江蘇省鹽城市阜寧縣2023-2024學年高一下學期4月期中學情調研數學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）下列復數中，滿足方程x2+2＝0的是（）A．±1 B．±i C． D．±2i2．（5分）tan15°＝（）A． B． C． D．3．（5分）在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC大小為（）A． B． C． D．4．（5分）已知向量，則向量的模為（）A． B．4 C．2 D．5．（5分）在復平面內，復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（5分）△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，則cosC＝（）A． B． C． D．7．（5分）＝（）A． B．1 C． D．8．（5分）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發現了“黃金分割”．“黃金分割”是工藝美術、建筑、攝影等許多藝術門類中審美的要素之一，它表現了恰到好處的和諧，其比值為，這一比值也可以表示為m＝2sin18°，若2m2+n＝8，則＝（）A．2 B．4 C． D．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分；三個正確選項時，選對一個的得2分，選對二個的得4分；兩個正確選項時，選對一個的得3分；有選錯的得0分）（多選）9．（6分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣3，2），＝（1，1），則（）A．∥ B．（+）⊥ C．+＝ D．＝5+3（多選）10．（6分）下列各式化簡正確的是（）A．cos80°cos20°+sin80°sin20°＝cos60° B．cos75°＝cos45°cos30°+sin45°sin30° C． D．sin（α+45°）sinα+cos（α+45°）cosα＝sin45°（多選）11．（6分）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）A．若sinB＞sinC，則B＞C B．若，則三角形有一解 C．若bcosB﹣ccosC＝0，則△ABC一定為等腰直角三角形 D．若△ABC面積為，則三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．（5分）已知i為虛數單位，則（2﹣i）2＝．13．（5分）設＝（x，3），＝（2，﹣1），若與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是．14．（5分）若關于x的不等式|asin2x+bsinx+c|≤1（a＞0）的解集為[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，則a的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟），15．（13分）已知平面向量＝（1，x），＝（2x+3，﹣x），x∈R．（1）若⊥，求x的值；（2）若∥，求|﹣|的值．16．（15分）已知復數z和它的共軛復數滿足2z+＝3+2i．（1）求z；（2）若z是關于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個根，求復數的模．17．（15分）平行四邊形ABCD中；AB＝2，AD＝1，∠BAD＝120°，求：（1）的值；（2）cos∠BAC18．（17分）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若b＝2，求△ABC的面積的最大值．19．（17分）已知向量＝（cos，sin），＝（cos，﹣sin），函數f（x）＝?﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．（1）當m＝0時，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值為﹣1，求實數m的值；（3）是否存在實數m，使函數g（x）＝f（x）+m2，x∈[﹣，]有四個不同的零點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

參考答案與試題解析一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）下列復數中，滿足方程x2+2＝0的是（）A．±1 B．±i C． D．±2i【分析】直接解方程即可得到答案．【解答】解：x2+2＝0，即x2＝﹣2，即x2＝2i2，解得x＝i．故選：C．【點評】本題考查復數的運算，是基礎題．2．（5分）tan15°＝（）A． B． C． D．【分析】由tan15°＝tan（45°﹣30°），然后結合兩角差的正切公式可求．【解答】解：tan15°＝tan（45°﹣30°）＝＝＝2﹣．故選：B．【點評】本題主要考查了兩角差的正切公式的簡單應用，屬于基礎試題．3．（5分）在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC大小為（）A． B． C． D．【分析】先根據余弦定理求出角∠BAC的余弦值，再由角的范圍確定大小即可．【解答】解：∵，又∠BAC∈（0，π），所以．故選：A．【點評】本題主要考查余弦定理的應用．在三角形中求出余弦值找對應的角時切記莫忘角的范圍．4．（5分）已知向量，則向量的模為（）A． B．4 C．