【2022版】典型高考數學試題解讀與變式

考點06指數函數圖象與性質

一'知識儲備匯總與命題規律展望

1.知識儲備匯總：

(1).〃次方根概念與表示

定義一般地，如果爐=〃，那么X叫做4的"次方根，其中〃>1,且〃6N*.

正數的n次方根是一

個正數

”是奇數。的"次方根用符號簫表示

負數的〃次方根是一

個負數

性質

正數4的正的〃次方根用符號缶表示，負的〃

及表正數的n次方根有兩

個，這兩個數互為相反次方根用符號一缶表示.正的"次方根與負的

示〃是偶數

數

n次方根可以合并寫成土名(a>0).

負數沒有偶次方根

0的任何次方根都是0,記作如=0.

(2)根式概念

式子名叫做根式，這里〃叫做根指數，〃叫做被開方數.

(3)根式的性質

a,〃為奇數

①函）"=〃.②"=?

為偶數;

(4)分數指數幕

in1*tni

①6（”>0,加,〃eN,且〃>1）,②a〉0,加,N*,且〃>1）

0的正分數指數基等于0；0的負分數指數某沒有意義

(5)無理數指數幕

一般地，無理數指數幕43>0,a是無理數)是一個確定的實數;

(6)實數指數嘉的運算性質

①ar-as=a,+s（a>0,r,s^R）.②（a‘）'=。"（。>0",s￡R）.

③（a匕）r=a1br{a>0,h>0,rG/?）.

(7)指數函數概念：形如y=a、(a>0且awl)函數叫指數函數，其中x是自變量，函

數定義域為R.

(8)指數函數圖象與性質

y=axa>\0<4<1

片nr

…普,1

圖像-?半一片1

-c7|~I?0,~

定義域R

值域(0,+oo)

性

過定點(0,1)

質

單調性在(-8,+8)上是增函數在(-8,+8)上是減函數

函數值分布當x>0r時,y>1；x<0時，0<><1當x>0時，0<><1；x<0時，y>l

(9)指數函數在第一象限按逆時針方向底數依次增大.

2.命題規律展望：指數與指數函數概念、圖像、性質是歷年的熱點和重點，常以指數函數及

其圖像與性質為載體，考查指數型函數定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性等圖像與性

質，特別是以指數函數為載體的復合函數更是考查的重點，難度既有容易題也有中檔題還有

難題，分值常為5分.學％科網一

二'題型與相關高考題解讀

1.指數運算

1.1考題展示與解讀

例1.【2020年高考全國I卷文數8】設alog34=2,則=()

A.—B.-C.-D.-

16986

【答案】B

【思路導引】首先根據題中所給的式子,結合對數的運算法則，得到log34〃=2，即4“=9，

進而求得4“=",得到結果.

【解析】由alog34=2可得log34"=2,；.半=9，有4一"=g,故選B.

【專家解讀】本題的特點是注重基礎，本題考查了指數式與對數式的互化，考查塞的運算性

質，考查數學運算學科素養.解題關鍵是正確進行指數式與對數式的互化.

1.2【典型考題變式】

【變式1：思維變式】已知九,log32=l,則4"=()

A.4B.6C.4啕9D.9

【答案】D

【解析】?.”,log32=l,，x=log23,晦3=4啕9=9,故選D

,、3、，x<01

【變式2：改編條件】已知函數f(x)=4、，則的值是()

log2x>x>02

A.-1B.3C.D.V3

3

【答案】c

【解析】由題意可得，f(工)=102』=-1，(f(!))=f(-1)=3一|=!，故選c.

§

22223

2*T—1X^1

【變式3：改編結論】已知函數/5)=,二一，若/(a)=l,則/(I-4)=()

-log2(3-x),x<1

A.2B.-2

C.1D.-1

【答案】B

【解析】當a之1時,20-i-1=1,即a=2,則/(1-a)=-log24=-2>當a<1時,-log式3-。)=L即

a=|，不合題意，故f(l-a)=-2應選B.

f(x+1),x<4

【變式4：改編問法】已知f(x)=11?、，貝If(k)g23)=()

(y)-x>4

A.B.J-C.1D.1

122442

【答案】B

【解析】由題意的,V2=log24>log23>log22=1,.*.f(log23)=f(l+log23)=f(2+log23)

=f(3+log23)=(1)3+log23=li故選B.

