2022-2023學年青海省西寧市大通縣高二（下）期末數學試卷（文

科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設z=2-3i,則在復平面內W對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.下列有關樣本線性相關系數r的說法，錯誤的是（）

A.相關系數r可用來衡量x與y之間的線性相關程度

B.|r|<1,且|川越接近0,相關程度越小

C.|r|<1,且|r|越接近1,相關程度越大

D.|r|<1,且|r|越接近1,相關程度越小

3.下列框圖中，可作為流程圖的是（）

A.整數指數幕一有理數指數塞7無理數指數幕

B.入庫一找書T閱覽T借書7出庫7還書

C.隨機事件一頻率一概率

D.推理一圖象與性質一定義

4.在極坐標系中，過極點且傾斜角是的直線的極坐標方程可以是（）

A.e=（p€R）B.0=^p>0）c.e=Y（peR）D.8=Y（p>0）

5.大前提：因為所有邊長都相等的凸多邊形是正多邊形，小前提：菱形是所有邊長都相等

的凸多邊形，結論：菱形是正多邊形，則該推理過程（）

A.正確B.因大前提錯誤導致結論錯誤

C.因小前提錯誤導致結論錯誤D.因推理形式錯誤導致結論錯誤

6.在直角坐標系中，曲線C的參數方程為I：/*。（其中a為參數），則曲線C的普通方

（y—sinet

程為（）

A.5+y2=1B.5=1C.3+y2=1D.%2+9=1

2/2474

7.已知a=+710,b=+2，則a,b的大小關系是（）

A.a>bB.a=bC.a<bD.無法確定

8.若復數z滿足（3+i）z=|3—4i|（i為虛數單位），貝丘的虛部為（）

A.-|iB.C-

9.觀察下列各式：a+b=l,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+Z?5=11,.....

則+b9=()

A.28B.76C.123D.199

10.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的7的值為（）

A.1B.C.|D.2

11.已知2i-3是關于x的方程2/+px+q=o（p,qeR）的一個根，貝！Ip+q=（）

A.-38B.-14C.14D.38

12.三位同學獲得本年度數學競賽前三名，老師告知他們如下信息：①甲是第三名；②乙

不是第一名；③丙不是第三名，并告知他們以上3條信息有且只有1條是正確信息，則該三位

同學的數學競賽成績從高到低的排序為（）

A.甲、乙、丙B.丙、乙、甲C.乙、丙、甲D.乙、甲、丙

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.第31屆世界大學生運動會將于2023年7月28日至8月8日在成都舉行，組委會安排100名

志愿者擔任對外翻譯工作，在下面“性別與會法語”的2x2列聯表中，a+b+d=.

會法語不會法語總計

男ab40

女12d

總計36100

14.已知直角坐標系X。y,在以坐標原點為極點，1軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的極

坐標方程為p=y/~~2sin0+cos。，則圓心C的直角坐標為.

_|4%o+Byo+C|

15.在平面直角坐標系中，點（%。①）到直線"％+"+C=。的距離”=，類比

］片+片

可得在空間直角坐標系中，點（1,一2,2）到平面2%-2y—z+2=0的距離為.

16.在平面直角坐標系xOy中，直線｛；二;爪―，（t為參數）與圓］；二］；；。。5。2為參數）相

切，切點在第二象限，則實數小的值為.

三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

已知i是虛數單位，2］=注.

⑴求㈤;

（2）若復數Z2的虛部為-1,且Z1Z2是純虛數，求Z2.

18.（本小題12.0分）

已知a,b,c>0,工成等差數列且公差不為零，求證：a,b,c不可能成等差數列.

19.（本小題12.0分）

為進一步保護環境，加強治理空氣污染，某市環保監測部門對市區空氣質量進行調研，隨機

抽查了市區300天的空氣質量等級與當天空氣中SO2的濃度（單位：〃9/巾3）,整理數據得到下

表：

SC>2的濃度

[0,50](50,150](150,475]

空氣質量等級

1（優）84186

2(良)152124

3（輕度污染）92427

4（中度污染）33633

若某天的空氣質量等級為1或2,則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或4,

則稱這天“空氣質量不好”.

（1）完成下面的2x2列聯表:

SO2的濃度

[0,150](150,475]合計

空氣質量

空氣質量好

空氣質量不好

合計

（2）根據（1）中的列聯表，判斷是否有99.9%的把握認為該市一天的空氣質量與當天SO?的濃度

有關?

