2022年山東省濟寧市成考專升本高等數學

二自考真題(含答案)

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

1.函數y=f(x)在點x=xo處左右極限都存在并且相等，是它在該點有極

限的

A.A.必要條件B.充分條件C.充要條件D.無關條件

設/^)=吧，則。/(x)dx|'=

2.x()。

COSX

X

A.

sinx

B.x

—+C

C.X

sinx_

-----+C

D.x

3對函數/(x,y>=>]x2+y2.原點(0.0)

A.A.是駐點，但不是極值點B.是駐點且是極值點C.不是駐點，但是極

大值點D.不是駐點，但是極小值點

A.0B.1/2C.1D,2

5.

設fCr)的一個原函數為工岳(H+1).則下列等式成立的是()

A.|'/(jr)<Lr=j'ln(x+1)+C

B.|/(jJdr-Cjrln(x+1)]/H-C

C.|.rln(,r+1)dx=/(x)+C'

D.|Drln(±3D]'d.r=f(.r)+C

設離散型隨機變量6的分布列為一------?--------------——-

P0.3aQ|0.4

6.則”

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

7.以下結論正確的是().

A.函數f(x)的導數不存在的點，一定不是f(x)的極值點

B.若x0為函數f(x)的駐點，則x0必為？(x)的極值點

C.若函數f(x)在點x0處有極值，且f'(x0)存在，則必有f'(x0)=0

D.若函數f(x)在點xO處連續，貝！If'(x0)一定存在

當XT1時，下列變量中不是無窮小量的是

A.x2-1B.sin(x2-l)C.InxD.ei-1

已知函數/(x)在x=2處可導，.1而/(2+處).(2)=:,則/，(2)=

9.57Ar2

()0

A.-1/4B.-1/2C.l/4D.1/2

10.

X-,,xy)=?+y2,則咚W+.(丁!)等于().

,dxdy

二t-|)B.2(x+!)C,2(y-l)D.2(y+l)

11.設f(x)=xa+axln?,(a>0且a^l),則f'(l)=

A.A.a(l+lna)B.a(l-lna)C.alnaD.a+(l+a)

12.

下列極限存在的是

limn「|(X+1)

JC

D.limln(l+x2)

x-?oo

13.

設/'（X）在點八的鄰城內存在，旦/（丸）為極大值，則lim"&+22一八,‘）等于

A.-2

B.0

C.1

D.2

設/。）=/*/+皿（且的常數），則尸⑴=

141a>0a=l

A?A.“(】+IM

Ba(l-lnfl)

C.alna

1

a+—

D.a

15.稱e-x是無窮小量是指在下列哪一過程中它是無窮小量［］

A.x-0B.x—ooC.x—+ooD.x—oo

16.

設函數/(x)在區間上,瓦I上連續，則下列結論不正確的是

AJ/(x)dx是/(x)的一個原函數

B.『“力也是“工)的一個原函數(aV工V6)

C.⑴市是一/(X)的一個原函數(a<x<b)

D./(x)在［a,可上是可積的

17.當XTO時，若sin?x與X”是等價無窮小量，則上=()。

A.l/2B.lC.2D.3

18.

函數/(*)=|2x-l|在點x=g?處的導數是().

A-0B.；C.2D.不存在

19.

過曲線y=x+lru上M。點的切線平行直線y=2x+3,則切點M。的坐標是

()0

A.。，D

B.（e，e）

r（1,e+1）

D（e，c+2）

設函數函數在工=1處可導，且lim'】+"〃D=L則f'（D=/.

A.1,2

B.1/4

C.-1/4

20.D.-1^2

設fg2）（j0=e2?a,則/?（X）|z=

A.4eB.2cC.cD.1

21.

”函數，y=xe-單調減少區間是小

乙乙.\）O

A.（-<?，0）

°（°，1）

C.（l，e）

D.（e，+0°）

23.設/（x）；*1：=則］/（x）d*等于（）.

COSX

A.?

sinx

BIT

-sinx-

D/^+c

24.

