高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省TOP二十名校2024屆高三下學期4月沖刺一數學試卷一?選擇題1.若復數滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以．故選：C．2.已知集合，則中元素的個數為（）A.9 B.8 C.5 D.4〖答案〗B〖解析〗依題意，解不等式，得，，而，因此，所以中元素的個數為8．故選：B3.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗構造函數，則在上單調遞增，所以．故選：C．4.函數與直線相切于點，則點的橫坐標為（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗設函數與直線相切于點，直線的斜率為，，所以，所以．故選：B．5.設，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，即，所以．故選：C．6.在中，若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗由，得，化簡得，當時，即，則直角三角形；當時，得，則為等腰三角形；綜上：為等腰或直角三角形，故D正確.故選：D.7.如圖是某質點作簡諧運動的部分圖象，位移（單位：）與時間（單位：）之間的函數關系式是,其中，振幅為2，則前3秒該質點走過的路程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由函數的圖象，可得，周期為，可得，所以，因為在函數圖象上，可得，即，又因為，所以，因為時，，所以，所以，令，則，故函數圖像在軸右側第一條對稱軸和第二條對稱軸分別為,令，則；令，則；令，則，所以質點在的路程分別，所以前3秒該質點走過的路程為.故選：D.8.已知點在水平面內，從出發的三條兩兩垂直的線段位于的同側，若到的距離分別為，則的值為（）A.1 B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由兩兩垂直，取空間的一個基底，設是平面的一個單位法向量，依題意，可使與的夾角都是銳角，則存在唯一的有序實數組，使得，顯然在方向上的投影向量的長度分別為，于是，即，則，即，同理，因此，而，所以，因此，所以．故選：A.二?多選題9.某研究機構為了探究過量飲酒與患疾病真否有關，調查了400人，得到如圖所示的列聯表，其中，則（）患疾病不患疾病合計過量飲酒不過量飲酒合計400參考公式與臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828A.任意一人不患疾病的概率為0.9B.任意一人不過量飲酒的概率為C.任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病的概率為D.依據小概率值獨立性檢驗，認為過量飲酒與患疾病有關〖答案〗ACD〖解析〗由已知得，又，所以.任意一人不患疾病的概率為，所以A正確；任意一人不過量飲酒的概率為，所以B錯誤；任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病的概率為，所以C正確；對于D，列聯表如下：

患疾病不患疾病合計過量飲酒30120150不過量飲酒10240250合計40360400則的觀測值，由于，依據小概率值的獨立性檢驗，認為過量飲酒與患疾病有關，所以D正確.故選：ACD10.已知橢圓的左，右焦點分別為，將上所有點的橫坐標與縱坐標分別伸長到原來的倍得到橢圓，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若的離心率分別為，則C.若的周長分別為，則D.若的四個頂點構成的四邊形面積為，則的離心率為〖答案〗AB〖解析〗設點為橢圓上任意一點，則由題意知，即，代入橢圓的方程得.所以橢圓的方程為.因為，所以，所以正確；由已知得，，所以正確；由已知得，，其相似比為，所以，所以，因為，所以錯誤；設，因為的四個頂點構成的四邊形的面積為，所以，所以，所以，所以，所以(負舍)，所以D錯誤．故選：．11.將圓柱的下底面圓置于球的一個水平截面內，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球的內壁相接（球心在圓柱內部）．已知球的半徑為3，．若為上底面圓的圓周上任意一點，設與圓柱的下底面所成的角為，圓柱的體積為，則（）A.可以取到中的任意一個值B.C.的值可以是任意小的正數D.〖答案〗BCD〖解析〗過R作圓柱的軸截面，過O作交圓柱軸截面的邊于M，N，由與圓柱的下底面所成的角為，則，所以，即，故B正確；當點P，Q均在球面上時，角取得最小值，此時，所以，所以，故A錯誤；令，所以，所以，另，解得兩根，所以，所以在時單調遞減，所以，，故CD正確；故選：BCD．三?填空題12.若，則的值為__________．〖答案〗〖解析〗．故〖答案〗為：13.如圖是一個水平放置在某地的三棱臺型集雨器，已知上?下底的面積分別為和，高為.現在搜集到的雨水平面與上?下底面的距離相等，則該地的降雨量為______.（降雨量等于集雨器中積水體積除以集雨器口的面積）〖答案〗〖解析〗如圖所示，將三棱臺補成三棱錐，設三棱錐的高為，則，解得，所以三棱錐的體積為，再設的體積分別為，則，所以，所以，同理，所以，所以該地的降雨量為.故〖答案〗為：.14.若點在拋物線上運動，點在圓上運動，，則的最小值為__________．〖答案〗2〖解析〗拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，為圓的圓心，圓的半徑為，設點，則由拋物線的定義得，，由三角形三邊關系得到，當且僅當共線時，等號成立，所以，令，則，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為2．故〖答案〗為：2四?解答題15.在直四棱柱中，底面為矩形，，分別為底面的中心和的中點，連接．（1）求證：平面平面；（2）若，求平面與平面所成角的余弦值．（1）證明：因為分別為底面的中心和的中點，所以，因為平面，平面，所以，又因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．（2）以為空間坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系．由已知得，所以，又，設平面與平面的法向量分別為，所以，解得，令，則，故，所以，解得，令，則，故，因為，所以，設平面與平面所成角的大小為，所以．16.某公司擬從水平相當的普通程序員中籃選出若干高級程序員，方法如下：首輪每位普通程序員被要求設計難度相同的甲?乙?丙?丁四種程序，假設每位普通程序員每種設計合格的概率都為，其中四種設計全部合格直接晉升為高級程序員；至少有兩種（包括兩種）“不合格”的直接被淘汰，否則被要求進行二輪設計：在三種難度不同的程序中隨機抽取兩種進行設計，且抽取的兩種設計都合格方可晉升為高級程序員．已知每位普通程序員設計合格的概率分別為，同一普通程序員不同的設計相互不影響．（1）已知設計合格的得分分別為，不合格得0分，若二輪設計中隨機抽取到的得分為，求的分布列和數學期望；（2）求每位普通程序員晉升為高級程序員的概率．解：（1）的可能取值為，由題意知，，，的分布列為090100190．（2）因為同一普通程序員不同的設計相互不影響，所以每位普通程序員晉升為高級程序員的概率為．17.在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，以為圓心作一個半徑為4的圓，點是圓上一動點，線段的重直平分線與直線相交于點．（1）求的軌跡的方程；（2）已知，點是軌跡在第一象限內的一點，為的中點，若直線的斜率為，求點的坐標．解：（1）由題意可知，點在線段的垂直平分線上，所以，又點是圓上一動點，所以．①當時，；②當時，，所以的軌跡滿足，根據雙曲線定義可知，點的軌跡是以為左?右焦點，實軸長為的雙曲線，可得，所以的軌跡的方程為．（2）設，所以，因為直線的斜率為，所以，即，與聯立解得（舍去）或3．所以點的坐標為．18.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）當時，求證：.（1）解：的定義域為.，①當時，在上單調遞增；②當時，時，在上是增函數．時，在上是減函數，時，在上是增函數.（2）證明：由（1）得，當時，，在上是減函數，即當時，，所以，令得，，即，所以，得證.19.在等差數列中，已知成等差數列．（1）求數列的通項公式；（2）數列是否為等比數列？若是求其前項和，若不是，請說明理由；（3）設，且