第第頁重難點專題15空間中的五種距離問題【題型歸納目錄】題型一：點線距題型二：異面直線的距離題型三：點面距題型四：線面距題型五：面面距【方法技巧與總結】空間中的距離求點到面的距離轉化為三棱錐等體積法求解．【典型例題】題型一：點線距【典例1-1】（2024·高一·山西呂梁·階段練習）已知四面體的所有棱長均為10，點在直線上，則到的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將四面體補成正方體，連接交于點，連接交于點，連接，如圖，則，分別為，的中點，因為且，故四邊形為平行四邊形，則且，又因為，分別為，的中點，所以且，故四邊形為平行四邊形，故且，因為平面，平面，所以，即，同理可得，故到的距離最小值為.故選：C.【典例1-2】（廣東省東莞市東莞一中、東莞高級中學2023-2024學年高一學期第二次質量檢測數學試題）設所在的平面，，PB、PC分別與成45°和30°角，，點P到BC的距離是_________________．【答案】【解析】如圖所示：根據題意可知，又，所以；；又，所以；作于，由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以即為點P到BC的距離；易知，由勾股定理可得.即點P到BC的距離.故答案為：【變式1-1】（2024·高二·四川成都·期中）已知正四棱錐的所有棱長均為為的中點，則線段上的動點到直線的距離的最小值為．【答案】/0.5【解析】因為為等邊三角形，為的中點，所以，由已知，，，所以，所以，所以為異面直線，的公垂線段，所以的長為動點M到直線BE的距離最小值，所以動點M到直線BE的距離最小值為.故答案為：.題型二：異面直線的距離【典例2-1】（2024·高一·山東青島·期末）如圖，正方體的棱長為1，設直線與分別交于點，且，則線段的長為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】因為直線與分別交于點，且，則線段的長即為異面直線的距離，連接，，由條件可知，又因為平面，平面，所以平面，所以異面直線的距離，即為直線到平面的距離，由平面可知，直線到平面的距離等于到平面的距離，設到平面的距離為，由題意可知平面，所以到平面的距離為的長，由得，，由正方體的棱長為1，可知，，所以，，所以，所以，所以線段的長為.故選：B.【典例2-2】（2024·高二·上海黃浦·期中）已知正方體的棱長為1，則異面直線與之間的距離是.【答案】【解析】在正方體中，平面，所以直線與的距離即為點到的距離，又因為正方形的對角線為，且，所以點到的距離為，即異面直線與之間的距離是.故答案為：．【變式2-1】（2024·高二·上海普陀·階段練習）在四面體中，若，則異面直線與的距離為．【答案】【解析】如圖所示：分別取AB，CD的中點E，F，連接CE，DE，AF，BF，EF，因為，所以，又因為E為中點，所以，同理，所以EF為異面直線AB和CD的公垂線，所以，故答案為：【變式2-2】（2024·高二·遼寧·階段練習）如圖所示在三棱錐中，側面底面，底面是邊長為1的正三角形，側面中，，且為棱中點，則直線上任意一點與上任意一點距離的最小值為．

【答案】/【解析】若是中點，為棱中點，底面是正三角形，連接，所以，故，由，則，而側面底面，側面，側面底面，故面，又面，則，，面，所以面，面，則，過作于，則，又，所以是異面直線、的公垂線，故直線上任意一點與上任意一點距離的最小值為長度，又是邊長為1，則，故.故答案為：題型三：點面距【典例3-1】（2024·高三·寧夏石嘴山·階段練習）如圖，在長方體中，，和交于點E，F為AB的中點．(1)求證：平面；(2)已知與平面所成角為，求點A到平面CEF的距離．【解析】（1）連接，在長方體中，，故四邊形為平行四邊形，則E為的中點，又F為AB的中點，故，而平面,平面，故平面；（2）在長方體中，，則四邊形ABCD為正方形，則，又平面，則為與平面所成角，即，故，連接，設相交于點，所以點為中點，因為，，可得底面，連接，，所以，，，，，，在中，由余弦定理得，因為，所以，所以，，設點A到平面CEF的距離為，因為，所以，解得，所以點A到平面CEF的距離為.