下列函數為同一函數的是

A./(x)=lnx2,g(x)=21nx

B.f(X)=x,g(x)=(/r)2

C./(x)=x,g(x)=x(sec2x-tan2x)

D./(x)=|x|,g(x)=

已知f(x)的一個原函數為A?e\則|/(2x)dx=

A.4x2e2,+CB.2?辦。C.de"+C

25.

26.

下列函數中，在工=o處可導的是

A.j=|x|B.

C.y=2y/xD.y-

設函數/（x）=E』（x#i）,

則lim/(x)=

27.x-l()o

A.OB.-lC.lD.不存在

當7fl時，①是1—的

1十Z

28.[]A.高階無窮小B.

低階無窮小C.等價無窮小D.不可比較

29.

設f(G是可導函數，且lim/(*+22―/(包)=],則/5)=

ion.

n

A.f(x)-g(x)=0B.f(x)-g(x)=CC.df(x)^dg(x)D.f(x)dx=g(x)dx

30設z=x，6in九則急=()A.2x+cosyB.-sinyC.2D.O

二、填空題(30題)

31.曲線f(x)=xlnx-X在x=e處的法線方程為。

如果b>0,且「lnxdr=l,則6=

32.1

33.

設且/可導，則y‘三

34.

曲線y=（x-1>-1的拐點坐標是

35.1(/+3力dx=

設函數［=丁/.則衛二=

36.a*a?

37.設z=tan（Q-,），則導

[xln(1+x1)+,irjdx=

38'.J-i

盒中裝著標有數字1，2,3,4的乒乓球各2個，從盒中任意取

出3個球，求下列事件的概率。

（1）A={取出的3個球上最大的數字是4}.

39.（2）8=（取出的3個球上的數字互不相同}.

40.袋中裝有數字為1、2、3、4的4個球，從中任取2個球，設事件

A={2個球上的數字和"},則P（A）=o

設y=/（「），且/可導，則y=.

41.

42.

?BA

已知dx=I則4=

-1+x2

43.

設/(工)=/+67，則/(X)=.

44.若廣占小?則"=-

45.

極限liml-J)=的值是

A.eB.-1).0

e

46.fx5dx=____________

47.

r2z+1,%W0,j

已知/(z)=2c則A0)=____-

Ix2,*>O,

48.

設］7'(工3)也=￡+C,則/(X)等于.

sa*v

設c=Klnj*+lny1則3j--.

49."治

50.已知f(x)WO,且f(x)在［a,b］上連續，則由曲線y=f(x)、x=a、x=b及

x軸圍成的平面圖形的面積A=o

：

51.I------------dx=%+3x+2.

當，―0時.-；如|>/??5是上的

A.同汾*，方小量反商除七力小量

52.,,低階*?方小量D.等價無才小量

r'=

53.

e*,工>0.

/（x）=、&+/在工=o處連續，則。=

--，工40

54.'6

55.

廣義積分J「eT，dx=.

56.設/（x）=4，則/*（】）-_______?

57.

不定積分j1二.-2=

JX+COSX-

].2/4+42—2_

58."4公+5#二§-。

rAe''%<0

uc設函數/（x）=|,';在點x=0處連續，則常數*=

59.[1+COSX.XN0

60.1

三、計算題（30題）

設？=xyf，仔產中小）可導.求嗜+埼.

61.

62.設/⑺是連續函數，肛'/⑺曲7,求/⑺.

9tz

已知函數"r'e"，求

63.dxdy

乙計算定積分「lnG+l)d_r.

64.」

65.求函數八，>-1><的單調區間與極值點.

66.

計算二重積分/=[[(j'+y：+3_y)didy.其中D=((x.y)|x*+y1a1.x>0>.

67.若曲線由方程工+e"=4-2e”確定,求此曲線在工=1處的切線方程.

求不定積分]-?必?

68.J(1+z7

求定積分「ln(l+G)d_r.

69.Jo

70.求函數f(x)=(x2-l)3+3的單調區間和極值.

71.求不定積分f[e"+ln(l+r)]ir.

〃,求微分方程》,二/滑的通解.

