腳本——非平穩(wěn)時間序列(ppt1,ppt2)同學(xué)，你好，今天我們來介紹非平穩(wěn)時間序列及其在中國人口預(yù)測中的應(yīng)用。(ppt3)首先，先來介紹一下非平穩(wěn)時間序列的背景。(ppt4)（動畫1）我們?yōu)槭裁匆芯糠瞧椒€(wěn)時間序列呢？（動畫2）來看下面這張圖，它反映了我國GDP的數(shù)據(jù)變化，可以明顯的看出，我國的GDP是有上升的趨勢的，也就是說我國GDP的均值是隨著時間在不斷變化的。（動畫3）因此，對于一個非平穩(wěn)時間序列而言，時間序列的某些數(shù)字特征是隨著時間變化而變化的。而現(xiàn)實中的大多數(shù)經(jīng)濟數(shù)據(jù)都是非平穩(wěn)的。(ppt5)（動畫1）下面我們來看非平穩(wěn)時間序列的定義與識別。（動畫2）如果一個時間序列的均值或方差隨著時間變化，那么這個時間序列數(shù)據(jù)就是非平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)；如果一個序列是非平穩(wěn)的序列，常常稱這一序列具有非平穩(wěn)性。（動畫3）如果時間序列??_??不滿足下面任意一個平穩(wěn)性條件，則該序列是非平穩(wěn)的：（動畫4）第一點，??_??的均值不隨時間變化，即??(??_??)=??。（動畫5）第二點，??_??的方差不隨時間變化，即??????(??_??)=??(??_?????)的平方=??的平方。（動畫6）第三點，任意兩期的??_??與??_(?????)之間的協(xié)方差僅依賴于時間間隔，而與時間t無關(guān)，即??_??=??[(??_?????)(??_(??+??)???)]。(ppt6)接下來我們來討論ARIMA模型的建模。(ppt7)（動畫1）先引入d階差分的表示。（動畫2）d階差分后序列可以表示為X_t的d階差分等于sigamai從1到d(?1)的d次方乘以??_??^????乘以x_(???i)，式中??_??^??等于d的階乘，除以i的階乘乘上（d-i）的階乘，即差分后序列等于原序列的若干序列值的加權(quán)和，而對它又可以擬合自動回歸移動平均（ARMA）模型，所以稱它為求和自回歸移動平均模型。(ppt8)（動畫1）下面我們來講解ARIMA(p,d,q)模型。（動畫2）具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為求和自回歸移動平均模型，簡記為??????????(??,??,??)模型：（動畫3）第一點；??(??)作用在??_??的d階差分=??(??)作用在??_??，變換得??_??的d階差分=??(??)除以??(??)*??_??，第二點，??_??的均值為0，方差為σ_??的平方，并且當(dāng)t不等于s，??_??和??_s無關(guān)，即??_??是零均值、方差為??_??方的平穩(wěn)白噪聲。第三點，對任意的s小于t，??_??與??_??無關(guān)，即當(dāng)期的隨機干擾與過去的序列值無關(guān)。（動畫4）式中，d階差分等于（1-B）的d次方。??(??)=1???_1*???????_??*??的??次方，為平穩(wěn)可逆????????(??,??)模型的自回歸系數(shù)多項式；??(??)=1???_1*???????_??*??的q次方，為平穩(wěn)可逆????????(??,??)模型的移動平滑系數(shù)多項式；??_??為零均值白噪聲序列。（動畫5）ARIMA模型的實質(zhì)就是差分運算與ARMA模型的組合。(ppt9)（動畫1）（見背板）對于模型中的參數(shù)，特別地：（動畫2）當(dāng)??=0時，??????????(??,??,??)模型實際上就是????????(??,??)模型；當(dāng)p=0時，??????????(0,??,??)模型實際上就是??????(??,??)模型；當(dāng)??=0時，??????????(p,??,0)模型可以簡記為??????(??,??)模型。特別地，當(dāng)??=1,??=??=0時，??????????(0,1,0)模型為??_??=??_(???1)+??_??，該模型被稱為隨機游走模型。(ppt10)（動畫1）（見背板）??????????(??,??,??)模型的一般表示方法為：??(??)*(?????)的d次方作用在??_??=??(??)作用在??_??。（動畫2）和????????模型一樣，也可以用歷史觀測值的線性函數(shù)表示，記??_??=??_??+??_??*??_(?????)+??_??*??_(?????)+?=??(??)作用在??_??。（動畫3）式中??_1,??_2,?的值由如下等式??(??)*(?????)的d次方*??(??)=??(??)確定，記??星(??)=??(??)*(?????)的d次方=?????_??*?????_??*??^??+?。(ppt11)（動畫1）（見背板）容易驗證??_1,??_2,?的值滿足如下遞推公式：??_??=??_?????_??，??_??=??_????_??+??_?????_??，??_??=??_????_(j???)+?+??_(??+??)??_(????????)???_??，式中，當(dāng),??>??時，??_??=??；j小于1時，??_??=0；j等于0時，??_??=1。(ppt12)（動畫1）（見背板）那么，??_(??+??)的真實值為??_(??+??)=(??_(??+??)+??_????_(??+?????)+?+??_(?????)??_(??+??))+(??_????_??+??_(??+??)??_(?????)+?)（動畫2）由于??_(??+??),??_(??+???1),?,??_(??+1)的不可獲得性，因此??_(??+??)的預(yù)測值只能為??_??

