2019-2020學(xué)年高二第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.不等式f-m*+2>0的解集為{x|*V1或x>2},則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.2B.-3C.1D.3

2°

2.雙曲線標(biāo)_y2=i的漸近線方程是（)

A.y=±—xB.y=±^-^x

C.y=±2xD.y=±、歷x

22

3.已知命題p:3*21,x+3x-2>0,貝丁、為()

A.Vx<1,x+3x-2>0B.Vx<1,4+3x-2W0

C.f+3x-2W0D.Vx+3x-2<0

4.中國(guó)是世界上最古老的文明中心之一，中國(guó)古代對(duì)世界上最重要的貢獻(xiàn)之一就是發(fā)明了

亮器，中國(guó)陶瓷是世界上獨(dú)一無(wú)二的.它的發(fā)展過(guò)程蘊(yùn)藏著十分豐富的科學(xué)和藝術(shù)，陶

瓷形狀各式各樣，從不同角度詮釋了數(shù)學(xué)中幾何的形式之美.現(xiàn)有一橢圓形明代瓷盤，

經(jīng)測(cè)量得到圖中數(shù)據(jù)，則該橢圓瓷盤的焦距為（）

C.473D.4

5.如圖，已知正方體48650-4865〃中，點(diǎn)E為上底面4G的中心，若標(biāo)=AAjx標(biāo)+卜標(biāo)

cD.2

2-i

6.已知斜率為〃的直線/與拋物線C-./=4x交于/、8兩點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)為附（2,1）,

則直線/的方程為（）

A.2x-y-3=0B.2x-y-5=0C.x-2y=QD.x-y-/=0

7.甲打算從彳地出發(fā)至8地，現(xiàn)有兩種方案：

第一種：在前一半路程用速度6在后一半路程用速度/（/手刈），平均速度為；；

第二種：在前一半時(shí)間用速度％在后一半時(shí)間用速度也（-豐刈），平均速度為v，；

則三，丁的大小關(guān)系為（）

A.B.yvfC.r=YD.無(wú)法確定

。22

8.拋物線/=2px（p>0）的焦點(diǎn)為凡其準(zhǔn)線與雙曲線方__冬_二］的漸近線相交于4、B

兩點(diǎn)，若△/肝的周長(zhǎng)為如工，則。=（)

A.2B.2正C.8D.4

二、多項(xiàng)選擇題

9.在下列函數(shù)中，最小值是2的是（）

A.y=x+—

X

B.y=2x+2x

D.y=x-2A+3

10.已知4、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-1,0）,（1,0）,直線加相交于點(diǎn)總且兩直

線的斜率之積為勿，則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)加=-1時(shí)，點(diǎn)p的軌跡圓（除去與x軸的交點(diǎn)）

B.當(dāng)-1V/77<0時(shí)，點(diǎn)夕的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)）

C.當(dāng)OVZI時(shí)，點(diǎn)夕的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的拋物線

D.當(dāng)加>1時(shí)，點(diǎn)夕的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去與x軸的交點(diǎn)）

11.如圖，在四棱錐戶-48微中，底面為直角梯形，AD//BC,ZBAD=90°,PA1底面ABCD,

JLPA=AD=AB=2BC,M、〃分別為夕。、%的中點(diǎn).貝"（）

A.CD-LAN

B.BDLPC

C.PBL平面ANMD

D.劭與平面所在的角為30°

12.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,3,

5,….，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組

成的數(shù)列｛為｝稱為“斐波那契數(shù)列”，記S為數(shù)列｛劣｝的前〃項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.a6=8

B.S=33

C.21+a+45+"。+級(jí)019=恁020

222

Dal+a2+,"+a2019_

'=a2020

a2019

三、填空題：

13.已知彳=（x,-3,4）,（-2,y,-8）,且之〃總貝"|二|=.

14.已知數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和為￡=，+〃，令a?=1nbn,記數(shù)列｛6｝的前"項(xiàng)的積為Tn,則

樂=.

22

15.已知石、月是雙曲線C：唉--工『l（b〉0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)4（癡，4）（癡>0）在雙

9b

曲線，上，且的面積為20,則雙曲線C的離心率e=.