2

附.O-Mad-bc).

?(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>ko)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

20.（本小題12.0分）

在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為匕為參數），以。為極點，x軸的正半

軸為極軸建立極坐標系，直線［的極坐標方程為ps譏（8+勺+m=0.

（1）求C的普通方程和/的直角坐標方程；

（2）若/與C有公共點，求實數小的取值范圍.

21.（本小題12.0分）

華容道是古老的中國民間益智游戲，以其變化多端、百玩不厭的特點與魔方、獨立鉆石一起

被國外智力專家并稱為“智力游戲界的三個不可思議”.華容道游戲是通過移動各個棋子，幫

助曹操從初始位置移到棋盤最下方中部，從出口逃走，不允許跨越棋子，還要設法用最少的

步數把曹操移到出口.小華準備參加市里的華容道橫刀立馬項目大賽.賽前小華進行了15天的

訓練，經統計得30分鐘的通關關數y（道）與訓練天數雙天）有如下數據：

久（天）3691215

y（道）618291104112

通過分析發現30分鐘的通關關數y（道）與訓練天數雙天）線性相關.

（1）求x與y的樣本相關系數（結果四舍五入到0Q01）；

（2）①求30分鐘的通關關數關于訓練天數的經驗回歸方程y=6%+0（的結果四舍五入到

0.01）；

②若小華準備按照這種方式繼續訓練15天，然后直接參加華容道橫刀立馬項目大賽，請估計

小華結束訓練時在30分鐘內能通關多少道（結果四舍五入到個位）？

￡仁1XiVi-nx-y入入

參考公式：樣本相關系數廠=/|—.2,回歸直線方程y=+a中，b=

[^=1xf-nx-J^t=1yf-ny）

港1%必一"%，.-A_

2%媛fV，a=y-bx-

參考數據：￡'=*=495,￡區1光=42086,￡乙勺%=4422,￡巳蜻=495,辭點才=

42086,用=1々％=4422,V15860~126.

22.（本小題12.0分）

IX=-T-t

在平面直角坐標系久Oy中，直線/的參數方程為《，（t為參數）.以原點為極點，》軸正

3=2+丁t

半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p2cos2。+4p2sin2^=4.

（1）求直線1的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）設P（0,?,直線，與曲線C交于M,N兩點，求而加+麗的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：z=2-3i,

Z=2+3i>

在復平面內2對應的點為(2,3),在第一象限.

故選：A.

求出z的共物復數，根據復數的幾何意義求出復數所對應點的坐標即可.

本題考查共輾復數的代數表示及其幾何意義，屬基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：相關系數是來衡量兩個變量之間的線性相關程度的，線性相關系數是一個絕對值小

于等于1的量，并且它的絕對值越大就說明相關程度越大，所以不正確的只有D.

故選：D.

根據相關系數的定義，即可判斷選項.

本題主要考查相關系數的定義，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：對于4整數指數基7有理數指數基一無理數指數累，是知識結構圖，不是流程圖;

對于B,是圖書館借閱圖書的一個工作過程的具體步驟，是流程圖；

對于C,隨機事件一頻率一概率，是知識結構圖，不是流程圖；

對于D,推理—圖象與性質一定義，不屬于流程圖.

故選：B.

流程圖是用來直觀地描述一個工作過程的具體步驟圖，它使用圖形表示流程思路，由此判斷即可.

本題考查了流程圖的判斷問題，是基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：過極點且傾斜角是亨的直線，整理得普通方程為y=C無，進一步轉換為極坐標方

程為：8=W（peR）.

故選：A.

直接利用轉換關系，把直角坐標方程轉換為極坐標方程.

本題考查的知識要點：直角坐標方程和極坐標方程之間的轉換，主要考查學生的理解能力和計算

能力，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：所有邊長都相等，且內角也都相等的凸多邊形是正多邊形，

因為推理的大前提是錯誤的，所以推出結論是錯誤的.

故選：B.

演繹推理中，大前提正確，小前提也正確，得出的結論也正確，否則不能得出正確的結論.

本題考查了演繹推理的應用問題，是基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：曲線C的參數方程為1二（其中a為參數），轉換為普通方程為9+y2=i.

故選：C.

直接利用轉換關系，在參數方程和普通方程之間進行轉換.

