高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市大聯(lián)考2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則向量在上的投影是（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗在方向的投影為.故選：A.2.在中，已知是邊上一點(diǎn)，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，.故選：A.3.設(shè)，是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同的平面（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，若，，則或者或者相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則或者或者相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則，又，所以，故C正確；對(duì)于D，若，，，則或者或者相交，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，若三棱錐的外接球的表面積為100π，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐的外接球的半徑為，因?yàn)槿忮F外接球的表面積為100π，所以，三角形ABC的外接圓半徑為，三棱錐體積取最大值時(shí)，平面，此時(shí)，最大值為：.故選：B.5.已知復(fù)數(shù)，則的值為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，因此，.故選：D.6.下列說(shuō)法正確的有（）A.已知，，若與共線，則B.若，，則C.若，，為銳角，則實(shí)數(shù)的范圍是D.若，則一定不與共線〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，，，與共線，則，解得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足，，而向量與可以不共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，為銳角，則，且與不共線，即且，解得，C正確；對(duì)于D，若，，滿足，而與共線，D錯(cuò)誤.故選：C.7.所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐構(gòu)成一個(gè)正四面體，則該正四面體的內(nèi)切球與外接球的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，設(shè)為正三角形的中心，連接，根據(jù)對(duì)稱性可知正四面體的內(nèi)切球和外接球共球心且球心在線段上，連接，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則，故，設(shè)外接球的半徑為，則，故，解得，故內(nèi)切球的半徑為，所以，故內(nèi)切球與外接球的體積之比為.故選：A．8.已知非零平面向量，，滿足，，若與的夾角為，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解法一：由題可得，，所以要求的最小值，需求的最小值，因?yàn)椋c的夾角為，所以的最小值為，所以，即的最小值為.解法二：如圖，設(shè)，，，則，，由，知，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，連接，結(jié)合圖形可知，當(dāng)，，三點(diǎn)共線且在，中間時(shí)，取得最小值，由正弦定理得：，所以，故的最小值為.故選：A.9.在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.若，則 D.若復(fù)數(shù)滿足，則是實(shí)數(shù)〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，，則，解得，故是虛數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.10.如圖，在長(zhǎng)方體中，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.與異面C.平面 D平面平面〖答案〗A〖解析〗如下圖所示，連接，根據(jù)題意，由可得，，且；同理可得，且；由，而，所以不可能平行于，即A錯(cuò)誤；易知與不平行，且不相交，由異面直線定義可知，與異面，即B正確；在長(zhǎng)方體中，所以，即四邊形為平行四邊形；所以，又，所以；平面，平面，所以平面，即C正確；由，平面，平面，所以平面；又，平面，平面，所以平面；又，且平面，所以平面平面，即D正確.故選：A.11.已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且，，則棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭蔷匦危裕虼司匦蔚耐饨訄A的直徑為，半徑為，設(shè)棱錐的高為，根據(jù)勾股定理可得：，棱錐的體積為：.故選：B.12.設(shè)為向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗為向量，，向量的夾角為或則“”是”的充分必要條件.故選：C.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知與互相垂直，與互相垂直，則與的夾角為_(kāi)_____．〖答案〗0〖解析〗，，①，又，，②；由①②組成方程組，解得，，向量與的夾角的余弦值為，所以向量與的夾角為0.故〖答案〗為：0.14.如圖，在梯形中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)____________．〖答案〗〖解析〗如圖，過(guò)N，C作AB的垂線，垂足分別為M，E，由平面向量數(shù)量積知識(shí)得：，當(dāng)N與C重合時(shí)取等號(hào)，的最大值為8.故〖答案〗為：8.15.已知復(fù)數(shù)的虛部減去它的實(shí)部所得的差為，則__________.〖答案〗或〖解析〗因?yàn)椋裕裕獾没颍曰颍曰?故〖答案〗為：或.16.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是________.〖答案〗〖解析〗正四棱柱的高是4，體積是16，則底面邊長(zhǎng)為2，底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為，所以正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度為，四棱柱體對(duì)角線為外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為．故〖答案〗為：.三、解答題（本大題共5小題，共70分.）17.已知向量.（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若可以構(gòu)成平面上的一個(gè)基底，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）得到或2.（2）由已知得不平行，得到，所以且.18.如圖，在中，，，為線段的垂直平分線，與交與點(diǎn)為上異于的任意一點(diǎn).（1）求的值；（2）判斷的值是否為一個(gè)常數(shù)，并說(shuō)明理由．解：法1：（1）由已知可得，，.（2）的值為一個(gè)常數(shù)，為線段BC的垂直平分線，L與BC交與點(diǎn)D，E為L(zhǎng)上異于D的任意一點(diǎn)，，故.法2：（1）以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，L所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，可求，此時(shí)，，.（2）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為，，常數(shù)．19.如圖，三棱柱ABC–A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥側(cè)面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H為棱CC1的中點(diǎn)，D為BB1的中點(diǎn)．（1）求證：A1D⊥平面AB1H；（2）若AB=，求三棱柱ABC–A1B1C1的體積．解：（1）如圖，連接AC1，因?yàn)闉檎切危琀為棱CC1的中點(diǎn)，所以AH⊥CC1，從而AH⊥AA1，又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，AH?平面AA1C1C，所以AH⊥平面ABB1A1，又A1D?平面ABB1A1，所以AH⊥A1D，①設(shè)AB=a，因?yàn)锳C=AA1=AB，所以AC=AA1=2a，DB1=a，，因?yàn)锳B⊥AA1，所以平行四邊形ABB1A1為矩形，所以∠DB1A1=∠B1A1A=90°，所以，所以∠B1AA1=∠DA1B1，又∠DA1B1+∠AA1D=90°，所以∠B1AA1+∠AA1D=90°，故A1D⊥AB1，②由①②及AB1∩AH=A，可得A1D⊥平面AB1H．（2）方法一：取A1C1的中點(diǎn)G，連接AG，因?yàn)闉檎切危訟G⊥A1C1，因?yàn)槠矫鍭A1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，A1B1?平面ABB1A1，A1B1⊥AA1，所以A1B1⊥平面AA1C1C，又AG?平面AA1C1C，所以A1B1⊥AG，又A1C1∩A1B1=A1，所以AG⊥平面A1B1C1，所以AG為三棱柱ABC–A1B1C1的高，經(jīng)計(jì)算AG=，A1B1·A1C1=×2=，所以三棱柱ABC–A1B1C1的體積V=·AG=．方法二：取AA1的中點(diǎn)M，連接C1M，則C1M∥AH，所以C1M⊥平面ABB1A1，因?yàn)锳B=，所以AC=AA1=2，C1M=A1C1sin60°=2×，所以·C1M=×2×，所以三棱柱ABC–A1B1C1的體積V=3．20.如圖，直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，證明：平面平面．解：（1）連接交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，連接，又是中點(diǎn)，∴，又