224

2.比較指數值大小

2.1考題展示與解讀

421

例2【2016高考新課標3理數】已知a=2?,b=^,c=25§,則()

(A)b<a<c(B)a<b<c(C)b<c<a(D)c<a<b

【命題意圖探究】本題主要考查指數函數與黑函數的圖象與性質，是容易題.

【答案】A

422j22

【解析】因為a=2§=4§>45=b,c=253=53>43=a,所以8<a<c,故選A.

【解題能力要求】轉化與化歸思想、運算求解能力

【方法技巧歸納】比較指數的大小常常根據三個數的結構聯系相關的指數函數與對數函數、

幕函數的單調性來判斷，如果兩個數指數相同，底數不同，則考慮基函數的單調性；如果指

數不同，底數相同，則考慮指數函數的單調性；如果涉及到對數，則一聯系對數的單調性來

解決.

2.2【典型考題變式】

【變式1：改編條件】若0<c<l,則

A.ac<hcB.abc<hac

C.a\oghc<b\ogucD.log/〈log/

【答案】C

【解析1選項A,考慮基函數y=x,，因為c>(),所以y=為增函數，又。>匕>1,

所以a。〉。。，A錯.對于選項B,abc<bac又y=(2)*是減函數，所以B

aaa

錯.對于選項D,由對數函數的性質可知D錯，故選C.

x

【變式2：改編結論］已知實數x,y滿足a<ay(0<a<l),則下列關系式恒成立的是()

A.In(x2+l)>ln(y2+l)B.sinx>siny

C.x3>y3D.—>~—

x2+ly2+l

【答案】C

【解析】：實數x,y滿足ax<ay(OVaVl),；.x>y,A.取x=2,b=-3,不成立；B.取

x=jt,y=-兀，不成立；C.由于y=x3在R上單調遞增，因此正確；D.取x=2,y=-1,不

成立，故選C.

【變式3：.改編問法】設e為自然對數的底數，則a,"，e"-l的大

小關系為()

A.e"-1<a<a'B.a'<a<e"—1C.a'<e"-l<aD.a<e"-l<a’

【答案】B

【解析】因為()<a<l，所以l<e"<e,相<1,故e"-1最大，而當0<a<1時，y=ax

為.遞減函數，所以#'<“，故選B。

3.含指數型函數的圖象應用

3.1考題展示與解讀

例3.【2018年理新課標I卷】已知函數/(%)=<‘'*'°'g(x)=/(%)+X+〃.若g(x)

Inx,x>0,

存在2個零點，則。的取值范圍是

()

A.[—1,0)B.[0,+co)C.[-1,+co)D.[1,+co)

【答案】C

【解析】函數g(x)=/(x)+x+a存在2個零點，即關于x的方程/(x)=-x—。有2個

不同的實根，即函數/(x)的圖象與直線y=—x—a有2個交點，作出直線丁=一工一。與函

數/(幻的圖象，如圖所示，由圖可知，一解得故選C.

【解題能力要求】轉化與化歸思想、數形結合思想

(方法技巧歸納】己知函數有零點(方程有根)求參數取值范圍常用的方法

.(1)直接法：直.接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍.

(2)分離參數法：先將參數分離，轉.化成求函數值域問題加以解決.

(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖像，然后數形

結合求解.

3.2【典型考題變式】

【變式1：改編條件】函數/(X)=2'+log2W的零點個數為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】令y=2*,y=-log2|x|,在同一直角坐標系，作出函數y=2-'與y=-log2|X

的圖像，如下圖

y

2

^3-2Xl\O1k23x

由圖像可知，函數“力=2'+蜒2兇的零點個數為2個.