(??)heta=??_??星*??_??+??_??星*??_(?????)+??_??星*??_(?????)+?（動畫3）真實值和預(yù)測值之間的均方誤差為??[??_(??+??)???_??(??)heta]方=(??+??_??方+?+??_(?????)方)*??方+(??_(??+??)???_??星)方*??方，j從0到無窮求和。（動畫4）要使均方誤差最小，當(dāng)且僅當(dāng)??_??星=??_(??+??)，（動畫5）所以，在均方誤差最小的原則下，??期的預(yù)報值為??

_??(??)heta=??_??*??_??+??_(??+??)*??_(?????)+??_(??+??)*??_(?????)+?(ppt13)（動畫1）則??期的預(yù)測誤差為??_??(??)=??_(??+??)+??_??*??_(??+?????)+?+??_(?????)*??_(??+??)（動畫2）真實值等于預(yù)測值加上預(yù)測誤差??_(??+??)=(??_??*??_??+??_(??+??)*??_(?????)+??_(??+??)*??_(?????)+?)+(??_(??+??)+??_????_(??+?????)+?+??_(?????)*??_(??+??)=??

_??(??)heta+??_??(??)（動畫3）那么，??期預(yù)測的方差為(??+??_??方+?+??_(?????)方)*??方(ppt14)接下來我們來看一個案例分析——中國人口預(yù)測。(ppt15)1949—2001年中國人口時間序列數(shù)據(jù)見表1：中國人口在1949為5億多，到2001年增長到12億多。(ppt16)先作出中國人口增長圖，發(fā)現(xiàn)該序列明顯非平穩(wěn)，因此（動畫1）做一階差分得到（動畫2）差分后的序列圖，初步判斷其是平穩(wěn)的。(ppt17)（動畫1）做出差分后序列滯后10階的自相關(guān)系數(shù)圖。（動畫2）如下圖所示。（動畫3）根據(jù)圖3中的Prob的系數(shù)都小于0.05，可以判斷差分后的序列平穩(wěn)。（動畫4）根據(jù)經(jīng)驗，可以近似嘗試用AR(1),MA(1),ARMA(1,1),ARMA(1,2),ARMA(1,3)等模型進行不斷擬合比較。（動畫5）根據(jù)赤池檢驗，我們發(fā)現(xiàn)AR(1)模型的AIC檢驗值最小。(ppt18)我們?nèi)?945-2000這段時間的數(shù)據(jù)進行分析，留下2001年的與預(yù)測的對比。（動畫1）根據(jù)差分序列后的序列數(shù)據(jù)，我們得到AR(1)模型的估計結(jié)果。（動畫2）如下圖所示，黃色圈中是該模型的估計值。（動畫3）根據(jù)以上分析，我們得出這一模型形式如下:????_??=0.1429+0.6171????_(???1)+epsina_??。(ppt19)（動畫1）我們來預(yù)測2001年中國人口數(shù)，（動畫2）已知2001年中國人口實際數(shù)是12.7627億人，預(yù)測值為12.788億人，相對誤差為0.2%。(ppt20)最后我們來看一下時間序列分析應(yīng)用。(ppt21)（動畫1）時間序列分析應(yīng)用可以用來地震前兆預(yù)測。（動畫2）也可以用來控制環(huán)境污染。（動畫3）時間序列分析還常用在國民經(jīng)濟宏觀控制、市場潛量預(yù)測、氣象預(yù)報、農(nóng)作物病蟲災(zāi)害預(yù)報、天文學(xué)和海洋學(xué)等方面。(ppt22)（動畫