73求微分方程（.vsinx-siru-1）d，d.v—。的通解.

巳知曲線y■山,成求,

（1）曲線在點《1.1）處的切蚊方程與法線方程；

74.（2）曾線上騫一點處的切線與真嫉9=41-1平行？

設函數z-e-I+空空/+”（3，-山.其中/為可導函數.求李.

75.工+yax

設下述積分在全平面上與路徑無關I

I-|->xy（x）dT+^（x>—會ydy.

76.其中函數6*）具有連續導數.并且中（1）=1.求函數6了）.

77設函數f（H）=工（1-H”+3（＞/（I）dj?，求/（工）.

78.求函數f（x,y）=x?+y2在條件2x+3y=l下的極值.

79.X*/TTZ

.../1-Irur

設函數y=3G）由y=確定?求y.

80.

81.設函數y=x3cosx,求dy

82求Jsin(lnjr)djr.

83.已知曲線C為y=2x2及直線L為y=4x.

①求由曲線C與直線L所圍成的平面圖形的面積S；

②求曲線C的平行于直線L的切線方程.

84.設曲線y=4-x2（xK））與x軸，y軸及直線x=4所圍成的平面圖形為

D（如

圖中陰影部分所示）.

①求D的面積S；

②求圖中x軸上方的陰影部分繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積Vy.

85求Je,didy.其中D是由直線＞-=1及y軸圍成的區域.

86.①求曲線y=x2(x>0),y=l與x=0所圍成的平面圖形的面積S：

②求①中的平面圖形繞Y軸旋轉一周所得旋轉體的體積Vy.

求極限一1)'*'

87.

88.求J［41+sinx

設D是由曲線.v-/(x)與直線y=O.y-3闡成的區域.其中

x<2.

/(*)-4

\6彳?工>2?

89.求D境y軸旋轉形成的旋轉體的體枳.

QC求不定枳分］1?arci

yU?

四、綜合題(10題)

91.證明：方程1/曲=i在MD內恰有一實祗

92.證明方程二-3工-1=0在】與2之間至少有一個實根?

93.

設函數Fix)=乂"二，"(工>0)，其中/(公在區間［a.+8)上連續./"(工)在

(a,+8)內存在且大于零.求證：FU)在(a.+8)內單調遞增.

平面圖形由拋物線=21.與該曲線在點（寺,1）處的法線所圍成,試求，

（1）該平面圖形的面積?

94.<2）該平面圖形繞工軸旋轉所成的旋轉體的體積.

95.

過曲線y=，（工20）上某點A作切線.若過點A作的切線?曲線.'，一/及了軸圍成

的圖形面積力士.求該圖形繞，軸旋轉一周所得旋轉體體枳憶

96求由曲線》=1，4與y=#所圉成的平面圖形的面積.

97.

設函數y=ar1—6ar：'+6在［-1.2］上的最大值為3.最小值為-29,又a>。,求a,b.

98.

求由曲線y=z,與直線，=1.1=2及y+（）圍成平面圖形的面積S以及該圖形燒

，軸旋轉一周形成的旋轉體的體積.

99求函數,一苧的單■區間.微值及此函數曲線的凹凸區間、拐點和淅近線.

證明：當，?。時,ln（l.

100.I'

五、解答題（10題）

101.

設平面圖形是由曲線y=—和x+y=4圍成的.

x

（1）求此平面圖形的面積4.

（2）求此平面圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積%.

102.

一二得分10分）某工廠要制造一個無籃的惻柱形發沛池?其容積是當r池底的口

士壁的材料20元/m問如何設計.才能使成本鼓低.最低成本是多少元？

103.設丫=0*加*,求y'。

證明?當x>l時,史上電

104.Inx1?X

105.求由曲線y=/，y=〃2,y=i所圍成的平面圖形的面積。

ti+sinxd.t

106.J?7

107.

l-xOWxWl

設y（x）=求J：/(x)dx.

2x-21<XW3

108.

（1）求曲線y=1--與直線y-x=1所圍成的平面圖形的面積A；

（2）求（1）中的平面圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積Vy.