【變式2：改編結論】若函數〃x)=|log“乂一2r(a>O,aHl)的兩個零,點是根,〃，則

()

A.rnn=\B.nm>\C.mn<\D.以上都不對

【答案】C

t解析】由題設可得|logK=；S,不妨設4>1,畫出方程兩邊函數y=|l

ogHj=的圖像如圖,

結合圖像可知0<m(L力1,且Tog產=；!；，log/=；；；，

以上兩式兩邊相減可得

loga(?MM)=；1j1［<0,所以0<WM<1,應選答案C。

,m1n2

【變式3：改編條件和結論】函數y=2f一*在［_2,2］的圖像大致為

A.B.

【答案】D

【解析】:y=2>一6同是偶函數，設y=2，-eE,則/⑵=2x2?-e?=8-e?,所

以0</(2)<1,所以排除A,B；當0領Jx2時，y=2x2-ex,所以y'=4x—e"

又(yy=4-e"當0<x<ln4時，(y')'>0,當In4cx<2時，(y')'<0，所以

y=4x-e*在(0,ln4)單調遞增，在(In4,2)單調遞減，所以y'=4無一e'在［0,2］有

-1W4(ln4-l),所以y'=4x—e'在［0,2］存在零點￡,所以函數>=2/一"在

［0,￡)單調遞減,在(￡,2］單調遞增,排除C,故選D.

指數型函數性質

4.1考題展示與解讀

例4.［2021新高考I卷13］已知函數/(x)=x3(a.2'_2T)是偶函數，則

【答案】1

【分析】利用偶函數的定義可求參數。的值.

【解析】V/(x)=x3(a-2x-2-v),故〃—x)=—六。？*—2,),?.?/(X)為偶函數,

3xx3x-A

故/(-x)=/(x),時x(a-2-2-)=-x(a-2--2'),整理得到(a-1)(2'+2)=0,

故a=l,

故答案為：I.

【方法技巧歸納】對指數型函數性質的問題，對奇偶性的問題，利用奇偶性定義和指數運算

進行判定，對已知函數性質，求參數問題，可以用特值法.

4.2【典型考題變式】

【變式1：改編條件】下列函數中，既是偶函數，又在(0,長。)上單調遞增的是()

cosx

A.y=ln(|x|-l)c.yD.y^ex+e~x

w

【答案】D

【解析】四個函數均為偶函數，下面判斷單調性;

對于A,y=ln(|x|—1)在區間(0,1］無意義，故A錯誤；

對于B,y=X—：在區間(0,1］上單調遞減，故B錯誤；

COSX

對于C,y=cosx為周期函數，所以y丁在(0,+。。)上不具有單調性；

對于D,y=e*+e-*是偶函數，又在(0,+8)上單調遞增.，故選：口學@科網

【變式2：改編結論】若函數〃x)=l—］七是奇函數，則使成立的x的取值

范圍是.

【答案】［1,+8)

［解析］由題意得〃x)+/(_x)=0nl_7T三+］_亍三=0=(。_1)(2=1)=0=>4=1

21

X

^1-_^>A=>2>2=>X>1

2+13

【變式3：改編問法】已知函數必為=q普是定義在R上的奇函數，且函數以乃=?在

(0,+8)±單調遞增，則實數a的值為()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】A

【解析】?.?函數/■(6=嗤1是定義在R上的奇函數，二函數r(o)=噤=o,則。=±1，若

函數g(x)=號=1+g在(0,+8)上單調遞增，貝必<0，［a=-1，故選A.

4.指數型函數與不等式

5.1考題展示與解讀

例5.【2020年高考北京卷6】已知函數/(外=2'-彳-1,則不等式/。)>0的解集是()

A.(-1,1)B.y,_i)u(i,+8)C.(0,1)

D.(,,0)U(l，+8)

【答案】c

【解析】不等式f(X)>0化為2“>x+l,在同-直角坐標系下作出y=2x,y=x+l的圖象(如

圖)，得不等式/(x)>0的解集是(0/)，故選C.

【專家解讀】本題的特點是注重基礎，本題考查了簡單指數不等式的解法，考查數形結合思

想，考查數學運算、數學直觀學科素養.解題關鍵是正確作出函數圖象，利用圖象解決問題.