16.在棱長(zhǎng)為6的正方體4ff3-48'C'。'中，照是）?的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方形。GC'。'內(nèi)（包

pn

括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足NAPD=/MPC,貝■=_______,當(dāng)三棱錐夕-戚的體積取得

PC

最大值時(shí)，此時(shí)用.

四、解答題

17.設(shè)夕：實(shí)數(shù)X滿足主2<0；q.實(shí)數(shù)X滿足4-7蝕+6#>0,其中實(shí)數(shù)亡〉0.已知夕

x-4

是「0的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

18.在正方體48G4-483中，棱長(zhǎng)為1.

(1)求直線SC與直線所成角的余弦值;

(2)求點(diǎn)/到平面8面的距離.

19.已知拋物線C:x=2py(p>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)/(心1)在拋物線C上，且|〃1=3.

(1)求拋物線C的方程及X。的值；

(2)設(shè)點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)尸作斜率為工的直線/交拋物線于附(X,

4

y),N(,X2,y2)(xVx?兩點(diǎn)，點(diǎn)。為拋物線C上異于風(fēng)N的一點(diǎn)、,若麗=祈+1而，

求實(shí)數(shù)大的值.

20.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的公比0>1,且為是方程9妙8=0的兩根，

記｛4｝的前〃項(xiàng)和為S?.

(1)若跖5?,業(yè)-4依次成等差數(shù)列，求加的值；

(2)設(shè)&=2a〃+〃-10,數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為Tn,若7>0,求〃的最小值；

21.在四棱錐S-48微中，底面微為長(zhǎng)方形，SB1底面ABCD,其中85=2,BA=2,BC

=入，入的可能取值為：①入==；②入=工③入=返；④入=§;⑤入=3

4222

(1)求直線4S與平面4腦所成角的正弦值；

(2)若線段必上能找到點(diǎn)￡,滿足/RLSf的點(diǎn)有兩個(gè)，分別記為&&求二面角￡

-55-E的大小.

22.已知橢圓c：^-4zLl(m>n>0)，且橢圓C上恰有三點(diǎn)在集合｛(丑，,

mn33

(_率-2^2),吟,o),(0,1)｝中.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線四與橢圓交于4B兩點(diǎn)、,且滿足■第，試探究：點(diǎn)0

到直線48的距離是否為定值.如果是，請(qǐng)求出定值：如果不是，請(qǐng)明說(shuō)理由.

(3)在(2)的條件下，求△/仍面積的最大值.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.不等式f-3+2>0的解集為{x|xV1或x>2},則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.2B.-3C.1D.3

【分析】利用一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，即可求出m的值.

解：不等式f-??+2>0的解集為{x|xV1或x>2},

所以方程f-3+2=0的實(shí)數(shù)解1和2,

由根與系數(shù)的關(guān)系知，加=1+2=3.

故選：D.

2°

2.雙曲線孑_丫2=1的漸近線方程是（)

A.y=±—xB.y=±^-^-x

C.y=±2xD.y=±yf2x

22

222

由雙曲線今的漸近線方程為

【分析】求出雙曲線-7=1的a,b,-%=1y=

2b2

±—x,即可得到.

a

2-

解：雙曲線二爐=1的2，6=1,

22

由雙曲線2r-工不=1的漸近線方程為尸±—%,

a2b24

則所求漸近線方程為y=土運(yùn)x.

2

故選：B.

3.已知命題0:3x+3x-2>0,則「0為（）

A.Vx<1,x+3x-2>0B.Vx<1,寸+3x-2W0

C.Vx,1,f+3x-2W0D.Vx,1,x+3x-2<0

【分析】根據(jù)已知中的原命題，結(jié)合特稱命題否定的定義，可得答案

解：因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以：命題：3x,1,x+3x-2>0的否定是:

Vx》1,f+3x-240.

故選：C.