109.

求由方程［丁也+J：tdf+J：COW也=0所確定的隱函數2=/（工,山的全微分dz.

110.求物VZT

六、單選題(0題)

111.當X—>0時,若sil?與xk是等價無窮小量,則k=

A.A.1/2B.lC.2D.3

參考答案

1.C

2.B

3.D

由于=忘”

顯然，f；(0,0)、4(0,0)均不存在.

在原點的某鄰域內，當(x,y)w(0,0)時，總有/(x,y)=+V2>0=/(0,0).

所以，原點(0,0)不是駐點，但是極小值點.

4.A

5.A

6.C

由0.3+a+0.1+0.4=l,得a=0.2,故選C。

7.C

本題考查的主要知識點是函數在一點處連續、可導的概念，駐點與極

值點等概念的相互關系，熟練地掌握這些概念是非常重要的.要否定

一個命題的最佳方法是舉一個反例，

例如：

y=|x|在x=0處有極小值且連續，但在x=0處不可導，排除A和D.

y=x3,x=0是它的駐點，但x=0不是它的極值點，排除B,所以命題

C是正確的.

［解析］A.x2-l->0(XT1)

B.sin(x2-1)—>0(XT1)

C.Inx-?0(XTl)

D.尸->1(XTl)

8.D

9.C

根據導數的定義式可知

/(2+2Ar)-/(2)〃，6I

hm----------------=2/⑵=_?

&7Ax2

/'⑵；

10.A

答應選A.

提示用變量代換u=x+y,?=xy求出/(u,v)的表達式,再寫出/(X4)的表達式是常用的

亍法,但計算量較大.更簡捷的方法是湊變量法?

因為/("八⑺=/+/=(*+y)2-2。,所以/(x,y)=--2y,則有然;;"+

=2x-2.故選A.

11.A

f'(x)=(xa),+(ax),+(lna),=axnl+axlna,所以f(l)=a+alna=a(l+Ina),選

Ao

12.C

13.B

14.A

=(/)'+")'+(lnG'=+a*Ina

所以//(l)=a+alna=a(l+lna).選A.

15.C

因lime"=1,lim「=0,lime-,=+8,故］ime-，不存在.應選C.

J,~*0w+oo工8_r—oc

16.A

17.C

當欠=2時，有lim竺J=lim（理'）2=1,選C.

X—>0X*X—>0x

所以當左二2時，有sin2x~x2.

18.D

答應選D.

分析絕對值求導的關鍵是去絕對值符號.然后根據分段函數求導數，

2x-1.4M.

因為/（x）=|2x-l|=.]

1-24.x<-2~?

所以￡伐）=-2，伐）=2.

因為/1J）./.'（；），所以在*=；處的導數不存在,故選D.

19.A

本題將四個選項代入等式，只有選項A的坐標使等式成立.

事實上y'=]+，=2得x=l,所以y=]

V

20.B

[解析J因為=/<->（x）

所以/("-n(x)=2e24*1,/<")(x)=4e24**

貝lJ"）（0）=4e

21.A

22.B

21111

因為y,=xex(——z-)+ex=(1—)ex

xx

令歹<0BPl--<0Wo<x<1

x

23.C【解析】根據不定積分的性質，'(G也=八幻+C.故選c

24.D

［解析］根據原函數的定義可得jf(x)dx=x2e+c

所以Jf(2x)dx=1f/(2x)d(2x)=^(2x)2e2i+C=2x2e2x+C

25.B

26.B

27.D

先去函數的絕對值,使之成為分段函數：然后，運用國數在一點處極

限存在的充分必要條件進行判定.

由八"=日=1x<，

X-1(1X>1

因為lim/(x)==.

iri廠

lim/(x)=lim1=1.

i|.

limf(x)*limf(x).

所以吧j/(x)不存在.故選D.

28.C

1—工

由lim1十金=lim=1,所以當7fl時，:，與1—G是等價無窮小.

