高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥市2024屆高三第二次教學質量檢測數學試卷一、選擇題1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗或，，故.故選：A2.已知，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗，所以，所以，故選：B.3.設是兩個平面，是兩條直線，則的一個充分條件是（）A. B.C. D.與相交〖答案〗C〖解析〗選項A：當滿足時，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故A錯誤；選項B：當滿足時，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故B錯誤；選項C：因為，又，所以，故是的一個充分條件，故C正確；當滿足與相交時，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故D錯誤；故選：C.4.甲、乙兩名乒乓球運動員進行一場比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結束）．已知每局比賽甲獲勝的概率均為，則甲以4比2獲勝的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據題意，甲運動員前5場內需要贏3場，第6場甲勝，則甲以4比2獲勝的概率為．故選：C．5.常用放射性物質質量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱做半衰期，記為（單位：天）．鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質，其半衰期分別為．開始記錄時，這兩種物質的質量相等，512天后測量發現乙的質量為甲的質量的，則滿足的關系式為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設開始記錄時，甲乙兩種物質的質量均為1，則512天后，甲的質量為：，乙的質量為：，由題意可得，所以．故選：B．6.已知函數，若關于的方程至少有兩個不同的實數根，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，作出函數的圖象，如圖所示：由此可知函數在和上單調遞減，在上單調遞增，且，，又因為關于的方程至少有兩個不同的實數根，所以至少有兩個不同的實數根，即的圖象與至少有兩個不同的交點，所以，又因為當時，，令，可得；當時，，令，解得，又因為，所以，解得．故選:D．7.記的內角的對邊分別為,已知.則面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，可得，即，整理可得，即，在三角形中，，即，,可得；由余弦定理可得，當且僅當時取等號，而，所以，所以．即該三角形的面積的最大值為．故選：A．8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線左支上，線段交軸于點，且．設為坐標原點，點滿足：，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，設，，則直線的方程為，令，得到，所以，，因為，所以，得到，故，又，所以，得到，又，所以，得到①，又因為在雙曲線上，所以②，又③，由①②③得到，所以，解得或，又，所以，得到，故選：D.二、選擇題9.已知圓，圓，則（）A.兩圓的圓心距的最小值為1B.若圓與圓相切，則C.若圓與圓恰有兩條公切線，則D.若圓與圓相交，則公共弦長的最大值為2〖答案〗AD〖解析〗根據題意，可得圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．對于A，因為兩圓的圓心距，所以A項正確；對于B，兩圓內切時，圓心距，即，解得．兩圓外切時，圓心距，即，解得．綜上所述，若兩圓相切，則或，故B項不正確；對于C，若圓與圓恰有兩條公切線，則兩圓相交，，即，可得，解得且，故C項不正確；對于D，若圓與圓相交，則當圓的圓心在公共弦上時，公共弦長等于，達到最大值，因此，兩圓相交時，公共弦長的最大值為2，故D項正確．故選：AD．10.已知等比數列的公比為，前項和為，則（）A.B.對任意成等比數列C.對任意，都存在，使得成等差數列D.若，則數列遞增的充要條件是〖答案〗ACD〖解析〗對于A：當時，，，故成立，當時，，，所以成立，故A正確；對于B：當時，，所以不成等比數列，故B錯誤；對于C：當時，，故不成等差數列，當時，若存在，使成等差數列，則，則，整理得，所以，所以，所以對任意，都存在，使得成等差數列，故C正確；對于D：，若是遞增數列，則可得，因，所以，可解得，所以若，則數列遞增的充要條件是，故D正確.故選：ACD.11.已知函數，則（）A.函數在上單調遞減B.函數為奇函數C.當時，函數恰有兩個零點D.