4.中國(guó)是世界上最古老的文明中心之一，中國(guó)古代對(duì)世界上最重要的貢獻(xiàn)之一就是發(fā)明了

瓷器，中國(guó)陶瓷是世界上獨(dú)一無(wú)二的.它的發(fā)展過(guò)程蘊(yùn)藏著十分豐富的科學(xué)和藝術(shù)，陶

瓷形狀各式各樣，從不同角度詮釋了數(shù)學(xué)中幾何的形式之美.現(xiàn)有一橢圓形明代瓷盤，

經(jīng)測(cè)量得到圖中數(shù)據(jù)，則該橢圓瓷盤的焦距為()

8cm----------------

I

4cm

A.873B.273C.473D.4

【分析】直接利用橢圓的定義的應(yīng)用求出結(jié)果，

解：根據(jù)橢圓的定義，得到：2a=8,解得a=4,26=4,解得6=2

所以c=742-22=2a,

所以焦距2c=4代.

故選：C.

5.如圖，已知正方體48650-48G〃中，點(diǎn)萬(wàn)為上底面4G的中心，若標(biāo)=AA]+x標(biāo)+尸標(biāo)

則A+y=()

1Q

A.—B.1C.—D.2

22

【分析】推導(dǎo)出版=嬴[+可元=/(耳環(huán)+3卷■記，由此能求出A+y的

值.

解：正方體4仇》-45G4中，點(diǎn)￡為上底面4G的中心，

AE=AA[+A]E=,(AIB[+A[DI)=]AB4AD,

???AE=AA1+*訪?聲尸；4=1-

6.已知斜率為〃的直線/與拋物線C:/=4x交于4、夕兩點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)為附（2,1）,

則直線/的方程為（）

A.2x-y-3=0B.2x-y-5=0C.x-2y=0D.x-y-/=0

【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)4,8的坐標(biāo)代入拋物線用點(diǎn)差法求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式

方程求出直線的方程.

解：設(shè)4(M,y),B(M,y2),由題意可得J6+M=2X1=2,

2.

Yi=4xi

22

將點(diǎn)代入拋物線：.,兩式相減：yi-J^=4(XI-x2),

=4X

y22

yi-y44

所以k=—_-2=—；—=—=2

~x2了1+了22

所以直線的方程為：y-1=2（x-2）,即2x-v-3=0;

故選：A.

7.甲打算從4地出發(fā)至8地，現(xiàn)有兩種方案：

第一種：在前一半路程用速度必，在后一半路程用速度/（”#=吻），平均速度為v；

第二種：在前一半時(shí)間用速度/在后一半時(shí)間用速度/（必學(xué)外），平均速度為丁;

則與，丁的大小關(guān)系為（）

A.v>v'B.C.v=JD.無(wú)法確定

【分析】第一種，設(shè)出總路程為2s,由平均速度的公式可得與，第二種，設(shè)總時(shí)間為2四

求得平均速度丁，再由作差法，結(jié)合完全平方公式可判斷大小關(guān)系.

一二2s_222

解：第一種：設(shè)總路程為2s,則“ssV1+v,

----______194

V]V2

___V1

第二種：設(shè)時(shí)間為2力，則丁=—Lt+v2t11+丫2

2t2

22

「——V1+V22丫產(chǎn)201+丫2）-4丫d2（V「V2）y.—\

v-v=——------=----T-7------X----=777------->0，??V7

2vj+v22（V[+V2）2（vj+v2）

故選：B.

8.拋物線/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為E其準(zhǔn)線與雙曲線號(hào)-_]_=]_的漸近線相交于彳、B

兩點(diǎn)，若酎的周長(zhǎng)為如2則,=()

A.2B.242C.8D.4

【分析】由雙曲線方程求出漸近線方程，再求出拋物線的準(zhǔn)線方程，聯(lián)立求得4,5的坐

標(biāo)，可得|48|,再由勾股定理求得|7|,利用△/b尸的周長(zhǎng)為孰年列式求得0值.

解：雙曲線京_*=1漸近線方程為y=±乎X，

拋物線/=2px（p>0）的準(zhǔn)線方程為x=-^-,

由題意得：A（或,（"p），B（步，”^p），

，IAB|=*"P，|FA|=|FB|=,+呼p）=^^p.

又酎的周長(zhǎng)為啦,

IFA|+|FB|+1AB|=^-P-?^P^y-P=W2-

解得：p=2.

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多種符合題目要求.

