2023-2024學年眉山市仁壽一中高二數學下期期中考試卷（滿分：150分；考試時間：120分鐘）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題1．在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系.該運動員在t=1s時的瞬時速度（單位：m/s）為（

）A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-52．已知函數（

）A．12 B． C．3 D．63．函數的單調遞增區間（

）A． B． C． D．4．設曲線和曲線在它們的公共點處有相同的切線，則的值為（

）A．B．C． D．5．函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知，則的圖象是（

）A．B．C．D．7．若函數有兩個不同的極值點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．二?多選題（全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．若直線是函數圖像的一條切線，則函數可以是（

）A． B． C． D．10．已知函數的導函數的圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）

A．函數在上單調遞增 B．函數在上單調遞減C．函數在處取得極大值 D．函數有最大值11．設函數的導函數為，則（

）A． B．是的極值點C．存在零點 D．在單調遞減12．（多選）定義在區間上的函數，其圖象是連續不斷的，若，使得，則稱為函數在區間上的“中值點”，則下列函數在區間上“中值點”多于一個的函數是（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（選擇題共90分）二、填空題（每題5分，共計20分）13．設函數的導數為，且，則.14．若函數在區間上有最大值，則實數的取值范圍是．15．若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．16．已知是函數的導函數，且對任意的實數都有，則不等式的解集為.三、解答題（6個大題，共計70分）17．已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數的極值.18．已知是的一個極值點.(1)求函數的單調遞增區間；(2)設函數，若函數在區間[1，2]內單調遞減，求實數的取值范圍.19．從旅游景點到有一條的水路，某輪船公司開設一個游輪觀光項目.已知游輪每小時使用的燃料費用與速度的立方成正比例，其他費用為每小時3240元，游輪最大時速為，當游輪速度為時，燃料費用為每小時60元，單程票價定為150元/人.（1）若一艘游輪單程以的速度航行，所載游客為180人，則輪船公司獲利是多少？（2）如果輪船公司要獲取最大利潤，游輪的航速為多少？20．已知函數.（1）求函數f(x)的單調遞增區間；（2）若函數f(x)有三個零點，求實數的取值范圍.21．已知函數.(1)當時，求函數在上的最大值和最小值；(2)若函數在區間內存在極小值，求實數的取值范圍.22．已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)當時，恒成立，求整數k的最大值.1．D【分析】先對函數求導，然后把代入即可求解．【詳解】解：因為，所以，令，得瞬時速度為．故選：D.2．B【分析】由導數的概念，基本初等函數的導函數計算即可.【詳解】，，故選：B.3．C【分析】求出導函數，令，解不等式即可得答案.【詳解】解：因為函數，所以，令，解得，所以函數的單調遞增區間為，故選：C.4．D【分析】利用導數的幾何意義可知，可求得；根據為兩曲線公共點可構造方程求得，代入可得結果.【詳解】，，，，，又為與公共點，，，解得：，.故選：D.5．D【分析】根據函數在上單調遞增，由在上恒成立求解.【詳解】解：因為函數，所以，因為函數在上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，則，解得或，所以實數a的取值范圍是，故選：D6．D【分析】探討函數的奇偶性，再利用導數探討函數的單調性即可判斷得解.【詳解】函數的定義域為R，，則函數是奇函數，其圖象關于原點對稱，B錯誤；求導得，當且僅當時取等號，因此函數在R上單調遞增，AC錯誤，D符合要求.故選：D7．D【解析】由在有2個不同的零點，結合二次函數的性質可求．【詳解】解：因為有兩個不同的極值點，所以在有2個不同的零點，所以在有2個不同的零點，所以，解可得，．故選：．8．A【分析】根據給定條件構造函數，再探討其單調性并借助單調性判斷作答.【詳解】令函數，求導得，令，則，故，單調遞減，又，故，即，而，則，即，所以，故選：A9．BCD【分析】求得已知直線的斜率，對選項中的函數分別求導，可令導數為，解方程即可判斷結論【詳解】解：直線的斜率為，由的導數為，即切線的斜率小于0，故A不正確；由的導數為，而，解得，故B正確；由的導數為，而有解，故C正確；由的導數為，而，解得，故D正確，故選：BCD【點睛】此題考查導數的幾何意義，正確求導是解題的關鍵，考查運算能力，屬于基礎題10．BC【分析】根據導數符號與原函數單調性之間的關系可得的單調性，進而逐項分析判斷.【詳解】由題意可知：當時，（不恒為0）；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增.