5.2【典型考題變式】

2~x-l,x<0

【變式1：改編條件】函數f(x)={，滿足f(x)>l的x的取值范圍()

X2.X>O

A.(-1,1)B.(-1,+oo)C.{x|x>0或x<-2}D.{x|x>l或x<-l}

【答案】D

【解析】當蟀0時，f(x)>1即2X>2=21,/.-x>l,x<-1,當x>0時，f(x)>1即

2

x>bx>l,綜上，x<-1或x>l,故選D.

【變式2：改編結論】設/■(4)=弓尸一爐，已知0<a<b<c,且若%o

是函數“幻的一個零點，則下列不等式不可能成立的是()

A.x0<aB.0<x0<1C.b<XQ<CD.a<xQ<b

【答案】D

【解析】因/■'(%)=(1)xlni-3x2,且(療>0,嗎<0,-3/±0,故

/■，(x)=(i)xln|-3x2<0.即函數〃?=(?*—爐單調遞減，即該函數只有一個零點，因

此若x(j<a,則0>/(a)>f(b)>/(c］，即/'(al/Xb)/。:)<0成立，答案A正確；因

/■(1)=1-1<0，若xo<l<a<b<c,貝ijf(a)>O,f(b)>0,f(c)<0，若

0<%o<a<1<b<c,則/'(a)■/1(bl/XGCO也成立，故答案B正確。若b<而<c,則

/(a)>O,f(b)>0J?<0,則有<0成立，故答案C正確：若a<孫<b,

則/"(a)>O,f(b)<OJ(c)<0,，則<0不成立，應選答案D。

【變式3：改編問法】函數/(x)=，2*-；+也(1一九)的定義域是()

A.[-1,2)B.(-2,1)C.(-2,1]D.[-2,1)

【答案】D

2X—1>0

【解析】由題意得，{「陶=>-2<x<1,故函數“X)的定義域為[—2,1),故選D.學。

科網

5.指數型函數方程

6.1考題展示與解讀

例6【2015高考山東，理10]設函數/(x)T,，則滿足/(/(a))=2/?的a取

2,x21

值范圍是()

■?1「2\

(A)-,1(B)[0,1](C)-,+oo(D)[l,+oo)

-3」|_3J

【命題意圖探究】本題主要考查分段函數、函數方程及分類整合思想，是難題.

【答案】C

【解析】當。之1時，f(a)=2a>l,所以，/(/(?))=2/(a，,即a>1符合題意.

22

當時，"4)=為一1若/(〃可)=2m'，則/9)21,en：3a-l>La>-，所以

適合題意綜上，a的取值范圍是[故選C.

【解題能力要求】運算求解能力、分類整合思想

【方法技巧歸納】方程/(x)=0的根的個數等價于函數y=/(x)的圖象與x軸的交點個數,

若函數y=/(x)的圖象不易畫出，可以通過等價變形，轉化為兩個熟悉的函數圖象的交點

個數問題.

6.2【典型考題變式】

【變式1：改編條件】設函數/(x)={2，X~Q，若對于任意給定的ye(2,+oo)都存

log2x,x>0

在唯一的xeR,滿足/(/(x))=2a2y2+沖，則正實數a的最小值是()

A.2B.-C.-D.4

24

【答案】C

【解析】函數〃上{?*>0的值域為員

,.,/(x)=2x,(xC0)的值域為(0J;/(x)=7og,x(x>0)的值域為凡

..4x)的值域為(0J上有兩個解,

要想/(/(切=2『/+④在［E。y)上只有唯一的x€R滿足，

必有/(/(X))>l(2fl>2+ay>0).

..<x)>2即7og?x>2,解得：x>4.

當r>4時n與加(x))存在一一對應的關系。

二問題轉化為2a2y2+丹〉Lye(Z+oo)，且必).

??.(2@T)0+i)>0解得：y>^~或者y<-1(舍去).

2aa

，W2彳導:9故選C.

2a4

X

【變式2：改編結論】已知函數/(6=區^-<x<e2^,與函數g(x)=e),若/(x)

與g(x)的圖象上分別存在點M,N,使得MN關于直線y=x對稱，則實數上的取值范圍

是().