9.在下列函數(shù)中，最小值是2的是（）

A.y=x+—

x

B.y=2x+2~x

1jr

C.y=sinx^—；--,x6（0,--）

sinx2.

D.y=x-2A+3

【分析】結(jié)合基本不等式的一正，二定三相等的條件分別檢驗(yàn)選項(xiàng)ABC,結(jié)合二次函數(shù)

的性質(zhì)可求a

解：A:當(dāng)XVO時(shí)顯然不符合題意;

B-.由于2'>0,y=2*+27》2,故最小值2,符合題意；

C-.由（0,《兀）可得sinxG（0,1）,y=sinA+—7^—>2,沒有最小值，不符合

2smx

題意；

D-.y=x-2A+3=（X-1）?+2\2即最小值2,符合題意.

故選：BD.

10.已知/、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-1,0）,（1,0）,直線明相交于點(diǎn)只且兩直

線的斜率之積為〃，則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)777=-1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡圓（除去與X軸的交點(diǎn)）

B.當(dāng)-1V/w<0時(shí)，點(diǎn)。的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)）

C.當(dāng)0<?7<1時(shí)，點(diǎn)"的軌跡為焦點(diǎn)在X軸上的拋物線

D.當(dāng)〃>1時(shí)，點(diǎn)夕的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去與x軸的交點(diǎn)）

【分析】設(shè)出照的坐標(biāo)，利用斜率乘積轉(zhuǎn)化求解軌跡方程，通過(guò)加的范圍，判斷選項(xiàng)的

正誤即可.

解：點(diǎn)"的坐標(biāo)為（x,y）,直線”的斜率為k處二言［（X卉-1）,kBM=S（x盧1）

由已知得，=丁X—±1）

x+1x-1

2

化簡(jiǎn)得點(diǎn)〃的軌跡方程為卉土1）,

當(dāng)行-1時(shí)，點(diǎn)。的軌跡圓（除去與x軸的交點(diǎn)）所以/正確；

當(dāng)-IVZO時(shí)，點(diǎn)"的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)）.所以8正

確；

當(dāng)0V〃Y1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，不正確，應(yīng)該是雙曲線，所以C

不正確；

當(dāng)加>1時(shí)，點(diǎn)。的軌跡為焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線（除去與X軸的交點(diǎn)），所以〃正確；

故選：ABD.

11.如圖，在四棱錐P-4仇Q中，底面為直角梯形，AD//BC,Z54/7=90°,PAL底面ABCD,

JLPA=AD=AB=2BC,M、“分別為PC、陽(yáng)的中點(diǎn).則（）

P

.M

A.CDLAN

B.BD'PC

C.PBL平面ANMD

D.劭與平面41M所在的角為30°

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，結(jié)合反證法，二面角的定義判斷即可.

解：4顯然錯(cuò)誤；

B若BDLPC,由8DLP4,則勿_L平面以C,則即，4C,顯然不成立；

C、PBLAN,義PBLNM,可得到C成立；

D、連接DN,因?yàn)镻BL平面ADMN,所以N5ZW是被與平面4W所成的角在RtZkb/W中,

sin/

DUZ

所以劭與平面4W所成的角為30°成立；

故選：CD.

12.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,3,

5,….，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組

成的數(shù)列｛a〃｝稱為“斐波那契數(shù)列”，記￡為數(shù)列｛a｝的前"項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.a=8

B.S=33

C?各+23+85+.?,+a019^^020

222

D+七+…+a20]g_

【分析】根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，求出其遞推關(guān)系式；再對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)檢驗(yàn)即可

解：A.由句=生，々=司4-4，a5=a6-a4,可得吸=8成立；

B,由各=/，百3=a-31f企=&6-可將136=8,a=13;

As7=1+1+2+3+5+8+13=33成立；

==

C.由3\31,3332,備=&6一石4,..............,4019=/020一生018,可得：4+/+全+…+4。同

=52020.

