廣西壯族自治區(qū)梧州市湄江中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（4分）已知集合A={x|x≤4}，a=3，則下列關(guān)系正確的是（） A． a?A B． a∈A C． a?A D． {a}∈A參考答案：C考點： 元素與集合關(guān)系的判斷．專題： 集合．分析： 根據(jù)元素與集合的關(guān)系進(jìn)行判斷，只需要a=3符合集合A中元素的屬性即可．解答： 因為A={x|x≤4}，a=3，且，故a?A．故選C．點評： 本題考查了元素與集合、集合與集合間關(guān)系的判斷與辨析，要注意兩者的區(qū)別．2.對任意

函數(shù)不為常函數(shù)，且滿足，則可證是周期函數(shù)，它的最小正周期是（

）參考答案：D3.數(shù)列{an}滿足a1=0，an+1=，則a2015=（）A．0 B． C．1 D．2參考答案：B【考點】8H：數(shù)列遞推式．【分析】通過計算出前幾項的值確定周期，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】解：∵an+1==，a1=0，∴a2==1，a3==，a4==2，a5==0，∴數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列，又∵2015=503×4+3，∴a2015=a3=，故選：B．4.函數(shù)y=logax（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點(2，﹣1)，函數(shù)y=bx（b＞0且b≠1）的圖象經(jīng)過點(1，2)，則下列關(guān)系式中正確的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．2a＞2b C．()a＞()b D．參考答案：C【考點】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【分析】由已知條件，把點的坐標(biāo)代入對應(yīng)的函數(shù)解析式，求出a=、b=2，從而可得結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)y=logax（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點，∴l(xiāng)oga2=﹣1，∴a=．由于函數(shù)y=bx（b＞0且b≠1）的圖象經(jīng)過點（1，2），故有b1=2，即b=2．故有b＞a＞0，∴，故選：C．【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，求出a=、b=2是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．5.如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結(jié)論正確的是()A.MN∥AB B.平面VAC⊥平面VBCC.MN與BC所成的角為45° D.OC⊥平面VAC參考答案：B【分析】對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】A.，分別為，的中點，，又，與所成的角為，故不正確；，，不成立，故A不正確．B.是⊙O的直徑，點是圓周上不同于，的任意一點，，垂直⊙O所在的平面，⊙O所在的平面，，又，平面，又平面，平面平面，故B正確；C.是⊙O的直徑，點是圓周上不同于，的任意一點，，又、、、共面，與不垂直，平面不成立，故不正確；，分別為，的中點，，又，與所成的角為，故不正確；D.是⊙O的直徑，點是圓周上不同于，的任意一點，，又、、、共面，與不垂直，平面不成立，故D不正確.故選:B.【點睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查異面直線所成的角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則俯視圖的面積為（）A．4 B．8 C．4 D．2參考答案：C【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由主視圖和側(cè)視圖得俯視圖的底和高分別為4，2，可得俯視圖的面積．【解答】解：由主視圖和側(cè)視圖得俯視圖的底和高分別為4，2，俯視圖的面積為=4，故選C．7.給出下列函數(shù)：（1）y=2x；（2）y=x2；（3）；（4）y=x2+1；（5），其中是冪函數(shù)的序號為（）A．（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3）（5） D．（1）（2）（3）參考答案：A【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】形如y=xα的函數(shù)的冪函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：（1）y=2x是指數(shù)函數(shù)；（2）y=x2是冪函數(shù)；（3）是冪函數(shù)；（4）y=x2+1是二次函數(shù)；（5）不是冪函數(shù)，故是冪函數(shù)的為：（2）、（3），故選：A．【點評】本題考查了冪函數(shù)的定義，是一道基礎(chǔ)題．8.設(shè)集合U={1,2,3,4}，A={1,2}，B={2,4}，則（

）A．{2}

B．{3}

C．{1,2,4}

D．{1,4}參考答案：B9.已知實數(shù)依次成等比數(shù)列，則實數(shù)x的值為(

)A.3或－3 B.3 C.－3 D.不確定參考答案：C【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)可以得到一個方程，解方程，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，可以求出實數(shù)的值.【詳解】因為實數(shù)依次成等比數(shù)列，所以有當(dāng)時，，顯然不存在這樣的實數(shù)，故，因此本題選C.【點睛】本題考查了等比中項的性質(zhì)，本題易出現(xiàn)選A的錯誤結(jié)果，就是沒有對等比數(shù)列各項的正負(fù)性的性質(zhì)有個清晰的認(rèn)識.10.右圖是函數(shù)y=sin（ωx+j）（x∈R）在區(qū)間上的圖像，為了得到這個函數(shù)的圖像，只要將y=sinx（x∈R）的圖像上所有點 A．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變。 B．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變。 C．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變。 D．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變。參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知f（x）是定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)，在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，且f（﹣）=0，若x?[f（x）+f（﹣x）]＜0，則x的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣）∪（0，）【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)，∴不等式x?[f（x）+f（﹣x）]＜0等價為2x?f（x）＜0，∵在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，且f（﹣）=0，∴在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（）=0，則對應(yīng)的圖象如圖：當(dāng)x＞0，f（x）＜0，由圖象知此時0＜x＜，當(dāng)x＜0，f（x）＞0，x＜﹣，綜上不等式的解集為（﹣∞，﹣）∪（0，），故答案為：（﹣∞，﹣）∪（0，）【點評】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12.已知，則