了一1］一右x-11+x1+x

29.B

由f\x)Ai=g'(N)dr,得［/'⑴一/⑴曲二0,印廣(工)-g%)=0,又［/%)-

g'(r)］dj=fodz=0,故/(J)-g(j)-C=0,所以fix)-g(x)=C.

30.D此題暫無解析

31.y+x-e=0

32.e

33.

-a'xlnaff(a'x)

-a-xlna/(a'J)

=f\a~x)-Ina-尸(-x)'

解析：=-?-alna/，(a-JI)

340-1)(1,-1)解析:

函數的定義域是：+8).

yJ3(x—l)2,/=6(x-l)

令y'=0,得：x=1

當xvl時，/<0,曲線下凹；當Ql時，<>0,曲線上凹.

因此，工=1是曲線拐點的橫坐標.

由/(1)=-!

故曲線的拐點坐標是；(1,-1).

35.0

因為X3+3X是奇函數。

36.6x2y

37.

【提示】Z對x求偏導時應視y為常數，并用一元函數求導公式計算，即

應填一早X2).察一J~彳,(y2彳).

cos(xy-x)oxcos(xy—x)

38.應填In.

利用奇、偶函數在對稱區間上積分的性質.

39.

解：基本事件數共有：C；

(1)事件A中的基本事件為GC+GG

所以P(4)=C>:C：C=2

C14

(2)事件8中的基本事件數的計算可以分兩步進行：

先從1,2,3,4的4個數中取出3個數的方法為C：.

由于每1個數有2個球,再從取出的3個不同數字的球中各取一個球,共有C；CC；?

根據乘法原理可知取出的3個球上的數字互不相同的取法共有C：C；?.

所以.⑻

G7

40.2/3

-a~x\na-f\a'x)

[解析]—尸)(。-")'

=fXa-x)lnaa-*(-x)/

=-a~x\na-f\a'x)

42.1/nl/n解析

由于廣Adx=A(『—!-ydx+[+a,—

J-l+fJ-l+x2J。1+x2

I0|2717t

=A(arctanx|+arctanx|)=4(5+5)=1

小，1

故A=—

n

43.ex+ex)

44.利用反常積分計算，再確定a值。

因為J]--jd”=arctanx|

宣*a

=二-arctan"二7，

24

即arctana=；，則有"=1.

4

45.C

46.

47.

解題指導本題考查的知識點是分段函數在出處的函數值的計算.

本題的關鍵是分清與處的函數表達式j=0是工近0的區間內的一點，因此有/(工)=2x+l,

所以/(0)=2x0+1=1.

Q5QS

48.TJ1+CTJ7+C

49.1/y

5oJ：l/(x)|dxJ*|/(x)|dx

51.21n2-ln3

52.A

53.

1

~6

［解析］=-(0

“xX6

54.6

lim/(J)=limP=l.lim/(x)=lim=1■?又因/(x)在Z=。連接，則應有1=3,

x^Ox-?0-006

故a=6.

55.1/2

56.

57.

ln|x+cosx|+C

58.2

59.

函數在點工=0處連續，則{0-0)=/(0+0)=/(0),其中

/(0-0)=lim/(x)=limAe:,-k,

/(0+0)=lim/(x)=lim(1+cosx)=2,

f(0)=(1+CO8X)I..A=2,

所以k=2.

60.3

z=ky/(?令u=上?？=工yf(u).

李uyf(M)+jyff(u)會

oxox

=yf(?)+?(—*\=yf(u)}/'(“)?

z

g=x/(?)+xy/(M)g

=j/(w>+xy//(w)?~=jr/(w)+

x/

因此上翌+?聯=xyf(u)-y//(M)+jcyf(u)+1y/(")

O-Tey

=2?ry/(“)=2x>/(

z=?令u=.?店=

*7/(“)+W⑺嘉

=?(一二y/(u)-

當=+?￡3/'(“)裂

dydy

x/(i4)xyf'(u)?一=jrf(u)+￥/'(")?

因此4翌+y孰=J-yf(u)-y:f"(u)+jryf(u)-by2f/(u)

o-Toy

=2xyflu)=2"r”(2).