故各+/+備+???+40我是斐波那契數(shù)列中的第2020項(xiàng).即答案C成立；

D.斐波那契數(shù)列總有*2=司用+&,

22

則al=a2a1，a2=a2^a3-aP=a2a3-a2al，

a3=a3^a4-a2^=a3a4-a2a3)...5

a2018=a2018^a2019-a2017^=a2018a2019-a2017a2018,

2_

a2019—a2019a2020-a2019a2018；

2222、、

,,al+a2+a3+*"+a2019=a2019a2020:即答案D成立

故選：ABCD.

三、填空題：

13.已知之=(x,-3,4),￡=(-2,y,-8),且之〃總則121=一

【分析】由之〃總可得存在實(shí)數(shù)々使得：之=火總即可得出.

解：：之〃總.,.存在實(shí)數(shù)〃使得：a=*b>

'x=-2k

,1-3=ky,解得4=-x=1,y=6.

14=-8k

貝MZI12+(-3)2+42=V26-

故答案為：^26.

14.已知數(shù)列｛&｝的前"項(xiàng)和為Sn=rf+n,令an=lnbn,記數(shù)列｛6｝的前"項(xiàng)的積為Tn,則

一=產(chǎn).

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式、求和公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得所求和.

解：由Sn=n2+n可得數(shù)列｛為｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列，

所以數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式為an=2n,由得：/協(xié)+/〃/“^??+//76〃=玨+愈~?+&,

①/協(xié)+/〃仿+???+/〃6〃=(〃伍???6〃)=InTn,句+/+???+劣=2(1+2+???+〃)=〃("1),

②/〃61+/〃fe+…+//?6〃=舒+0+…+a〃=2(1+2+,*?+<?)—n("1),

所以/〃7="（91）,即Tn=en（41）,

所以Tq499義1。嗔990°,

故答案為：e9900.

22

15.已知石、耳是雙曲線C：尚--\=l（b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)/（心4）（M>0）在雙

9/

曲線C上，且△石4K的面積為20,則雙曲線C的離心率e=_J.

3

【分析】利用三角形的面積求出c,然后求解a,即可得到雙曲線的離心率即可.

22

解：F、、6是雙曲線C：三--工『1缶〉0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)4（電4）（癡>0）在雙曲

9/

線C上，且△耳傷的面積為20,

可得看x2cX4=20,可得C=5,又a=3,所以雙曲線的離心率為：e=—=-1-.

2a3

故答案為：三.

16.在棱長(zhǎng)為6的正方體4陶-48'C'。中，照是宓的中點(diǎn)，點(diǎn)?是正方形。GC'。內(nèi)（包

pn

括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，豆?jié)M足NAPD=NMPC,貝:平=2,當(dāng)三棱錐p-陶的體積取得最

PC

大值時(shí)，此時(shí)陽(yáng)=_473_.

【分析】以。為原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果.

解：以。為原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為戶（0,a,b）

因?yàn)辄c(diǎn)P是正方形〃GC'。'內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，豆?jié)M足NAPD=NMPC,

pn

所以外=2%,即患=2,

所以|PD|Ta2+b2,|PC|=V（6-a）2+b2

所以J/+b2=27(6-a)2+b2

所以a?+以=4[(6-a)2+/>2]

即(a-8)，\=16

P點(diǎn)的軌跡是以(0,8,0)為圓心，以4為半徑的圓，又因?yàn)?WaW6,0W6W6

若三棱錐夕-成步的體積得最大值，則三棱錐的高最大，即6最大

當(dāng)a=6時(shí)，6最大值為42-4=2次,

所以|PB|=7PC2+BC2=W3-

故答案為：2,4、年.

四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.設(shè)0:實(shí)數(shù)x滿足三2<0;q:實(shí)數(shù)x滿足4-7匕+6#>0,其中實(shí)數(shù)0>0.已知p

x-4

是「0的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)方的取值范圍.

【分析】由三烏<01導(dǎo)，(x-2)(x-4)V0,解出可得p.又由f-7M6￥>0得(x

x-4

-t)(x-6t)>0,根據(jù)t>0,可得其解集，可得記/={x|2VxV4},

B=[x\.根據(jù)p是「0的充分不必要條件，可得才是6的真子集，即可得出.