1］「2］(2、「3一

A.—,cB.—,2eC.—,2eD..—,3e

_e\eJ\e)Le

【答案】B

【解析】由題設問題可化為函數y=g(x)的反函數y=loggx的圖像與/(%)=依在區間

丁磊］上有解的問題。即方程近=log『在區間［7/］上有解，由此可得-4〈依《2,

422F2

即一一<k<~,所以一一<k<2e,應填答案——,2e。

xxe\_e

【變式3：改編問法】設函數/(力={1「",若互不相等的實數Q/,C滿足

-x+5,x>2

/(a)=/(》)=/(c),則2"+2”+2c的取值范圍是()

A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)

【答案】B

【解析】畫出函數/（x）的圖象如圖所示，不妨令a<b〈c,則1—2"=2"—1,則

2"+2”=2.結合圖象可得4<c<5,故16<2'<32,...18<2"+2〃+2'<34.選B.學

科#網

三'課本試題探源

必修1P62頁習題2.1B第1題：求不等式。2口>。且。71）中x的取值范圍.

【解析】當0<a<l時，y=a*在區間+~）上是減函數，所以原不等式等價于

2x-7v4x-l,解得1>-3；

當。>1時，丁=優在區間（-8,+8）上是增函數，所以原不等式等價于2x—7>4x—1,

解得x>—3>

綜上所述，當0<。<1時，x的取值范圍為（一3,+8）；當a>l時，x的取值范圍為（一8,-3）.

四'典型高考模擬試題演練

一、單選題

2

1.（2021?陜西高三其他模擬（理））已知函數〃、）=不行（4>1）,給出下列四個命題：

①〃x）在定義域內是減函數；

②g（x）="x）-l是非奇非偶函數；

③/z（x）=/'（x）+/（l-X）的圖象關于直線x=l對稱；

④F（X）=|〃X）T是偶函數且有唯一一個零點.

其中真命題有（）

A.①③B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【分析】

利用復合函數單調性的求法判斷〃》）=島（。>1）單調性，判斷g（-x）+g（x）=0是否成立

即可判斷g(x)的奇偶性，應用特殊值求出M。)、力⑵，反證法判斷圖象是否關于直線x=l

對稱，利用尸(x)=V(x)-l|的性質即可確定零點的個數.

【詳解】

29

函數f(x)=/w(a>l)可看成函數〃=優+1(〃>1)與函數y=￡的復合函數，

2

①函數“在R上是增函數，函數y在(0,+?)上是減函數，故f(x)在定義

域內是減函數，真命題；

②g(x)=y(x)-l=-^-l,且g(T)+g(x)=0,故g(x)是奇函數,假命題；

③〃(O)=/(O)+f⑴=1+高，〃(2)=〃2)+/(-1)=島+葛，若〃(0)=〃(2),則。=1,

假命題；

④g(x)=/(x)—l是奇函數，則*x)=|/(x)-l|是偶函數，且當x>0時，

產(》)=/四一1|=1一品在(0,+?)上是增函數，故F(x)>F(0)=0,函數有唯一個零

點0,真命題.

故選：D.

2.(2021.四川省綿陽南山中學高三其他模擬(文))函數/")=的圖象大致為()

【答案】B

【分析】

先判斷函數的奇偶性排除選項A,再根據/(1)>1排除選項D,又當x―物時，f(x)f+=?,

排除選項C,即得解.

【詳解】

由題得{RXKO},函數的定義域關于原點對稱.

/(-x)=一r-='?「=-/(x),所以函數/(x)是奇函數，

所以排除選項A：

又,(1)=一『>0,所以排除選項D：

又當xf3時，f(x)=《士，e-'fO,指數函數丫=?，是爆炸式增長，所以+oo,

XX

/(x)~+8,所以排除選項C；

故選：B

3.(2021?全國高三其他模擬(理))已知。月=則下列結論一定正確

a〃+1

的是()

A.ln(tz+Z?)>2B.ln(a-/?)>0

C.2U+1<2bD.2rt+2ft<23

【答案】B

【分析】

(,a+1/J+l1paJ+l1

a>tb>\,且J=即J=—+」_得一一上—二，>o,構造函數

a/?+1ab+1b+1ab+1b+1

f(x)=￡,x>l,求導后利用導數的正負求得函數單調遞增，利用/(。)-/。+1)>0得

a-b>\,結合賦值法即可判斷出結果.

