第七節 常見曲面的方程及圖形EquationandGraphofSurface教學目的:了解常見的空間曲線的標準方程并知道它們的圖像.課題:曲面及其方程;常見的曲面方程及其圖形.教學重點:空間曲面的圖形及其方程教學難點:常見空間曲線的圖形及方程教學方法:精講常見曲面的方程及圖形教學內容: 一、曲面及其方程 空間任一曲面都可以看作點的集合.在空間直角坐標系中,如果曲面上的任一點的坐標滿足三元方程,不在曲面上的點的坐標都不滿足該方程,那么就稱該方程是曲面的方程,而曲面是該方程的圖形或軌跡. 【例1】 一平面垂直平分兩點和間的線段,求該平面的方程. 解 顯然所求平面是與及等距離的點的軌跡.在平面上任取一點,則有,而兩邊平方,化簡,即得所求平面的方程 二、常見的曲面方程及其圖形 1.球面方程 空間動點到一定點的距離等于常數,此動點的軌跡即為球面.定點叫做球心,常數叫做球的半徑. 設球心在點,半徑為,在球面上任取一點,有,即兩邊平方得(1)此方程即為所求的球面方程. 當(1)式中,即球心在原點,半徑為時,(1)式可化為 【例2】 下列方程表示什么曲面?(1)(2)(3) 解 將方程左端配方 (1) ,表示以點為球心,半徑的球面; (2) ,由于此方程只有唯一的一組解:,即它表示一點; (3) ,這時,空間任一點坐標都不滿足方程,即沒有幾何圖像,稱之為虛球面. 2.母線平行于坐標軸的柱面方程 設方程中不含某一坐標,如不含豎坐標,即(2)它在坐標面上的圖形是一條曲線,由于方程中不含,故在空間中一切與上的點有相同縱坐標的點均滿足方程,也就是說,經過上的任一點而平行于軸的直線上的一切點的坐標均滿足方程.反之,如果與曲線上的任何點不具有相同的橫、縱坐標,則點的坐標必不滿足方程(2).滿足方程(2)的點的全體構成一曲面,它是由平行與軸的直線沿平面上的曲線移動而形成的,這種曲面叫做柱面.曲面叫做準線,形成柱面的直線叫做柱面的母線.因此方程(2)在空間的圖像是母線平行于軸的柱面. 同樣地,方程的圖像是母線平行于軸的柱面;方程的圖像是母線平行于軸的柱面. (1) 方程(3)表示柱面,它的準線為面上的橢圓,母線平行于軸,稱之為橢圓拋物面. 在方程(3)中,當,即時,它表示圓柱面. (2) 方程表示準線為面上的雙曲線,母線平行于軸的柱面,稱之為雙曲圓柱面. (3) 方程表示準線為面上的拋物線,母線平行于軸的柱面,稱之為拋物柱面. 3.旋轉曲面 旋轉曲面是由一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周而成的.這條直線叫做該旋轉曲面的旋轉軸,這條平面曲線叫做旋轉曲面的母線. 設在平面上的曲線的方程為,把曲線繞軸旋轉一周,就得到一個以軸為軸的旋轉曲面.它的方程可以這樣求得: 設為曲線上任一點,則有,當曲線旋轉時,點轉到點,這時,點和到軸的距離相等,即 把代入得這就是所求的旋轉曲面的方程. 同理,平面上的曲線繞軸旋轉一周,所得旋轉曲面方程為平面上的曲線繞軸旋轉一周,所得旋轉曲面方程為 方程是平面上的拋物線繞軸旋轉一周而成的旋轉曲面,稱為旋轉拋物面. 4.常見的二次曲面及其方程 (1) 橢球面 方程所表示的曲面叫做橢球面. (2) 單葉雙曲面 方程所表示的曲面叫做單葉雙曲面. (3) 雙葉雙曲面 方程所表示的曲面叫做雙葉雙曲面.特別的,所表示的曲面叫做圓錐面. (4) 拋物面 (a) 橢圓拋物面 方程所表示的曲面叫做橢圓拋物面. (b) 雙曲拋物面 方程所表示的曲面叫做雙曲拋物面,也叫馬鞍面.課堂練習:指出下列各方程表示什么曲面.(1)(2)(