本題考查的知識要點：參數方程和普通方程之間的轉換，主要考查學生的理解能力和計算能力，

屬于基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：因為60>48,

即16+2\/-60>16+通

所以（A+CUT>（2AT3+2）2,

所以C+CU>2q+2,

所以a>b.

故選：A.

由己知結合不等式的性質即可比較大小.

本題主要考查了不等式的大小比較，屬于基礎題.

8.【答案】D

【解析】解：(3+i)z=|3-4i|(i為虛數單位),

則z=—=5(3T)=三_工

人」3+i(3+t)(3-t)22l,

所以Z=|+

故復數5的虛部為今

故選：D.

根據已知條件，結合共軌復數的定義，求出z,再結合虛部的定義，即可求解.

本題主要考查共物復數的定義，以及復數的四則運算，屬于基礎題.

9.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查歸納推理的思想方法，注意觀察所給等式的左右兩邊的特點，這是解題的關鍵，屬于基

礎題.

根據給出的幾個等式，不難發現，從第三項起，等式右邊的常數分別為其前兩項等式右邊的常數

的和，再寫出四個等式即得.

【解答】

解：由于a+b=1,

M+廿=3,

a3+b3=4,

a4+h4=7,

a5+h5=11,

通過觀察發現，從第三項起，等式右邊的常數分別為其前兩項等式右邊的常數的和.

因此：a6+=11+7=18,=18+11=29,a8+Z?8=29+18=47,a9+fa9=47+

29=76.

故選艮

10.【答案】C

【解析】解：模擬執行如圖所示的程序框圖，如下:

k=1,S=0fT=0,

S=S<T=1,k=2；

4

S=3,S<6,T=§,k=3；

S=6,S<6,T=4X1=3［；

3OZ

S=10,S>6,輸出T=|.

故選：C.

模擬執行程序框圖的運行過程，即可得出程序運行后輸出7的值.

本題考查了程序框圖的運行問題，是基礎題.

11.【答案】D

【解析】解：2i-3是關于久的方程2/+「％+q=0(p,qER)的一個根,

則一3-2i也是關于光的方程2/+p*+q=o(p,qeR)的一個根，

f-3+2i+(-3)-2i=-2

2

故Iq解得p=12,q—26,

(-3+2i)(-3-2t)*

故p+q=38.

故選：D.

根據已知條件，推得一3-2他是關于x的方程2/+px+q=0(p,q€R)的一個根，再結合韋達

定理，即可求解.

本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題.

12.【答案】A

【解析】解：如果①正確，那么②③都不正確，所以甲第三名，乙第一名，丙第三名，這種情況

下甲丙都是第三名，很顯然不成立；

如果②正確，那么①③不正確，所以甲不是第三名，乙不是第一名，丙第三名，則甲是第一名，

乙是第二名，丙是第三名；

如果③正確，那么①②不正確，所以甲不是第三名，乙第一名，丙不是第三名，這種情況下沒有

人是第三名，很顯然不成立.

所以甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名.

故選：X.

利用反證法，邏輯推理處矛盾.

本題主要考查簡單邏輯和合情推理，屬于中檔題.

13.【答案】88

【解析】解：因為志愿者的總人數為100,

所以a+b+12+d=100,

解得a+b+d=88.

故答案為：88.

由題意，根據志愿者的總人數為100,結合表中數據，列出等式即可求解.

本題考查獨立性檢驗的應用，考查了邏輯推理和運算能力.

14.【答案】或常

【解析】解：曲線C的極坐標方程為p=>J~~2sinO+cos。，p=y/~~2sin0+cosO-p2=>J_2psin9+

pcosd,

x=pcosd

y=psinO,整理得％2+y2=2y+x,即(％—I)2+(y-^)2=

{x2+y2=p2224

所以圓心C的直角坐標為G，殍).

直接利用轉換關系，把極坐標方程轉換為直角坐標方程，進一步求出結果.

本題考查的知識要點：極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，主要考查學生的理解能力和計算

能力，屬于基礎題.

15.【答案】2

M%o+Byo+C|

【解析】解：根據題意，類比平面中點(&,%)到直線4久+By+C=0的距離a=——1?

、/屋7+3’7

_\AxQ+By+Cz+D\

分析可得，在空間中，點(%o，yo，z°)到平面4%+By+Cz+。=。的距離"二0二0，

|2xl2x(2)2+2|_2

故點(1,一2,2)到平面2%-2y-z+2=0的距離4=

I22+(-2)2+(-1)2

故答案為：2.

