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高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省TOP二十名校2024屆高三下學期4月沖刺一數學試卷一?選擇題1.若復數滿足,則()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為,所以.故選:C.2.已知集合,則中元素的個數為()A.9 B.8 C.5 D.4〖答案〗B〖解析〗依題意,解不等式,得,,而,因此,所以中元素的個數為8.故選:B3.若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗構造函數,則在上單調遞增,所以.故選:C.4.函數與直線相切于點,則點的橫坐標為()A. B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗設函數與直線相切于點,直線的斜率為,,所以,所以.故選:B.5.設,則()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由,即,所以.故選:C.6.在中,若,則的形狀是()A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗由,得,化簡得,當時,即,則直角三角形;當時,得,則為等腰三角形;綜上:為等腰或直角三角形,故D正確.故選:D.7.如圖是某質點作簡諧運動的部分圖象,位移(單位:)與時間(單位:)之間的函數關系式是,其中,振幅為2,則前3秒該質點走過的路程為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由函數的圖象,可得,周期為,可得,所以,因為在函數圖象上,可得,即,又因為,所以,因為時,,所以,所以,令,則,故函數圖像在軸右側第一條對稱軸和第二條對稱軸分別為,令,則;令,則;令,則,所以質點在的路程分別,所以前3秒該質點走過的路程為.故選:D.8.已知點在水平面內,從出發的三條兩兩垂直的線段位于的同側,若到的距離分別為,則的值為()A.1 B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由兩兩垂直,取空間的一個基底,設是平面的一個單位法向量,依題意,可使與的夾角都是銳角,則存在唯一的有序實數組,使得,顯然在方向上的投影向量的長度分別為,于是,即,則,即,同理,因此,而,所以,因此,所以.故選:A.二?多選題9.某研究機構為了探究過量飲酒與患疾病真否有關,調查了400人,得到如圖所示的列聯表,其中,則()患疾病不患疾病合計過量飲酒不過量飲酒合計400參考公式與臨界值表:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828A.任意一人不患疾病的概率為0.9B.任意一人不過量飲酒的概率為C.任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病的概率為D.依據小概率值獨立性檢驗,認為過量飲酒與患疾病有關〖答案〗ACD〖解析〗由已知得,又,所以.任意一人不患疾病的概率為,所以A正確;任意一人不過量飲酒的概率為,所以B錯誤;任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病的概率為,所以C正確;對于D,列聯表如下:

患疾病不患疾病合計過量飲酒30120150不過量飲酒10240250合計40360400則的觀測值,由于,依據小概率值的獨立性檢驗,認為過量飲酒與患疾病有關,所以D正確.故選:ACD10.已知橢圓的左,右焦點分別為,將上所有點的橫坐標與縱坐標分別伸長到原來的倍得到橢圓,則下列說法正確的是()A.若,則B.若的離心率分別為,則C.若的周長分別為,則D.若的四個頂點構成的四邊形面積為,則的離心率為〖答案〗AB〖解析〗設點為橢圓上任意一點,則由題意知,即,代入橢圓的方程得.所以橢圓的方程為.因為,所以,所以正確;由已知得,,所以正確;由已知得,,其相似比為,所以,所以,因為,所以錯誤;設,因為的四個頂點構成的四邊形的面積為,所以,所以,所以,所以,所以(負舍),所以D錯誤.