浙江省普通高等學校2024屆高三第二次模擬考試數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是正四面體的面內一動點，為棱中點，記與平面成角為定值，若點的軌跡為一段拋物線，則（）A． B． C． D．2．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是A．y與x具有正的線性相關關系B．回歸直線過樣本點的中心（，）C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg3．已知，則的值等于（）A． B． C． D．4．函數與在上最多有n個交點，交點分別為（，……，n），則（）A．7 B．8 C．9 D．105．在中，角所對的邊分別為，已知，．當變化時，若存在最大值，則正數的取值范圍為A． B． C． D．6．已知六棱錐各頂點都在同一個球（記為球）的球面上，且底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，若，，則球的表面積為（）A． B． C． D．7．直線與拋物線C：交于A，B兩點，直線，且l與C相切，切點為P，記的面積為S，則的最小值為A． B． C． D．8．已知隨機變量服從正態分布，，（）A． B． C． D．9．已知展開式的二項式系數和與展開式中常數項相等，則項系數為（）A．10 B．32 C．40 D．8010．已知命題：使成立．則為（）A．均成立 B．均成立C．使成立 D．使成立11．已知集合，集合，若，則（）A． B． C． D．12．已知關于的方程在區間上有兩個根，，且，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數在處的切線方程是____________.14．已知向量滿足，且，則_________．15．從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項活動，要求男生中的甲和乙不能同時參加，女生中的丙和丁至少有一名參加，則不同的選法種數為______.（用數字作答）16．在正方體中，分別為棱的中點，則直線與直線所成角的正切值為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前項和和通項滿足.（1）求數列的通項公式；（2）已知數列中，，，求數列的前項和.18．（12分）每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調查某一社區人們的幸福度．現從該社區群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數,結果見如圖所示莖葉圖,其中以小數點前的一位數字為莖,小數點后的一位數字為葉．若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸福”．(Ⅰ)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以這18人的樣本數據來估計整個社區的總體數據,若從該社區(人數很多)任選3人,記表示抽到“很幸福”的人數,求的分布列及．19．（12分）已知曲線C的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數方程是:（是參數）.（1）若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且,試求實數m值.（2）設為曲線上任意一點，求的取值范圍.20．（12分）已知等差數列的前n項和為，，公差，、、成等比數列，數列滿足.（1）求數列，的通項公式；（2）已知，求數列的前n項和.21．（12分）如圖，直三棱柱中，分別是的中點，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數（），不等式的解集為.（1）求的值；（2）若，，，且，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

設正四面體的棱長為，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，求出面的法向量，設的坐標，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標的關系，進而求出正切值．【詳解】由題意設四面體的棱長為，設為的中點，以為坐標原點，以為軸，以為軸，過垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則可得，，取的三等分點、如圖，則，，，，所以、、、、，由題意設，，和都是等邊三角形，為的中點，，，，平面，為平面的一個法向量，因為與平面所成角為定值，則，由題意可得，因為的軌跡為一段拋物線且為定值，則也為定值，，可得，此時，則，.故選：B.【點睛】考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時的情況，屬于中等題．2、D【解析】根據y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關關系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學某女生身高增加1cm，預測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學某女生身高為170cm，預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤．故選D．3、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得，，再由誘導公式有，所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選：A【點睛】本題考查了學生對二倍角公式的應用，要求學生熟練掌握三角函數中的誘導公式，屬于簡單題4、C【解析】

根據直線過定點，采用數形結合，可得最多交點個數，然后利用對稱性，可得結果.【詳解】由題可知：直線過定點且在是關于對稱如圖通過圖像可知：直線與最多有9個交點同時點左、右邊各四個交點關于對稱所以故選：C【點睛】本題考查函數對稱性的應用，數形結合，難點在于正確畫出圖像，同時掌握基礎函數的性質，屬難題.5、C【解析】

因為，，所以根據正弦定理可得，所以，，所以，其中，，因為存在最大值，所以由，可得，所以，所以，解得，所以正數的取值范圍為，故選C．6、D【解析】

由題意，得出六棱錐為正六棱錐，求得，再結合球的性質，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，六棱錐底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，可得此六棱錐為正六棱錐，又由，所以，在直角中，因為，所以，設外接球的半徑為，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結構特征，以及外接球的表面積的計算，其中解答中熟記幾何體的結構特征，熟練應用球的性質求得球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.7、D【解析】

設出坐標，聯立直線方程與拋物線方程，利用弦長公式求得，再由點到直線的距離公式求得到的距離，得到的面積為，作差后利用導數求最值．【詳解】設，，聯立，得則，則由，得設，則，則點到直線的距離從而．令當時，；當時，故，即的最小值為本題正確選項：【點睛】本題考查直線與拋物線位置關系的應用，考查利用導數求最值的問題．解決圓錐曲線中的面積類最值問題，通常采用構造函數關系的方式，然后結合導數或者利用函數值域的方法來求解最值.8、B【解析】