設數列是首項為，公差為的等差數列，則〖答案〗BCD〖解析〗易知，同理，對A,先減后增，故A錯誤；對B,為奇函數，故B正確；對C,,則單調遞增，在單調遞減，即在單調遞增，在單調遞減，又，，故函數恰有兩個零點，故C正確；對D,易知，令，則，，,……..,則，故，故D正確.故選：BCD.三、填空題12.在的展開式中，的系數為_________．〖答案〗15〖解析〗因為的展開式的通項公為，由，得到，所以的系數為，故〖答案〗為：.13.拋物線的焦點為，準線為為上一點，以點為圓心，以為半徑的圓與交于點，與軸交于點，若，則_________．〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點為，準線：，設準線與軸交于點，則，依題意、均在軸的左側，又，所以也在軸的左側且點在軸上方，又為圓的直徑，所以，即，由拋物線的定義可知，又，所以為等邊三角形，所以，則，所以，所以，，在中.故〖答案〗為：.14.已知實數，滿足，則的最小值為_________．〖答案〗〖解析〗如圖，設正方體的邊長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，設為空間任意一點，因為，則P在平面所在的平面內運動，表示P與點和點的距離之和，因為關于平面的對稱點為D，故，當且僅當為中點即為正方體中心時等號成立；表示P與點和點的距離之和，則，當且僅當在所在直線上時等號成立，故的最小值為，當且僅當為正方體中心時等號成立故〖答案〗為：四、解答題15.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是側棱的中點，側面為正三角形，側面底面．（1）求三棱錐的體積；（2）求與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖所示，取的中點，連接．因為是正三角形，所以．又因為平面底面平面，平面平面，所以平面，且．又因為是的中點，到平面的距離為，，所以三棱錐的體積為．（2）連接，因為，所以為等邊三角形，所以，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以．設平面的法向量為，則，即，解得，取，則，所以．設與平面所成角為，則．即與平面所成角的正弦值為．16.已知橢圓的右焦點為，左頂點為，短軸長為，且經過點．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線（不與軸重合）與交于兩點，直線與直線的交點分別為，記直線的斜率分別為，證明：為定值．（1）解：因為，所以，再將點代入得，解得，故橢圓的方程為；（2）證明：由題意可設，由可得，易知恒成立，所以，又因為，所以直線的方程為，令，則，故，同理，從而，故為定值．17.樹人中學高三（1）班某次數學質量檢測（滿分150分）的統計數據如下表：性別參加考試人數平均成績標準差男3010016女209019在按比例分配分層隨機抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為，其平均數記為，方差記為；把第二層樣本記為，其平均數記為，方差記為；把總樣本數據的平均數記為，方差記為．（1）證明：；（2）求該班參加考試學生成績的平均數和標準差（精確到1）；（3）假設全年級學生的考試成績服從正態分布，以該班參加考試學生成績的平均數和標準差分別作為和的估計值．如果按照的比例將考試成績從高分到低分依次劃分為四個等級，試確定各等級的分數線（精確到1）．附：．（1）證明：，同理．所以.（2）解：將該班參加考試學生成績的平均數記為，方差記為，則，所以又，所以．即該班參加考試學生成績的平均數為96分，標準差約為18分．（3）解：由（2）知，所以全年級學生的考試成績服從正態分布，所以．．故可將定為等級，定為等級，定為等級，定為等級．18.已知曲線在點處的切線為．（1）求直線的方程；（2）證明：除點外，曲線在直線下方；（3）設，求證：．（1）解：因為，所以，所以直線的方程為：，即（2）證明：令，則，令，則，由，解得，由，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，當且僅當等號成立，所以除切點之外，曲線在直線的下方．（3）證明：由，解得，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，，當時，．因為，則，不妨令．因為曲線在點的切線方程為，設點在切線上，有，故，由（1）知時，，則，即，要證：，只要證：，只要證：，又，只要證：，令，則，易證在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以在上單調遞減，所以成立，所以原命題成立．19.在數學中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一．對平面直角坐標系中兩個點和，記，稱為點與點之間的“距離”，其中表示中較大者．（1）計算點和點之間的“距離”；（2）設是平面中一定點，．我