故選:.11.將圓柱的下底面圓置于球的一個水平截面內,恰好使得與水平截面圓的圓心重合,圓柱的上底面圓的圓周始終與球的內壁相接(球心在圓柱內部).已知球的半徑為3,.若為上底面圓的圓周上任意一點,設與圓柱的下底面所成的角為,圓柱的體積為,則()A.可以取到中的任意一個值B.C.的值可以是任意小的正數D.〖答案〗BCD〖解析〗過R作圓柱的軸截面,過O作交圓柱軸截面的邊于M,N,由與圓柱的下底面所成的角為,則,所以,即,故B正確;當點P,Q均在球面上時,角取得最小值,此時,所以,所以,故A錯誤;令,所以,所以,另,解得兩根,所以,所以在時單調遞減,所以,,故CD正確;故選:BCD.三?填空題12.若,則的值為__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為:13.如圖是一個水平放置在某地的三棱臺型集雨器,已知上?下底的面積分別為和,高為.現在搜集到的雨水平面與上?下底面的距離相等,則該地的降雨量為______.(降雨量等于集雨器中積水體積除以集雨器口的面積)〖答案〗〖解析〗如圖所示,將三棱臺補成三棱錐,設三棱錐的高為,則,解得,所以三棱錐的體積為,再設的體積分別為,則,所以,所以,同理,所以,所以該地的降雨量為.故〖答案〗為:.14.若點在拋物線上運動,點在圓上運動,,則的最小值為__________.〖答案〗2〖解析〗拋物線的焦點的坐標為,準線方程為,為圓的圓心,圓的半徑為,設點,則由拋物線的定義得,,由三角形三邊關系得到,當且僅當共線時,等號成立,所以,令,則,所以,當且僅當,即時等號成立,故的最小值為2.故〖答案〗為:2四?解答題15.在直四棱柱中,底面為矩形,,分別為底面的中心和的中點,連接.(1)求證:平面平面;(2)若,求平面與平面所成角的余弦值.(1)證明:因為分別為底面的中心和的中點,所以,因為平面,平面,所以,又因為,平面,所以平面,因為平面,所以平面平面.(2)以為空間坐標原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.由已知得,所以,又,設平面與平面的法向量分別為,所以,解得,令,則,故,所以,解得,令,則,故,因為,所以,設平面與平面所成角的大小為,所以.16.某公司擬從水平相當的普通程序員中籃選出若干高級程序員,方法如下:首輪每位普通程序員被要求設計難度相同的甲?乙?丙?丁四種程序,假設每位普通程序員每種設計合格的概率都為,其中四種設計全部合格直接晉升為高級程序員;至少有兩種(包括兩種)“不合格”的直接被淘汰,否則被要求進行二輪設計:在三種難度不同的程序中隨機抽取兩種進行設計,且抽取的兩種設計都合格方可晉升為高級程序員.已知每位普通程序員設計合格的概率分別為,同一普通程序員不同的設計相互不影響.(1)已知設計合格的得分分別為,不合格得0分,若二輪設計中隨機抽取到的得分為,求的分布列和數學期望;(2)求每位普通程序員晉升為高級程序員的概率.解:(1)的可能取值為,由題意知,,,的分布列為090100190.(2)因為同一普通程序員不同的設計相互不影響,所以每位普通程序員晉升為高級程序員的概率為.17.在平面直角坐標系中,點的坐標分別為,以為圓心作一個半徑為4的圓,點是圓上一動點,線段的重直平分線與直線相交于點.(1)求的軌跡的方程;(2)已知,點是軌跡在第一象限內的一點,為的中點,若直線的斜率為,求點的坐標.解:(1)由題意可知,點在線段的垂直平分線上,所以,又點是圓上一動點,所以.①當時,;②當時,,所以的軌跡滿足,根據雙曲線定義可知,點的軌跡是以為左?右焦點,實軸長為的雙曲線,可得,所以的軌跡的方程為.(2)設,所以,因為直線的斜率為,所以,即,與聯立解得(舍去)或3.所以點的坐標為.18.已知函數.(1)討論函數的單調性;(2)當時,求證:.(1)解:的定義域為.,①當時,在上單調遞增;②當時,時,在上是增函數.時,在上是減函數,時,在上是增函數.(2)證明:由(1)得,當時,,在上是減函數,即當時,,所以,令得,,即,所以,得證.19.在等差數列中,已知成等差數列.(1)求數列的通項公式;(2)數列是否為等比數列?若是求其前項和,若不是,請說明理由;(3)設,且

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