利用正態分布密度曲線的對稱性可得出，進而可得出結果.【詳解】，所以，.故選：B.【點睛】本題考查利用正態分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎題.9、D【解析】

根據二項式定理通項公式可得常數項，然后二項式系數和，可得，最后依據，可得結果.【詳解】由題可知：當時，常數項為又展開式的二項式系數和為由所以當時，所以項系數為故選：D【點睛】本題考查二項式定理通項公式，熟悉公式，細心計算，屬基礎題.10、A【解析】試題分析：原命題為特稱命題，故其否定為全稱命題，即．考點：全稱命題.11、A【解析】

根據或，驗證交集后求得的值.【詳解】因為，所以或.當時，，不符合題意，當時，.故選A.【點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算，屬于基礎題.12、C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡，構造新的函數，將方程的解的問題轉化為函數圖象的交點問題，畫出函數圖象，再結合，解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得，，作出的圖象，又由易知．故選：C.【點睛】本題考查了三角恒等變換，方程的根的問題，利用數形結合法，求得范圍.屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】，則，，.因此，函數在處的切線方程是，即.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數求函數的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解析】

由數量積的運算律求得，再由數量積的定義可得結論．【詳解】由題意，∴，即，∴．故答案為：．【點睛】本題考查求向量的夾角，掌握數量積的定義與運算律是解題關鍵．15、1【解析】

由排列組合及分類討論思想分別討論：①設甲參加，乙不參加，②設乙參加，甲不參加，③設甲，乙都不參加，可得不同的選法種數為9+9+5＝1，得解．【詳解】①設甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數為9，②設乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數為9，③設甲，乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數為5，綜合①②③得：不同的選法種數為9+9+5＝1，故答案為：1．【點睛】本題考查了排列組合及分類討論思想，準確分類及計算是關鍵，屬中檔題．16、【解析】

由中位線定理和正方體性質得，從而作出異面直線所成的角，在三角形中計算可得．【詳解】如圖，連接，，，∵分別為棱的中點，∴，又正方體中，即是平行四邊形，∴，∴，（或其補角）就是直線與直線所成角，是等邊三角形，∴＝60°，其正切值為．故答案為：．【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是根據定義作出異面直線所成的角．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）當時，利用可得，故可利用等比數列的通項公式求出的通項.（2）利用分組求和法可求數列的前項和.【詳解】（1）當時，，所以，當時，，①，②所以，即，又因為，故，所以，所以是首項，公比為的等比數列，故.（2）由得：數列為等差數列，公差，，，.【點睛】本題考查數列的通項與求和，注意數列求和關鍵看通項的結構形式，如果通項是等差數列與等比數列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數列與等比數列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數列連續兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規律的出現，則用并項求和法.18、(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先計算其逆事件，即人都認為不很幸福的概率，再用減去人都認為不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根據題意,隨機變量，列出分布列，根據公式求出期望即可．【詳解】(Ⅰ)設事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，則表示人都認為不很幸福(Ⅱ)根據題意，隨機變量，的可能的取值為；；；所以隨機變量的分布列為：所以的期望【點睛】本題考查了離散型隨機變量的概率分布列，數學期望的求解，概率分布中的二項分布問題，屬于常規題型．19、（1）或；（2）.【解析】

（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，在直角坐標條件下求出曲線的圓心坐標和半徑，將直線的參數方程化為普通方程，由勾股定理列出等式可求的值；（2）將圓化為參數方程形式，代入由三角公式化簡可求其取值范圍．【詳解】（1）曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為：直線的直角坐標方程為：圓心到直線l的距離（弦心距）圓心到直線的距離為：或（2）曲線的方程可化為，其參數方程為：為曲線上任意一點，的取值范圍是20、（1），（）；（2）.【解析】

（1）根據是等差數列，，、、成等比數列，列兩個方程即可求出，從而求得，代入化簡即可求得；（2）化簡后求和為裂項相消求和，分組求和即可，注意討論公比是否為1.【詳解】（1）由題意知，，，由得，解得.又，得，解得或（舍）.，.又（），（）.（2），①當時，.②當時，.【點睛】此題等差數列的通項公式的求解，裂項相消求和等知識點，考查了化歸和轉化思想，屬于一般性題目.21、(1)證明見解析(2)【解析】

（1）連接交于點，由三角形中位線定理得，由此能證明平面．（2）以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：證明：連接交于點，則為的中點．又是的中點，連接，則．因為平面，平面，所以平面．（2）由，可得：，即所以又因為直棱柱，所以以點為坐標原點，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個法向量為，同理可得平面的一個法向量為，則所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