根據題意，類比平面中點到直線的距離公式，分析可得在空間中點到平面的距離公式，進而計算

可得答案.

本題考查類比推理的應用，注意類比得到點到平面的距離公式，屬于基礎題.

16.【答案】1-/2

【解析】解：直線為參數)，轉化為普通方程為x+y+M=O,

圓q_cose,(。為參數)化為普通方程為。+1產+必=1,

(y—siii(7

所以圓的圓心坐標為(-1,0),半徑長為1,

-

則|宮?11=1,解得7n=y[~2+1或m=1—V2?

由于切點在第二象限，則直線久+y+a=O的縱截距大于0,即一小>0,

所以771<0,

所以Hl=1—V-2.

故答案為：1—

直接利用轉換關系，在參數方程和直角坐標方程之間進行轉換，進一步利用點到直線的距離公式

求出結果.

本題考查的知識要點：參數方程和直角坐標方程之間的轉換，點到直線的距離公式的應用，主要

考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(l)zi=含=器L=竽=1+2i,

所以=7以+22=

(2)復數z2的虛部為—1,可設z?=m—i(jnGR),

由(1)可知,Zi=1+21,

則2逐2=(1+2i)(m—i)=(m+2)+(2m—l)i,

因為Z1Z2是純虛數，所以爪+2=0且2爪一1力0,解得zn=—2,

所以Z2=-2—i.

【解析】(1)根據已知條件，結合復數的四則運算，以及復數模公式，即可求解;

(2)先設出Z2,再結合純虛數、虛部的定義，即可求解.

本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題.

18.【答案】證明：假設a,b,c成等差數列，貝|26=a+c,

又工，工成等差數列，且公差不為零，

aabcc

所以：=工+工=吧=±,且a,b,c互不相等，

bacaca+c

所以(a+c)2—4ac=0,§P(a—c)2=0,

所以a=c,

這與a,b,c互不相等矛盾，所以假設不成立，原命題成立.

【解析】由己知結合等差數列的定義即可證明.

本題主要考查了等差數列的判斷，還考查了反證法的應用，屬于基礎題.

19.【答案】解：(1)根據題目所給數據得到如下2x2的列聯表:

SO2的濃度

[0,150](150,475]合計

空氣質量

空氣質量好13830168

空氣質量不好7260132

合計21090300

2=300(138X60-72X30)2,

')210x90x168x132

因為26.8>10.828,

所以有99.9%的把握認為該市一天的空氣質量與當天SO?的濃度有關.

【解析】(1)根據題目所給的數據填寫2x2列聯表即可；

(2)計算K2,對照題目中的表格，得出統計結論.

本題主要考查了獨立性檢驗的應用，考查了學生的計算能力，屬于中檔題.

(t為參數),

22

???sin2t+cos2t=1,即^^2_+^2_=1，即(x—2)2+(y-3)2=9,

直線/的極坐標方程為ps出(8+勺+m=0.

貝^^psinO+?pcosO+TH=0，

pcosd=%,psind=y,

?,?％+y+V-2m=0;

(2)若/與C有公共點，則直線/與圓C相切或相交，

直線八x+y+yT~2m=0,圓C：(x-2)2+(y—3)2=9,圓心(2,3),r=3,

圓心(2,3)到直線[的距離為"+3斤加＜3，

V2

即(5+。1)2V

2-

即27n2+ioV77n+740,解得me—3,-乎+3].

(一%-2

Icost=—T—

【解析】(1)根據題意，｛,3?口結合siMt+cos2t=1,消去參數，即可求出C的普通方程，

根據pcosB=x,psinO=y,即可求出/的直角坐標方程；

(2)若/與C有公共點，則直線I與圓C相切或相交，則圓心(2,3)到直線/的距離為邑卑?皿33,求

V2

解即可.

本題考查極坐標方程，參數方程，普通方程的互化，直線與圓的位置關系，屬于中檔題.

3+6+9+12+15門-61+82+91+104+112

乙，?4口木/川十：/八一5——5—yuf

￡區1卬.一5%少4422-5x9x90372372ccc”

=―,?—?0.984

所以「一I52-2-2

152-1------1---------23V15860378；

J球_*-5久-Jy?iy?-5