2 D．【分析】首先求得向量的坐標，再利用坐標進行計算．【解答】解：由，可得，則．故選：C．【點評】本題考查向量的坐標運算，屬基礎題．5．（5分）在復平面內，復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先對復數進行化解，然后由已知的復數得到其在復平面內對應點的坐標得答案．【解答】解：＝＝對應點（）在第一象限．故選：A．【點評】本題考查了復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．6．（5分）△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，則cosC＝（）A． B． C． D．【分析】由已知及正弦定理可得sinC＝＝，又AB＜AC，利用大邊對大角可得C為銳角，根據同角三角函數基本關系式即可求得cosC得值．【解答】解：∵AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，∴由正弦定理可得：sinC＝＝＝，又∵AB＜AC，C為銳角，∴cosC＝＝．故選：D．【點評】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，同角三角函數基本關系式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．7．（5分）＝（）A． B．1 C． D．【分析】把分子中的cos10°化為cos（30°﹣20°），利用兩角差的余弦公式進行計算即可．【解答】解：＝＝＝＝．故選：D．【點評】本題主要考查了兩角差的余弦公式的應用問題，是基礎題．8．（5分）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發現了“黃金分割”．“黃金分割”是工藝美術、建筑、攝影等許多藝術門類中審美的要素之一，它表現了恰到好處的和諧，其比值為，這一比值也可以表示為m＝2sin18°，若2m2+n＝8，則＝（）A．2 B．4 C． D．【分析】結合二倍角公式，誘導公式，對所求式子進行化簡，即可．【解答】解：因為m＝2sin18°，2m2+n＝8，所以n＝8﹣2m2＝8﹣2?（2sin18°）2＝8（1﹣sin218°）＝8cos218°，所以＝＝＝2．故選：C．【點評】本題考查三角函數的求值，熟練掌握二倍角公式，誘導公式是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分；三個正確選項時，選對一個的得2分，選對二個的得4分；兩個正確選項時，選對一個的得3分；有選錯的得0分）（多選）9．（6分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣3，2），＝（1，1），則（）A．∥ B．（+）⊥ C．+＝ D．＝5+3【分析】由題意利用兩個向量坐標形式的運算，兩個向量平行、垂直的性質，得出結論．【解答】解：∵向量＝（2，﹣1），＝（﹣3，2），＝（1，1），∴≠，∵不平行，故排除A；∵（+）?＝（﹣1，1）?（1，1）＝﹣1+1＝0，故（+）⊥，故B正確；∵+＝（﹣1，1），故C不正確；∵5+3＝（1，1），故D正確，故選：BD．【點評】本題主要考查兩個向量坐標形式的運算，兩個向量平行、垂直的性質，屬于基礎題．（多選）10．（6分）下列各式化簡正確的是（）A．cos80°cos20°+sin80°sin20°＝cos60° B．cos75°＝cos45°cos30°+sin45°sin30° C． D．sin（α+45°）sinα+cos（α+45°）cosα＝sin45°【分析】由兩角和與差的三角函數，結合誘導公式求解．【解答】解：對于選項A，cos80°cos20°+sin80°sin20°＝cos（80°﹣20°）＝cos60°，即選項A正確；對于選項B，cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°，即選項B錯誤；對于選項C，＝，即選項C正確；對于選項D，sin（α+45°）sinα+cos（α+45°）cosα＝cos（[α+45°）﹣α]＝cos45°＝sin45°，即選項D正確．故選：ACD．【點評】本題考查了兩角和與差的三角函數，重點考查了誘導公式，屬基礎題．（多選）11．（6分）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）A．若sinB＞sinC，則B＞C B．若，則三角形有一解 C．若bcosB﹣ccosC＝0，則△ABC一定為等腰直角三角形 D．若△ABC面積為，則【分析】運用正弦定理結合條件逐項計算求解可判斷即可．【解答】解：A中，由正弦定理得，因為sinB＞sinC，所以b＞c，則B＞C，故A正確；B中，因為，，由正弦定理得，則，因為a＞b，所以A＞B，則，所以有一解，故B正確；C中，因為bcosB﹣ccosC＝0，所以sinBcosB﹣sinCcosC＝0，即sin2B＝sin2C，所以2B＝2C或2B+2C＝π，即B＝C或，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；D中因為△ABC面積為，所以，即sinC＝cosC，因為C∈（0，π），所以．故D正確．故選：ABD．【點評】本題考查正弦定理，余弦定理的應用，屬中檔題．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．（5分）已知i為虛數單位，則（2﹣i）2＝3﹣4i．【分析】直接利用復數代數形式的乘法運算化簡得答案．【解答】解：（2﹣i）2＝22﹣4i+i2＝4﹣4i﹣1＝3﹣4i．