解：由王^〈僻，(x-2)(x-4)<0,所以2VxV4.

x-4

又由f-7"+6#>0得(x-七)(x-6t)>0,因?yàn)橥?gt;0,所以xVt■或x>6之，

/.-1q:亡WxW6之

記4={x|2VxV4},B={x\

因?yàn)椤Ｊ恰?的充分不必要條件，所以4是8的真子集，

故{點(diǎn)4'解得：

所以，實(shí)數(shù)力的范圍是[卷，2].

O

18.在正方體中，棱長(zhǎng)為1.

(1)求直線8C與直線8〃所成角的余弦值;

(2)求點(diǎn)4到平面區(qū)面的距離.

【分析】(1)依題意，AB,AD,>44是兩兩互相垂直的，以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD、

>44的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)直線8c

IBC-M|

與直線8。所成的角為a,利用cosa=—=；------:—即可得出.

iBCl-lBiDl

(2)由(1)知彳=(0,1,-1),瓦1=(-1,1,-1),函=(1,0,1)設(shè)平面

_fn"B<C=0IA,B-nI

8曲的一個(gè)法向量n=(x,y,z),利用,可得：.利用d=——L_---,

n'B1D=0|n|

可得4到平面83的距離.

法二：(等體積法)設(shè)4到8勿的距離為a利用VA-B]CD=VB「ACD即可得出.

解：(1)依題意，AB,AD,>14是兩兩互相垂直的，以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以48、AD.的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則A(0,0,0),8(1,0,0),4(0,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),區(qū)

(1,0,1)/.BC=(O,1,0),B1D=(-1,1)-1)

辰司I1弧

設(shè)直線仇7與直線8〃所成的角為a[J_————

|BCI-iBpD|V33

即直線6c與直線8〃所成角的余弦值為返

3

(2)由⑴知%C=(0,1,-1),B1D=(-1,1,-1),ABj=(l,0,1)

,

_nB1C=0(y-z=0

設(shè)平面83的一個(gè)法向量n=(x,y,z),貝卜_____

n*B<D=0l-x+y-z=0

L工

令z=1,貝Ix=0,y=1,

此時(shí)n=(0,1,1)，

.Mjnli72

.7=^^市丁，

二點(diǎn)4到平面8面的距離為返.

2

法二：（等體積法）

設(shè)―曲的距離為d,vA_BCD=^-xdxsABCD^-Xdx（^xixV2）.

"BI-ACD《Xix[*,

=V

1CDBrACD，二d=^-

19.已知拋物線。x=2py（p>0）的焦點(diǎn)為￡點(diǎn)、4（a1）在拋物線C上，且|〃1=3.

（1）求拋物線C的方程及X。的值；

（2）設(shè)點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)尸作斜率為3的直線/交拋物線于"（*,

4

y）,N（X2,%）（X1<A2）兩點(diǎn)，點(diǎn)。為拋物線C上異于從N的一點(diǎn)、,若須=5ii+t35,

求實(shí)數(shù)t的值.

【分析】（1）由拋物線的性質(zhì)可得到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離求出0的值，將4

點(diǎn)代入拋物線求出4的橫坐標(biāo)的值；

（2）由（1）及題意求出直線/的方程，與拋物線聯(lián)立求出交點(diǎn)K〃的坐標(biāo)，再由向量

之間的關(guān)系求出。的用t表示的坐標(biāo)，將0代入拋物線方程求出土的值（。為拋物線C

上異于風(fēng)〃的一點(diǎn)，所以大不為0）

解：（1）由題意知，拋物線的準(zhǔn)線方程為：y=差，

根據(jù)拋物線的定義，|AF|=1%=3,所以0=4,

故拋物線方程為x=8y,焦點(diǎn)廠（0,2）,

當(dāng)y=1時(shí)，x0=±2V2.

（2）由（1）知，直線/的方程為y=*^x+2,

x2=8y

聯(lián)工，nf得4-6*-16=0,解得M=-2,X2=8,

F+2

所以M（-2,y）,N（8,8）,

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（X3,y3）,則而=0M+tON得

（x3>y3）=（-2,-1-）+t（8,8）=（8t-2,8吟）,

'x3=8t-2

所以，｛i,

ly3=8t+2

又因?yàn)辄c(diǎn)。在拋物線寸=8y上，所以（8t-2）2=8（8t卷）

解得t-1或t=0（舍去）.