【典例3-2】（2024·全國·模擬預測）如圖1，已知直角梯形中，，，，M為CF的中點，將沿DM折起到的位置，使平面平面，N，Q，H，P分別為AF，DM，DE，AE的中點，如圖2所示．(1)求證：平面平面；(2)求點D到平面的距離．【解析】（1）Q，H分別是DM，DE的中點，，平面，平面，平面．如圖，連接PN，N，P分別是AF，AE的中點，，．易知，，∵Q是DM的中點，，，，，四邊形QMNP為平行四邊形，．不在平面，平面，平面．，平面PQH，平面平面PQH．（2）如圖，取ME的中點O，連接OQ，OH，PO，PD，易知四邊形DEFM是邊長為2的正方形，，平面平面DEFM，平面平面，平面DEFM，P是AE的中點，，，平面DEFM．Q，H分別為DM，DE的中點，，，．在中，，在中，，是邊長為的正三角形，，．設點D到平面PQH的距離為d，，，，點D到平面PQH的距離為．【變式3-1】（2024·高三·山東·階段練習）如圖，在正三棱錐中，，E，F分別是中點，M是上一點，且滿足．(1)證明：平面；(2)求點D到平面的距離．【解析】（1）連接交于，連接，由E，F分別是中點，所以為的重心，則，又，所以在中有，面，面，所以平面；（2）由題設，易知，由正三棱錐中，故為等邊三角形，且，所以，即，同理，所以，中，故，即，故，若點D到平面的距離為，則.題型四：線面距【典例4-1】（2024·高二·上海閔行·階段練習）如圖，在邊長為的正方體中，為底面正方形的中心.(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面之間的距離.【解析】（1）連接交于點，連接，，，四邊形為平行四邊形，，，四邊形，為平行四邊形，分別為中點，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面.（2）由（1）知：平面，則直線與平面之間的距離即為點到平面的距離，，為邊長為的等邊三角形，；又，，設點到平面的距離為，則，解得：，直線與平面之間的距離為.【典例4-2】（2024·高二·北京豐臺·期中）如圖，已知直三棱柱，，，，點為的中點.(1)證明：平面；(2)求直線與平面的距離.【解析】（1）連結交于，連接，因為在直三棱柱中，側面是平行四邊形，所以是的中點，又因為為的中點，所以，又因為平面，平面，故平面；（2）由（1）知平面，所以直線與平面的距離等價于點到平面的距離，不妨設為，因為，，所以，，則，又因為為的中點，所以，因為在直三棱柱中，面，故，所以在中，，，在中，，所以在中，，則，故，所以由得，即，解得，所以直線與平面的距離為.【變式4-1】（2024·高一·全國·課后作業）如圖，在長方體中，，，．(1)求點和點C的距離；(2)求點到棱BC的距離；(3)棱和平面ABCD的距離．【解析】（1）如圖，連接、AC，∵平面ABCD，而平面ABCD，∴，由勾股定理，得；（2）如圖，連接，∵平面，而平面，∴．∴就是點到棱BC的距離，．∴點到棱BC的距離是5cm；（3）顯然棱平面ABCD，平面ABCD，∴就是棱和平面ABCD的距離，∵，∴棱和平面ABCD的距離是3cm．題型五：面面距【典例5-1】（2024·高二·江西宜春·期中）如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：(1)平面ADD1A1與平面BCC1B1的距離.(2)點D1到直線AC的距離.(3)直線AB與面A1DCB1的距離.【解析】（1）因為平面ADD1A1與平面BCC1B1平行，故平面ADD1A1與平面BCC1B1的距離即（2）連接，由題意，，，.因為為等腰三角形，故，設點D1到直線AC的距離為，則，解得，即點D1到直線AC的距離為（3）連接，交于，因為長方體中，故正方形，故，且平面，又平面，故，又，故平面，故直線AB與面A1DCB1的距離為.【典例5-2】（2024·高二·江西宜春·階段練習）如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AA1與CC1的中點.(1)證明：平面EB1D1平面FBD；(2)求平面EB1D1與平面FBD之間的距離.【解析】（1）若為中點，連接，又F是CC1的中點，所以，，故為平行四邊形，所以，又E是AA1的中點，易知：，所以，正方體中，而，面，由面，則面，同理面，又，面，故平面EB1D1平面FBD；（2）由（1）知：平面EB1D1與平面FBD之間的距離等于到面的距離，而，而，，故△中BD的高為，所以，而，到面的距離，所以，可得，故平面EB1D1與平面FBD之間的距離為.