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一維定態薛定諤方程的應用

若質量為m的粒子，在保守力場的作用下，被限制在一定的范圍內運動，其勢函數稱為勢阱。

為了簡化計算，提出理想模型——無限深勢阱。

一維無限深勢阱：一維定態薛定諤方程的應用一、一維無限深勢阱a

勢能不顯含時間，而且分段，用薛定諤方程求解時分為勢阱內外分別進行a

勢阱外，定態薛定諤方程由條件而E為有限值2保守力與勢能之間的關系：

在勢阱邊界處，粒子要受到無限大、指向阱內的力，表明粒子不能越出勢阱，即粒子在勢阱外的概率為0。勢阱內的一維定態薛定諤方程為：解為：由邊界條件得：據歸一化條件，得得波函數表達式：（1）粒子能量不能取連續值得

能量取分立值（能級），能量量子化是粒子處于束縛態的所具有的性質。由討論：波函數（2）粒子的最小能量不等于零最小能量也稱為基態能或零點能。零點能的存在與不確定度關系協調一致。不受外力的粒子在

0

到a范圍內出現概率處處相等。量子論觀點：0a=1=2=3=4nnnn0a當

很大時，量子概率分布就接近經典分布經典觀點：（4）有限深勢阱，粒子出現的概率分布

如果勢阱不是無限深，粒子的能量又低于勢壁，粒子在阱外不遠處出現的概率不為零。0a

經典理論無法解釋，實驗得到證實。得到兩相鄰能級的能量差例題13-15

設想一電子在無限深勢阱，如果勢阱寬度分別為1.0×10-2m和10-10m。試討論這兩種情況下，相鄰能級的能量差。解：根據勢阱中的能量公式

可見，兩相鄰能級間的距離隨著量子數的增加而增加，而且與粒子的質量m和勢阱的寬度a有關。

在這種情況下，相鄰能級間的距離是非常小的，我們可以把電子的能級看作是連續的。當a=10-10m時

在這種情況下，相鄰能級間的距離是非常大的，這時電子能量的量子化就明顯的表現出來。當a=1cm時當n>>1時，能級的相對間隔近似為可見能級的相對間隔隨著n的增加成反比地減小。要小的多。這時，能量的量子較之當時，化效應就不顯著了，可認為能

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