.參考答案：略13.已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，則數(shù)列的通項公式為

；參考答案：an＝2n－114.等差數(shù)列中，，記數(shù)列的前n項和為，若對任意恒成立，則正整數(shù)m的最小值為

.參考答案：5

略15.已知均為單位向量，它們的夾角為，那么參考答案：由題可得：.16.計算_____________．參考答案：。答案：

17.已知y＝（2－ax）在［0，1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是__________．參考答案：（1，2）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知點P（﹣1，2）．圓C：（x﹣1）2+（y+2）2=4．（1）求過點P的圓C的切線方程；（用直線方程的一般式作答）（2）設(shè)圓C上有兩個不同的點關(guān)于直線l對稱且點P到直線l的距離最長，求直線l的方程（用直線方程的一般式作答）參考答案：【考點】直線與圓的位置關(guān)系；圓的切線方程．【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】（1）設(shè)過P（﹣1，2）的切線為y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過點P的圓C的切線方程，并求此切線的長度；（2）確定l經(jīng)過圓C的圓心C（1，﹣2），使P到l的距離最長，則l⊥PC，直線PC的斜率kPC=﹣2，可得l斜率，即可得出直線l的方程．【解答】解：（1）當(dāng)斜率不存在時，x=1，滿足題意；…當(dāng)斜率存在時，設(shè)過P（﹣1，2）是切線為y﹣2=k（x+1）?kx﹣y+k+2=0?=2?k2+4k+4=k2+1?k=﹣兩條切線l1：x=﹣1；l2：3x+4y﹣5=0…（2）圓C上有兩個不同的點關(guān)于直線l對稱?l經(jīng)過圓C的圓心C（1，﹣2）…使P到l的距離最長，則l⊥PC，直線PC的斜率kPC=﹣2?l斜率為…..?直線l：y+2=（x+1）?l方程：x﹣2y﹣3=0…．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．19.如圖，已知點P在圓柱OO1的底面⊙O上，AB、A1B1分別為⊙O、⊙O1的直徑，且平面．（1）求證：；（2）若圓柱OO1的體積，①求三棱錐A1﹣APB的體積．②在線段AP上是否存在一點M，使異面直線OM與A1B所成角的余弦值為？若存在，請指出M的位置，并證明；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）見解析；（2）①，②見解析【分析】（1）根據(jù)，得出平面，故而；（2）①根據(jù)圓柱的體積計算，根據(jù)計算，，代入體積公式計算棱錐的體積；②先證明就是異面直線與所成的角，然后根據(jù)可得，故為的中點．【詳解】（1）證明：∵P在⊙O上，AB是⊙O的直徑，平面又，平面，又平面，故．（2）①由題意，解得，由，得，，∴三棱錐的體積．②在AP上存在一點M，當(dāng)M為AP的中點時，使異面直線OM與所成角的余弦值為．證明：∵O、M分別為的中點，則，就是異面直線OM與所成的角，又，在中，．∴在AP上存在一點M，當(dāng)M為AP的中點時，使異面直線OM與所成角的余弦值為．【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算以及異面直線所成的角，屬于中檔題．20.某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本（即固定收入）為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺，需要加可變成本（即另增加投入）0.25萬元．市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售的收入函數(shù)R（x）=（萬元）（0≤x≤5），其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）（1）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)（2）年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？（3）年產(chǎn)量是多少時，工廠才不虧本？參考答案：【考點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．【專題】應(yīng)用題．【分析】（1）根據(jù)題意，分0≤x≤5和x＞5兩種情況進(jìn)行討論，分別根據(jù)利潤=銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系，即可得到利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；（2）根據(jù)（1）所得的分段函數(shù)，分類討論，分別求出兩段函數(shù)的最值，然后進(jìn)行比較，即可得到答案；（3）工廠不虧本時，則利潤大于等于0，從而根據(jù)利潤的表達(dá)式，列出不等式，求解即可得到答案．【解答】解：（1）∵某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，每生產(chǎn)一百件這樣的產(chǎn)品，需要增加可變成本0.25萬元，產(chǎn)品售出的數(shù)量為x百臺，銷售的收入函數(shù)R（x）=（萬元）（0≤x≤5），設(shè)利潤函數(shù)為L（x），∴當(dāng)0≤x≤5時，L（x）=（）﹣（0.5+0.25x）=，當(dāng)x＞5時，只能售出5百臺，∴L（x）=（5×5﹣）﹣（0.5+0.25x）=12﹣0.25x，綜上，L（x）=；（2）∵L（x）=，①當(dāng)0≤x≤5時，L（x）=，∵拋物線開口向下，對稱軸為x=4.75，∴當(dāng)x=4.75時，L（x）max=L（4.75）=10.75；②當(dāng)x＞5時，L（x）=12﹣0.25x為R上的減函數(shù)，∴L（x）＜L（5）=10.75．綜合①②，當(dāng)x=4.75時，L（x）取最大值，∴年產(chǎn)量為475臺時，所利潤最大．（3）∵工廠不虧本時，則L（x）≥0，當(dāng)0≤x≤5時，令L（x）=≥0，解得0.11≤x≤48；當(dāng)x＞5時，令L（x）=12﹣0.25x≥0，解得5＜x≤48，∴年產(chǎn)量是0≤x≤48時，工廠才不虧本．【點評】本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，本題建立的數(shù)學(xué)模型為二次函數(shù)和分段函數(shù)，應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行求解．屬于中檔題．21.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且.（1）求角A；（2）若，，求a.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）由題設(shè)條件和三角恒等變換的公式，化簡，解得，即可求解的值；（2）由正弦定理，求得，再由三角形的面積公式，求得，聯(lián)立方程組，求得，，利用余弦定理，即可求解的值.【詳解】（1）由題意，因為，則，整理可得：，因為，，解得，.（2）因為，由正弦定理可得：，

①因為，解得：，②所以由①②可解得：，，由余弦定理可得：.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時，運(yùn)用余弦定理求解.22.（12分）某工廠今年月、月、月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為萬件，萬件，萬件，為了估計以后每月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)