等式兩邊對丁求導得

:

/(JT1—1)?3x=1?即/(工'-1)=￡

令n=2,得八7)-

62.

等式兩邊對丁求導得

:3

/(JT1—1)?3x=1?即/<x—1)=—r

n

令N=2.得八7)-告.

:xv

?/—=2JC4V4-xye=(2/+.

dx

.al=/e"+(2x4-xIy)errx—<3xl+/_y)e".

63.,djrdy

??—==(2x+x2y)e0,

:.=I%"+(2/+/、)//=(3/+/y)e'、.

dxdy

原式=1^ln(x+1)dx=z?ln(x+1)

”+l

=ln2-f(1----r)dx

Jo1+1

=ln2一《工—in(l4-x))|

64.=In2-(1In2)=21n2—1.

原式=Jln(x-Fl)dx=x-ln(x+1)|-J1?

工In2—((1----r)<Lr

Jox+1

=ln2-(JT-ln(1+x))|

=In2-(1-In2)=21n2—1.

65.

求/(x)的導數.得h>+,(1-1)x+='ir—：?令八］)=0,

Js

得駐點X=，.此外.點I=o是/(x)不存在的點.它們將區間分成3個部分區間,列表討論

如下:

<0-f>2(卷2.+8)

JT0T

/(x)+不存在—0+

/(x)單調遞增糠大單網遞總極小單調遞增

由上表可知，函數在區間（-8.0］和+8）上以謂增加,在區間［0］：|上單調遞減.

當了=1■時.有鉞小值/（!■）=-1?］（.當10時?函數的年教不存在,但,.0是

函數的微大值點?極大值f（O）-0.

求/（X）的殍數.得/（X）=工++1"（］-1）工+-+.令r（a=0,

MS

得駐點X=I"?此外.點n=0是/（X）不存在的點.它們將區間分成3個部分區間,列表討論

如下:

22

X2

■0<O.f>T

/（X）+不存在一0+

/<x)?■遞增穗大單兩遞■微小單調遞增

由上表可知，函數在區間（一8.0］和［看.+8）上冷謂增加,在區間［0,卷］上單調遞減.

當上一1■時.有極小值/6）=一春JJ.當10時?函數的年效不存在?但,一。是

函敷的81大值點?極大值f（O）-0.

由對標性知JJ3vLrdy=0.所以

1(/+y)didy—2［時/dr=j-a,.

66.

由對稱性知4>3>業力=0.所以

(x*+y2)didy=21'dtfj/dr=:

67.

兩邊對1求號?得l+2e”?y=-2e''?（，+了『）?于是y'=一怎;］：八?

注意到節/=1時.有1+/=1-2e、,可求得y=0,即曲線上=1處的切線斜率為:

k-...切線方程為：v=—（上一I）.即，+4y—I=0.

44

2.八+1

兩邊對■丁求導.得I+2e>?y=-2e”?（》+?'）?于是,

注意到當1=1時.有I+c"=$-2e、.可求得y=0.即曲線工=1處的切線斜率為:

k=-!.切線方程為中一一!。一1）?即工+4，-1=0.

44

68.

解法一?第一換元積分法

原式=II-rcKl+x*)=yf

2J(1+/H2J<1+>。

=HE+*'"-。+/廠+"(1+/)

=71+x:+---■■■+Ci

解法二：第二換元積分法

原式「令"

fsin3/」

=I----r-?costdt

Jcos"

—一11二尊士工d(co”)

JcosJr

―^-d(cos/>4-|d(cos/)

cos'J

=yi+x14-14-C.

解法一；第一換元積分法

原式=If—工yf^^^dd+x*)

2J(1+x1)*2J(l+x?)i

-yj[(l+?!?力T-(1+力T]d(l+/)

=>/l+x:H—:”■；+C?

vTT7r

解法二?第二換元積分法

令tan'r

原式上---r-?5CCtat

sec3/

fsin'，.

=---?cos/a/

Jcos”

—f匕畢&(C。”)

co?r

J：/d(cow)+[d(cos/)

—+co"+C

yi+x*4-

yrr?

jln(l+vCr)d.r=xln(l+vGT)|--1-1[

=1成一1￡出”

/備"=￡生"令…向

由于

J(Ll+告)也

=—f+InI1+/n|

u-9+In2.