故答案為：3﹣4i．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，是基礎題．13．（5分）設＝（x，3），＝（2，﹣1），若與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是{x|x且x≠﹣6}．【分析】根據的夾角為鈍角即可得出，且不平行，從而得出，解出x的范圍即可．【解答】解：∵的夾角為鈍角，∴，且不平行，∴，解得，且x≠﹣6，∴x的取值范圍是．故答案為：．【點評】考查向量數量積的坐標運算，平行向量的坐標關系，以及向量數量積的計算公式．14．（5分）若關于x的不等式|asin2x+bsinx+c|≤1（a＞0）的解集為[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，則a的取值范圍是（0，8]．【分析】令t＝sinx，將問題轉化為關于t的不等式﹣1≤at2+bt+c≤1（a＞0）的解集為[0，1]，結合二次函數的性質，即可求出結果．【解答】解：令t＝sinx，若關于x的不等式|asin2x+bsinx+c|≤1（a＞0）的解集為[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，等價于若關于t的不等式|at2+bt+c|≤1（a＞0）的解集為[0，1]，即關于t的不等式﹣1≤at2+bt+c≤1（a＞0）的解集為[0，1]，若a＞0，可知函數y＝at2+bt+c的對稱軸為t＝，開口向上，∴函數y＝|at2+bt+c|圖象如圖所示，當t＝0時，c＝1，當t＝1時，a+b+c＝1，∴b＝﹣a，最小值為t＝時，，∴，解得0＜a≤8，即a∈（0，8]．故答案為：（0，8]．【點評】本題考查含絕對值不等式、一元二次不式的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟），15．（13分）已知平面向量＝（1，x），＝（2x+3，﹣x），x∈R．（1）若⊥，求x的值；（2）若∥，求|﹣|的值．【分析】（1）由⊥，?＝0，我們易構造一個關于x的方程，解方程即可求出滿足條件的x的值．（2）若∥，根據兩個向量平行，坐標交叉相乘差為零，構造一個關于x的方程，解方程求出x的值后，分類討論后，即可得到|﹣|．【解答】解：（1）∵⊥，∴?＝（1，x）?（2x+3，﹣x）＝2x+3﹣x2＝0整理得：x2﹣2x﹣3＝0解得：x＝﹣1，或x＝3（2）∵∥∴1×（﹣x）﹣x（2x+3）＝0即x（2x+4）＝0解得x＝﹣2，或x＝0當x＝﹣2時，＝（1，﹣2），＝（﹣1，2）﹣＝（2，﹣4）∴|﹣|＝2當x＝0時，＝（1，0），＝（3，0）﹣＝（﹣2，0）∴|﹣|＝2故|﹣|的值為2或2．【點評】本題考查的知識是數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，向量的模，平行向量與共線向量，其中根據“兩個向量平行，坐標交叉相乘差為零，兩個向量若垂直，對應相乘和為零”構造方程是解答本題的關鍵．16．（15分）已知復數z和它的共軛復數滿足2z+＝3+2i．（1）求z；（2）若z是關于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個根，求復數的模．【分析】（1）根據已知條件，結合共軛復數的定義，以及復數相等的條件，即可求解．（2）根據已知條件，結合韋達定理，求出p，q，再結合復數的四則運算，即可求解．【解答】解：（1）設z＝a+bi（a，b∈R），則，＝2（a+bi）+（a﹣bi）＝3a+bi＝3+2i，所以，解得a＝1，b＝2，故z＝1+2i．（2）∵z是關于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個根，∴是關于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的另一個根，∴，解得p＝﹣2，q＝5，∴||＝||＝∴復數的模為．【點評】本題主要考查復數的四則運算，以及復數相等的條件，屬于基礎題．17．（15分）平行四邊形ABCD中；AB＝2，AD＝1，∠BAD＝120°，求：（1）的值；（2）cos∠BAC【分析】（1）由平面向量的線性運算和數量積運算計算即可；（2）由平面向量夾角的計算公式計算即可．【解答】解：（1）由題可得：＝，所以＝＝4﹣1＝3；（2）因為，所以＝，所以．【點評】本題考查平面向量的數量積與夾角運算，屬于基礎題．18．（17分）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若b＝2，求△ABC的面積的最大值．【分析】（1）運用正弦定理和兩角和差的正弦公式，結合正弦函數的特殊值可得所求角；（2）運用余弦定理和基本不等式可得ac的最大值，再由三角形的面積公式可得所求值．【解答】解：（1）因為，所以由正弦定理可得，即，……（2分）所以，又sinC≠0，所以，即，又B∈（0，π），所以．……（6分）（2）在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB，即22＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，……（8分）所以ac≤4，當且僅當a＝c＝2時取等號，……（9分）所以，故△ABC的面積的最大值為．……（12分）【點評】本題考查三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式的運用，考查基本不等式的運用和化簡整理的運算能力，屬于中檔題．19．（17分）已知向量＝（cos，sin），＝（cos，﹣sin），函數f（x）＝