

畫樹狀圖如下：

共有6種等可能的結果，其中卡片上詩的作者都是李白的結果有2種，即AB、BA，

∴卡片上詩的作者都是李白的概率是26=13，

故選：A．

畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，其中卡片上詩的作者都是李白的結果有10.(a+1解析：解：a2-14=(a+111.4

解析：解：將數據3，4，3，6，7排序后處在第3位的數是4，因此中位數是4．

故答案為：4．

根據中位數的意義，從小到大排序后，找出處在第3位的數即可．

本題考查中位數的求法，中位數是將一組數據排序后處在中間位置的一個數或兩個數的平均數，理解中位數的意義是正確解答的前提．12.(3,3解析：解：過A作AD⊥BC，

∵BC=6，等邊三角形ABC，

∴AD=33，

∴點A的坐標為(3,33)，

故答案為：13.-8

解析：解：根據題意可知：S△PMO=12|k|=4，即k=±8．

又∵反比例函數的圖象位于第二象限，

∴k<0，

∴k=-8．

故答案為：-8．

過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S=12|k|．

本題主要考查了反比例函數y=kx(k≠0)14.2

解析：解：∵弦CD⊥AB，CD=8cm，

∴CE=12CD=4cm，

在Rt△OEC中，OC=12AB=5cm，

∴OE=OC2-C15.10解析：解：如圖所示：連接OB，OC，OA，

∵AB為圓O的切線，

∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，

又AC為圓O的切線，

∴OC⊥AC，即∠OCA=90°，

在Rt△ADE中，∠E=30°，∠ADE=90°，

∴∠EAD=60°，∠BAC=120°，

∵AC及AB為圓O的切線，

∴OA為∠BOC的平分線，

則∠BAO=∠OAC，

可得∠BOA=∠COA，

又∠OBA=∠OCA=90°，

∴∠OAB=∠OAC=12∠BAC=60°，

在Rt△OBA中，∠OBA=90°，∠OAB=60°，AB=10cm，

∴tan60°=OBAB，即3=OB10，

則圓的半徑OB=103cm．

故答案為：103cm

由鐵環與桌面及AE邊相切，根據切線的性質得到OB與AB垂直，OC與AC垂直，再由AB與AC都為圓O的切線，根據切線長定理得到OA為角平分線，可得出∠AOB=∠AOC，再由一對直角相等，根據三角形的內角和定理得出∠OAB=∠OAC，由直角三角形AED中∠E=30°，根據直角三角形的兩銳角互余得到求出∠EAD的度數，進而得出鄰補角∠BAC16.解：原式=3+2+1-3解析：利用絕對值的性質，負整數指數冪，零指數冪及特殊三角函數值計算即可．

本題考查實數的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．17.解：(-2ab+3a2)-2b2-(a2-2ab)

=-2ab+3a2-2b2解析：先去括號，再合并同類項，得到化簡后的結果，再把a=1，b=-2代入化簡后的代數式進行計算即可．

本題考查的是整式的加減運算，化簡求值，熟練的去括號，合并同類項是解本題的關鍵．18.解：(1)△ABC是直角三角形．

∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，

152+202=252，

∴AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形．解析：(1)根據勾股定理的逆定理，由AC2+BC2=AB2得到△ABC是直角三角形．

(2)19.解：(1)200

；(2)54；

C的人數是：200×30%=60(名)，

補圖如下：

(3)4800×70200=1680(名)，

答：估計喜歡B(科技類)的學生有1680解析：解：(1)40÷20%=200(名)，

故答案為：200；

(2)D所占百分比為30200×100%=15%，

扇形統計圖中“D”所在扇形的圓心角的度數為：360°×15%=54°，

故答案為54；

補全的條形統計圖見答案；

(3)見答案。

(1)根據A類的人數和所占的百分比，即可求出總人數；

(2)用整體1減去A、C、D類所占的百分比，即可求出扇形統計圖中“D”所在扇形的圓心角的度數；用總人數乘以所占的百分比，求出C的人數，從而補全圖形；

(2)扇形統計圖中“D”所在扇形的圓心角的度數等于D所占的百分比乘以360°即可;用總人數乘以所占的百分比，求出C的人數，從而補全條形統計圖;