所以實(shí)數(shù)7的值為3.

2

20.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a〃｝的公比q>1,且是方程4-9A+8=0的兩根，

記｛&｝的前"項(xiàng)和為Sn.

（1）若血S",3s-4依次成等差數(shù)列，求加的值；

（2）設(shè)2=2&+〃-10,數(shù)列伉｝的前"項(xiàng)和為Tn,若7；>0,求"的最小值；

【分析】本題第（1）題根據(jù)題設(shè)條件可得a’的值，再根據(jù)公比g>1排除不對(duì)的值，

進(jìn)一步計(jì)算即可得到等比數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，則根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，

以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可解出m的值；第（2）題先根據(jù)第（1）題中等比數(shù)列｛aj的通項(xiàng)

公式可計(jì)算得到數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法求出數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為Tn

的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)先寫出7；的前幾項(xiàng)可發(fā)現(xiàn)%>0時(shí)〃的最小值.

解：（1）由題意，x-9A+8=（x-1）（x-8）=0,且金，為是方程9/8=0的兩

根.

"a<=1fa,=8

解得1或、

a4=8a4=l

?(7>1,??留〈84.

故Si=1,a=8

又,??a4=a[q3=q3=&，k2.

n-1

.?.等比數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為an=2,"GN*.

..=ixa^)_=2,n_1.

m1-2/

又；生=2,36-4=32-4=28,

=

2Sm/+&6-4=30f

m

^Sm=2-l=15,解得戶4.

(2)由(1),得bn=2an+n-10=2/n-10,

故

12nn51

Tn=b1+b?+b.+-+bn=(2+2+-+2)+(-9-8+-+n-10)=2(2-l)+^^

XIL?JXI

當(dāng)"=1時(shí)，不=-7V0;

當(dāng)n=2時(shí)，T2=-11<0;

當(dāng)〃=3時(shí)，7；=-10<0;

當(dāng)〃=4時(shí)，5=0;

當(dāng)〃》5時(shí)，2(2"-1)》62,蟲人》-45.此時(shí)%>0.

??."的最小值為5.

21.在四棱錐S-483中，底面4腦為長(zhǎng)方形，SB2底面ABCD,其中8s=2,用1=2,BC

=入，入的可能取值為：①人==;②—=[?;③入=瓜；④入=3；⑤入=3

4222

(1)求直線4S與平面4腦所成角的正弦值；

(2)若線段緲上能找到點(diǎn)￡滿足〃"_LS￡的點(diǎn)有兩個(gè)，分別記為E,&求二面角￡

-SB-E?的大小.

【分析】(1)由SB工底面ABCD,得NS48即為直線4s與平面曲所成的角，由此能

求出直線4s與平面/仇》所成角的正弦值.

(2)以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、BA、8s的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直

角坐標(biāo)系.利用向量法能求出二面角的大小.

解：(1)?:SBL底面ABCD,

二NS48即為直線4s與平面4腦所成的角，

在RtZkS"中，sin/SAB=sin45。=77--

...直線4s與平面48曲所成角的正弦值為返.

2

(2)以夕為坐標(biāo)原點(diǎn)，旗BC、BA、8S的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系.

則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：B(0,0,0),/(0,2,0),〃(入，2,0),S(0,0,2).

設(shè)E(入，x,0)(0W后2),

SE=(入，x,-2)，EA=(-入，2-x,0),

22

SE1EA=>-X+X(2-X)=0=>X=x(2-x)-

Vxe[0,2],k2=x(2-x)G(0,1],...在所給的數(shù)據(jù)中，入可以取①②③

由題意為坐，此時(shí)，*卷或x=|,即滿足條件的點(diǎn)￡有兩個(gè)，

根據(jù)題意得，其坐標(biāo)為Eig,0)和后2(亨，y,0),

.：SBL平面ABCD,所以SBLBE、,SB±BE2,

.?.NE仍是二面角E-S8-E的平面角.

—.—.33

BESE?rrM

由cos〈BE]，

2一西|x|西|一.百一2

由題意得二面角S3-E為銳角，二二面角E-S8-E的大小為30°.

22.