【詳解】

.,...eb+'+\印""1陽e"eM1八

a>\,b>l,且一=-----，即一=----+----得--------=---->0

ab+\ab+\b+\ab+\b+\

設〃x)=?,x>l,

則/（"=￡與11>0恒成立,

在（1，茁）上單調遞增,

/、/xea尸1

a>b+\,即。一〃>1,

故ln（a-b）>0,B正確；

令。=42=2滿足。-6>1,但山（。+與>2不成立，故A錯誤;

令。=41=2滿足4一萬>1,2"+I<2’不成立，故C錯誤；

令。=41=2滿足。―匕>1,2"+2”<23不成立，故D錯誤；

故選：B.

4.（2021?全國高三其他模擬（理））已知函數〃x）為奇函數，當x<0時，/（x）=2'+2,

則〃1）=（）

A.-4B.--C.4D.-

22

【答案】B

【分析】

由奇函數的性質有f⑴,結合x<0的函數解析式即可求值.

【詳解】

由題設知：/(D=-/(-D=-(2-1+2)=-1.

故選：B

5.（2021.山東高三其他模擬）已知函數/（x）=|U'（:<D，滿足對任意西工々，都

（?-2）x+3a,（x>l）

有3^J<o成立，則。的取值范圍是（）

占一尤2

A.?e（0,l）B.ae,C.ae（0,1D.?e：,2）

【答案】C

【分析】

將條件"*）［"*）<0等價于函數函數〃x）為定義域上的單調減函數，由分段函數的單

X\~X2

調性要求，結合指數函數、詼函數的單調性得到關于。的不等式組，求解即得.

【詳解】

由題意，函數/%）對任意的x戶馬都有<0成立，

ax-',(x<l)

即函數f（x）=為R上的減函數,

(Q-2)X+3〃,(XN1)

0<a<l

可得，a-2<0，解得0<“43,

4

\>a-2+3a

故選:C.

,2、

3/［\log—3

6.（2021?全國高三其他模擬（理））若a=5'叼/=仁］31=（6廣f，則（）

A.c>a>hB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【分析】

根據指對數運算法則化簡成相同真數，底數不同的對數式，然后根據指數函數的單調性求得

數的大小關系.

【詳解】

23|33

由指數、對數運算性質知，6=5"叼=5"呵,c=5”叼=5,臉，

333

貝U由log2->log?->log4-知

5陛4>5吹尚>5^4,U\ia>b>c

故選：D

7.（2021?全國高三其他模擬）設xeR,則“4、>2'''是。>1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】

把命題4，>2,化簡為x>0,再考查以x>0,x>l分別為題設，結論和結論，題設的兩個

命題真假即可作答.

【詳解】

因4'>2*。22*>2'o2x>xox>0,

乂x>0&x>l,而x>l=x>0,即“x>0"是"x>l"的必要不充分條件，

所以“4、>2,”是“x>l”的必要不充分條件.

故選：B

8.（2021?全國高三其他模擬）毛衣柜里的樟腦丸會隨著時間揮發而體積縮小，剛放進的新

丸體積為。，經過f天后體積V與天數r的關系式為丫若新丸經過50天后，體積變

為丁,則一個新丸體積變為點〃需經過的時間為（）

A.125天B.100天C.75天D.50天

【答案】C

【分析】

根據題意將當t=50時代入計算出e"=夠，然后再代入計算即可求出結果.

【詳解】

解析：由題意知a>0,當f=50時，有=

嗚=（"「得白哂

QQ

所以當丫=丁。時，有=4=小0”.

所以，=75.