(3)總人數乘以樣本中20.(1)證明：在△COD和△BOE中，

∠COD=∠BOE∠CDO=∠BEO=90°CD=BE，

∴△COD≌△BOE(AAS)；

(2)解：∵△COD≌△BOE，

∴OC=OB，OD=OE，

∴OC+OE=OB+OD，

即CE=BD，

在△ACE和△ABD中，

∠A=∠A∠AEC=∠ADB=90°CE=BD，

∴△ACE≌△ABD(AAS)，

∴AE=AD=5，

∵CD=2，解析：(1)利用AAS即可證明△COD≌△BOE；

(2)根據全等三角形的性質及線段的和差求出CE=BD，利用AAS證明△ACE≌△ABD，根據全等三角形的性質及線段的和差求解即可．

此題考查了全等三角形的判定與性質，熟記全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．21.解：設足球的單價為x元、籃球的單價為y元，

根據題意可得：2x+y=2103x+2y=360，

解得：x=60y=90，

答：足球的單價60x元、籃球的單價為90元，

(2)設學校最多可以購買m個籃球，則買(100-m)個足球，

90m+60(100-m)≤7200，

解得：m≤40，

∴學校最多可以購買40解析：(1)設足球的單價為x元、籃球的單價為y元，根據“2個足球和1個籃球共需210元，購買3個足球和2個籃球共需360元．”列方程組即可解決；

(2)設學校最多可以購買m個籃球，則買(100-m)個足球，由“足球和籃球的總費用不超過7200元，”得不等式90m+60(100-m)≤7200即可解決．

本題考查二元一次方程組的應用及一元一次不等式的應用，理解題意找準數量關系是解決問題的關鍵．22.(1)證明：∵DF⊥AC，

∴∠DFA=90°，

∵∠C=90o，

∴∠DFA=∠C，

∴BC/?/DF，

∵CE/?/AB，

∴四邊形BDCE是平行四邊形；

(2)解：∵CE/?/AB，

∴∠A=∠ACE，

∵四邊形BDCE是平行四邊形，

∴CE=BD=6，

∵sinA=13，

∴sin∠ACE=EFCE=13，

∴EF=2，

設CD=DE=BC=x，則DF=x-2，

∵CD解析：(1)根據垂直的定義得到∠DFA=90°，根據平行線的判定定理得到BC/?/DF根據平行四邊形的判定定理即可得到結論；

(2)根據平行線的性質得到∠A=∠ACE根據平行四邊形的性質得到CE=BD=6根據三角函數的定義得到EF=2，設BC=x，DF=x-2，根據勾股定理即可得到結論．

本題考查了平行四邊形的判定和性質，三角函數的定義，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．23.(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，

∴AC=AD，

∴∠AFD=∠ADC，

∵∠FAD=∠DAM，

∴△MAD∽△DAF；

(2)解：∵AD=25BE，

∴設BE=a，則AD=25a.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵CD⊥AB，

∴△AED∽△ADB，

∴AEAD=ADAB．

∴AB-a25a=25aAB，

∴AB=5a．

∴AE=AB-BE=4a，

∴DE=AD2-AE2=2a．

∴tan∠ADC=AEDE=4a2a=2．

由(1)知：∠AFD=∠ADC，

∴tan∠AFD=tan∠ADC=2；

(3)解：①過點G作GH⊥AD于點H，如圖，

則tan∠ADF=GHHD．

由(1)知：△MAD∽△DAF，

∴∠M=∠ADF，

∵tan∠M=x，

∴tan∠ADF=GHHD=x，

∴GH=xHD．

∵tan∠EAD=DEAE=12，

∴tan∠AFD=GHAH=12．

設GH=m，則AH=2m，

∴AG=AH2+HG2=5m.

∴xHD=m，

∴HD=mx．

∵GH⊥AD，AD⊥BD，

∴GH/?/BD，

∴AGGB=解析：(1)利用垂徑