可知：A錯誤；B正確；且函數在處取得極大值，故C正確；雖然確定的單調性，但沒有的解析式，故無法確定的最值，故D錯誤；故選：BC.11．AD【分析】判斷導數的符號，可判斷ABD選項的正誤；判斷函數值符號可判斷C象限的正誤.【詳解】函數的定義域為，對任意的，，C錯；因為，且，所以，函數在上為減函數，故AD對，B錯.故選：AD.12．AD【分析】通過對題中新定義的理解，逐一驗證選項是否符合定義要求即可【詳解】對于A，由得恒成立，所以A符合.對于B，又，對于唯一，所以B不符合.對于C，，，又，對于，使得唯一，所以C不符合.對于D，，，又，對于使得不唯一所以D符合.故選：AD.13．【分析】根據求導法則，建立方程，可得答案.【詳解】由題意，可得，所以，即，解得：，所以.故答案為：.14．【分析】由導函數求得極大值，利用極大值點在區間上，且的極大值可得參數范圍．【詳解】，或時，，時，，所以在和上都遞增，在上遞減，，在區間上有最大值，則，解得．故答案為：．15．【分析】設出切點橫坐標，利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于的方程，根據此方程應有兩個不同的實數根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：16．【分析】由題意，得，構造函數，然后求出函數的解析式，再確定的解析式，進一步不等式即可．【詳解】解：由題意，因為，所以，，令，則，，即，，不等式的解集等價于，解得．故答案為：．17．(1)(2)極小值為，無極大值【分析】（1）求出、的值，利用導數的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）利用導數分析函數的單調性，即可得出函數的極值.【詳解】（1）解：的定義域為，，可得，.故所求切線方程為，即.（2）解：的定義域為，，令解得，當變化時，、的變化情況如下表：x－0＋減增所以函數的極小值為，無極大值.18．(1)（1，）(2)(－∞，－10]【分析】(1)求f′(x)，因為x＝1是f(x)的一個極值點，所以f′(1)＝0，代入計算求出b的值，然后求導求f(x)的單調區間.（2）函數g(x)在區間[1，2]上單調遞減，則g′(x)在[1，2]上恒成立.求g(x)導函數g′(x)，g′(x)≤0在[1，2]恒成立等價于當x∈[1，2]時a≤－2x2－x恒成立，求二次函數t＝－2x2－x的最小值，從而求出實數a的范圍.【詳解】（1）f(x)＝2x＋＋lnx，定義域為(0，＋∞).∴f′(x)＝2－＋＝.因為x＝1是f(x)＝2x＋＋lnx的一個極值點，所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.解得b＝3，經檢驗，適合題意，所以b＝3.所以f′(x)＝2－＋＝，令f′(x)>0，得x>1.所以函數f(x)的單調遞增區間為（1，）.（2）函數g(x)在區間[1，2]上單調遞減，則g′(x)在[1，2]上恒成立.又g′(x)＝2＋＋，g′(x)≤0在[1，2]恒成立等價于當x∈[1，2]時，a≤－2x2－x恒成立，又t＝－2x2－x＝－2＋，x∈[1，2]是減函數，∴當x＝2時，t＝－2x2－x取得最小值－10.所以a≤－10，即實數a的取值范圍為(－∞，－10].19．（1）元；（2）輪船公司要獲得最大利潤，游輪的航速應為．【分析】（1）設游輪以每小時的速度航行，游輪單程航行的總費用為元，求出函數解析式，再根據利潤收入成本計算可得；（2）利用函數的單調性，即可求出函數的最小值．【詳解】解：設游輪以每小時的速度航行，游輪單程航行的總費用為元，游輪的燃料費用每小時元，依題意，則，，（1）當時，（元，輪船公司獲得的利潤是元．（2）因為，所以，令得，，當時，，即在上單調遞減；當時，，即在上單調遞增；故當時，有極小值，也是最小值，，所以輪船公司要獲得最大利潤，游輪的航速應為．20．（1）(－∞，－1)和；（2）.【解析】（1）求出導數，解不等式，求出單增區間；（2）利用三次函數的特征，要使f(x)有三個零點，只需f(x)極大值×f(x)極小值<0，解不等式即可.【詳解】解：(1)，則f′(x)＝3x2＋2x－1，由f′(x)>0，得x<－1或x>，所以函數f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)和.（2）由（1）知，在取得極大值，在取得極小值函數f(x)有三個零點，解得實數的取值范圍.【點睛】函數的單調性與導數的關系：已知函數在某個區間內可導，（1）如果>0，那么函數在這個區間內單調遞增；如果<0，那么函數在這個區間內單調遞減；（2）函數在這個區間內單調遞增，則有；函數在這個區間內單調遞減，則有；21．(1)最大值為，最小值為(2)【分析】（1）求導，利用導數判斷原函數的單調性，進而確定最值；（2）求導，利用導數判斷原函數的單調性，進而確定極值點，注意討論與的大小關系.【詳解】（1）當時，則函數，，令，解得或，當時，，當時，，則函數在上單調遞減，函數在上單調遞增，∴在時取得極小值為，且，故在上的最大值為，最小值為.（2）∵，則①當時，，函數單調遞增，無極值，不合題意，舍去；②當時，令，得或，∴在，上單調遞增，在上單調遞減，故函數在時取得極大值，在時取得極小值，∴；③當時，令，得或，∴在和上單調遞增，在上單調遞減，故函數在時取得極大值，在時取得極小值，∴，解得.綜上所述：實數的取值范圍是.22．(1)答案見解析