故選：C

9.（2021?遼寧高三其他模擬）漁民出海打魚，為了保證運回魚的新鮮度（以魚肉內的三甲

胺的多少來確定魚的新鮮度，三甲胺是一種揮發性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細菌分解

產生的，三甲胺積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變質，進而腐敗），負被打上船后，

要在最短的時間內將其分揀，冷藏，已知某種魚失去的新鮮度力與其出海后時間?（分）滿足

的函數關系式為〃（f）=〃?”'，若出海后20分這種魚失去的新鮮度為20%；出海后30分鐘，

這種魚失去的新鮮度為40%,那么若不及時處理，打上船的這種魚大約在多長時間剛好失

去50%的新鮮度（）考數據：lg2“0.3

A.23分鐘B.33分鐘C.50分鐘D.56分鐘

【答案】B

【分析】

h（2O}=ma20=0.2（1Y（1Y

由題得3。八，，解方程可得Mt）=0°5x2博，再解方程0.05x21。=0.5即

h[30）=ma=0.4v7（J（J

可得答案.

【詳解】

/?（20）=ma2{}=0.2i

由題意可得%（30）=.3。=0.4'解得°=2而，瓶=0.05.

（_i_V

/?（?）=0.05x2記.

令力⑺=0.05x2,=0.5,即2三=10，

兩邊同時取對數，故"10?譬=33分鐘

1g2

故選：B

10.（2021.湖南高三其他模擬）若a=0.3°7,b=0.1°3,c=1.2°\則a,b,c的大小關系

是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【分析】

根據指數函數與暴函數的圖象與性質確定。，瓦c的范圍，對于a,b需要借助中間數據0.303進

行比較，然后與。比較大小即可.

【詳解】

???函數y=0.3"在/?上是減函數，

.?.0<0.3°7<0.3°3<0.3°=1,

又,基函數y=X03在（0,+8）上單調遞增，0.3<0.7,

.-.0<0.3°3<0.7°-3.所以

而函數y=1.2,是R上增函數，

.-.C=1.203>1.2°=1,:.c>b>a

故選：B.

11.（2021?河北唐山一中高三其他模擬）在流行病學中，基本傳染數凡是指在沒有外力介入，

同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數.凡一般由疾病的感染周期、

感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定.假設某種傳染病的基本傳染

數以=3.8,平均感染周期為7天，那么感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要

（）輪傳染？（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這4個人每人再傳染幾個人為

第二輪傳染……）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】

根據題意列出方程，利用指數運算性質求解即可.

【詳解】

感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染，

則每輪新增感染人數為7V,

經過〃輪傳染，總共感染人數為：

+|

1+9+琉+…I_/2?

1一%

1_□Qzr+I

即——：—=1000,解得〃a4.94,

1-3.8

所以感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要5輪傳染，

故選：B

【點睛】

等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等

比數列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數列的前"項和公式時,

應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.

12.（2021?重慶一中高三其他模擬）已知〃力=加+加是定義在［。-1,2目上的偶函數，那

么y=/（a"+。）的最大值是（）

A.1B.-C.5/3D.—

3、27

【答案】D

【分析】

根據題意，由函數奇偶性的定義分析“、6的值，即可得），=八。”+力的解析式，由復合函數

單調性的判斷方法分析￥=/（"'+與的單調性，據此分析可得答案.

【詳解】

解：根據題意，/（6=加+區是定義在ST,20上的偶函數，則有（。-1）+2。=3?-1=（）,

則a=；,

同時/（一x）=/（x），即at2+加=〃（_幻2+力（_l），則有法=0,必有6=0,

則/*）=$2,其定義域為［-］,|］,

11o107

則y=/（?"+力=力（尹，設r=（-）",若--W-）"則有?-.-iog3->o,

2

在區間［-iog3§，+?）上，r>0且為減函數，

一。）=31/在區間（0,9上為增函數，

1224

則產〃（$"］在「1。5；，+8）上為減函數，其最大值為/（1=方■,

故選：D.

2

13.（2021?全國高三其他模擬（文））（墨.

1Q

【答案】H

【分析】

利用指數塞和對數的運算宜接求出.