故jln(l+vT)<lr=In2+y-\n2=-1-.

69.

J!n(l=xln(l+5/^)|—yj—

=ln2-2j―^7z.dx

2J。1+/F

由于打:r^jdj=J：4"(令’=G

=￡,一"出)"

=[4—r+InI1+r111

410

-十+ln2.

故Jln(1+)<￡r=In24--y—In2=-1-.

70.函數的定義域為(-8,+oo),且

F(X)=6X(X2-1)2

令r(x)=o,得

Xl=0,X2=-l,X3=l,

列表如下：

(-B.-1)-1(-1.0)0(0.1)1>

/,(?)-0-00

fix)"0)=2為極小他Jf

由上表可知，函數f(x)的單調減區間為(-00,0),單調增區間為(0,

+?；f(0)=2為極小值.

[[e"+ln(1+工)](17=-^-JeIrd(2x)+Jln(l-f-x)cLr

=4-en+xln(14-x)—[—cLr

4JI+jr

=Je"+iln(l+x)—f[l——Jdx

，J1+x

=2。"+川水1+?r)—1+ln(1+/)+C.

71.

+ln(l+z)]d*=yje2,d(2x)+jln(l+*)cLr

=J/'+J,ln(1+x)—f—dr

4J1+jr

=十iln(1+”)-j[l-iTJ"

+幻+

=5￡?/'+zln(1+*)—?r+ln(1C.

72.

方程兩邊同方以cosy.則得cosy?》'=/+1—siny,即

d(sinv)...,

djr

令u=siny.則方程化為*+"=1+1.屬線性方程,用求通解公式得

u=e4A,[j(x+l)efdl+C]

=4-1)erdx+C]

=e-,C(x+De*—er+C]

2=5c-#(xez+C)<

則原方程的通解為siny=ez(xez+C).

方程兩邊同乘以cosy.則得cosy?一=*+1一siny,即

d(sinv)?ii

————?rsiny=1+1.

dx

令“=siny.則方程化為券+“=l+l.屬線性方程,用求通解公式得

u=，中工+1)-&+C]

=4-1)erctr+C]

=er[(*+De*—er+Cj

=c-#(xex+C).

則原方程的通解為siny=c，(工小+C).

方程可化為半+?anr=2+taru■這是一階線性微分方程,利用通解公式

cLr

sear+tanxJej1-^dx+C

+tATLT

COSJ,/tartr+------+C

\cosur

方程可化為今+W?nr=e+taar這是一階線性微分方程,利用通解公式

y-eJu*^?rf（sear+tanx）JitLr+C]

necr++

cou

CO5X

=COSJ/tartr+------

\COSLT

=5IILT+CcOSuT+1.

<1）根據導數的幾何意義，曲線y=工：在點（1,1）處切線的斜率為

曲線y=/在點（1.1）處法線的斜率為

所以切線方程為y—1=2(x—1).

即

2x-y-1=0.

則法線方程為y-l

?r+2、-3=0>

（2）設所求的點為乂八工一.八曲線〉-Xs在點（工。~。）處切線的斜率為

切線與直線》=4]一1平行時.它們的斜率相等，即it.=.1.所以工。=2.此時y。=4.故在

點M“（2,4）處的切線與直線y=41-1平行.

（1）根據導數的幾何意義.曲線y=/在點（1,1）處切線的斜率為

兒廠,

曲線y=/在點（1.1）處法線的斜率為

*=-1

2"

所以切線方程為y-\=2（x-l）,

即

2i-y-1=0.

則法線方程為y—1=-y（x—1）?

即

“+2y-3=0>

<2）設所求的點為M,（網,%）,曲線y=/在點處切線的斜率為

yI=2x1=2*0.

??■一%

切線與直線V=4I一1平行時,它們的斜率相等，即=4,所以q,=2,此時％=4.故在

點M“（2.4）處的切線與直線y=41