【變式5-1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）如圖所示的斜三棱柱中，是正方形，且點在平面上的射影恰是AB的中點H，M是的中點．(1)判斷HM與面的關系，并證明你的結論；(2)若，，求斜三棱柱兩底面間的距離．【解析】（1）直線HM與平面平行．證明如下：取的中點N．連接NM，AN．因為點M是的中點，所以，且．又是正方形，點H是AB的中點，所以，．所以，．所以四邊形ANMH為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面．（2）因為點在平面上的射影是AB的中點H，所以平面．連接，，則，．由正方形的邊AB=2，得，所以，所以的面積為．設斜三棱柱兩底面間的距離為d，即H到平面的距離為d，由得，解得，即斜三棱柱兩底面間的距離為．【過關測試】1．（2024·高三·內蒙古赤峰·期中）如圖1，在平面四邊形中，．將沿折疊至處．使平面平面（如圖2），分別為的中點．(1)求證：平面平面；(2)求點到平面的距離．【解析】（1）由題意，所以是等邊三角形，所以，從而，即，又因為為的中點，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因為分別為的中點，所以，，由（1）可知平面，所以平面，即平面，是三棱錐的高，又分別為的中點，所以，所以，因為，，所以，又因為為的中點，所以，所以，因為平面，平面，所以，所以，又因為為的中點，，所以，所以，所以，從而，設點到平面的距離為，則由，可得，解得，即點到平面的距離為.2．（2024·高二·新疆巴音郭楞·期中）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分別是BC，，的中點.(1)證明：平面平面；(2)求點C到平面的距離．【解析】（1）分別連接，在菱形中，，則，又因為，所以為正三角形，所以，因為為中點，所以，∵棱柱為直棱柱，平面平面，且平面平面，DE在面ABCD內，所以有平面，，分別為，中點，為的中位線，且．又為中點，且，且，，四邊形為平行四邊形，，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，因為平面，，因為，，，底面為菱形，為中點，所以，，所以，設點C到平面的距離為，根據題意有，則有，解得，所以點C到平面的距離為.3．（2024·高二·上海靜安·期末）如圖，正四棱柱的底面邊長為1，異面直線AD與BC1所成角的大小為60°，求A1B1到底面ABCD的距離.

【解析】因為，所以為異面直線AD與所成的角，所以，因為正四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD，所以線段的長為線段到底面ABCD的距離，因為在中，，，所以，所以線段到底面ABCD的距離為．4．（2024·全國·模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線到平面的距離.【解析】（1）如下圖，取的中點，連接、.又為的中點，則是的中位線，所以且.又且，所以且.所以四邊形是平行四邊形，所以.因為，為的中點，所以.因為，，所以.因為平面，平面，所以.又，所以平面.平面，所以.又，所以平面.又，所以平面；（2）因為，平面，平面，所以平面.所以直線到平面的距離等于點到平面的距離.由（1）得平面，則等于點到平面的距離.因為，所以.故點到平面的距離為，即直線到平面的距離為.5．（2024·河北衡水·一模）如圖，直角梯形與梯形全等，其中，，且平面，點是的中點．

（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面的距離．【解析】（1）∵，，是的中點，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面，∵直角梯形與梯形全等，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，