【詳解】

1Q

故答案為：

14.（2021?上海市青浦高級中學局三其他模擬）已知常數。>0,函數/*）=J一的圖象

經過點尸（P，g）、。（4，-"）,若2i=16pq,貝心=一。

【答案】4:

【分析】

首先將點P,。代入函數，并且變形為羅=-：，翁=-6,兩式相乘并結合已知條件即可求

【詳解】

2"_6_1_6

由條件可知于石=二=搟=二，得景1①

T_1_1___]_

2"+aq~~5^~~aq~~5，得翳=-6(2)

1+F2

①X②得立￡=1,

-2Pq

?/2p+q=16pq

2

=1,又。＞0,得。=4.

16

故答案為：4

15.(2021?四川高三三模(理))函數/U),g(x)分別是定義在H上的偶函數和奇函數，且

J(x)+2g(x)=ex,若對任意x￡(0,2],不等式y(2x)-mg(x)N0成立，則實數機的取值范圍是

【答案】(―，4夜]

【分析】由函數的奇偶性列方程組求解函數./U),g(x)的解析式，由_X2x)-〃?g(x巨0分離參數

得m4華?，通過換元法構造新函數結合基本不等式求取最值即可有結果.

g(x)

【詳解】根據題意，函數兀)g(x)分別是定義在R上的偶函數、奇函數，旦./U)+2g(x)=e',①

可得“一力+2g(-x)=el即/(%)-2g(x)=e-*,②

聯立①②，解得/(x)=；(，+eT),g(x)=；(e'-e-'),

設/=ex—e~x,

由不￡(0,2],可得，由"爐_二在xc(O,2]遞增，可得"(0,/—二),

對任意x￡(0,2],不等式人2戈)-〃吆(工巨0成立，

即m<〃2x)_2"/)2x丫+2產+2J2)

g(x)tLt)

又由f?0,e2—e-2],piij/+1>2>/2,

當且僅當f=0時等號成立，

貝ij止a=2x佇*l^=2x匚土2=2X(7+2]的最小值為4及，

g(x)e-，t<t)

若m?1((J在(°2]上恒成立，必有機《4\萬，

即用的取值范圍為(—co,4^2J

故答案為：(-8,4a].

【點睛】

方法點睛：已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：

(1)函數法：討論參數范圍，借助函數單調性求解；

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域或最值問題加以解決：

(3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.

16.(2021.浙江學軍中學高三其他模擬)已知函數/(x)=—三+彳3>0,"1)名。)=，

若對任意的不等式/(x)g(x-l)<3-"x)恒成立，則實數a的取值范圍是

【答案】(0，1)U(2,+8)

【分析】

113

/(x)g(x-l)<3-/(X)恒成立等價于滔、+]-；X<0恒成立，構造函數/I(x)

113

=士+；-；犬，然后利用導數求函數的最大值即可.

a'-122

【詳解】

8(工)=寧，g(x-l)=^—

1+XX

a-I2

因此/(x)g(x-l)<3-/(x),BP/(x)[g(x-l)+l]<3

,.,xe[l,+oo)

當“>1時，〃(x)<0,即網力在xefl,y)上單調遞減

???〃(》)3=可1)=二1+51一：3<。解得。>2

U—1Z乙

故。＞2

1

當0＜。＜1時，-y—＜0,則力（力=J1+

u—1“-122\2z.）

即當0＜。＜1時，//（犬）＜0在》€口,+8）恒成立

綜上：?e（0,1）U（2,a）

故答案為：（0,1）U（2,+8）

【點睛】

恒成立問題解題思路：

（1）參變量分離：

（2）構造函數：①構造函數，研究函數的單調性，求出函數的最值，解不等式即可；②構

造函數后，研究函數單調性，利用單調性解不等式，轉化之后參數分離即可解決問題.

17.（2021.湖南高三其他模擬）已知函數/"）=優3＞0且"1）的圖像過點A（-3,8）.

（1）求函數.f（x）的解析式；

（2）若函數/（x）在區間何2向上的最大值是最小值的4倍，求實數加的值.

【答案】（1）/