PAGE67第五講多元微積分（上）考綱要求1.理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義.2.了解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質.3.理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.4..掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法.5.了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數.6.理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.7.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理.8.掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）.一、多元微分學概念及其關系問題1二元函數在點處有極限、連續、可偏導、可微、偏導數連續之間有何關系？答首先要正確理解各概念.二元函數在點處的極限表示以任何方式趨近于，函數趨近于常數.注：若找到兩種不同趨近方式，使存在，但兩者不相等，或者找到一種趨近方式，使不存在，則可斷言在點處極限不存在．如果，則稱函數在點處連續.二元函數在點處對的偏導數；函數在點處對的偏導數為.注：實質上是一元函數在點處的導數；實質上是一元函數在點處的導數.如果函數在點的全增量可以表示為，其中不依賴于而僅與有關，，則稱函數在點可微分，稱為函數在點的全微分，記為，即=.若函數在點可微，則全微分.二元函數在點處有極限、連續、可偏導、可微、偏導數連續之間的關系如圖所示：函數在點極限存在←連續←可微←偏導數連續 ↙可偏導例1.證明函數在點處極限不存在、不連續，但偏導數存在且.2.證明函數在點處連續、可偏導且，但不可微.3.證明函數在點處連續、偏導數存在且、可微，但偏導數不連續.4.設函數在點的兩個偏導數都存在，則（）.【C】(A)在點連續(B)在點可微(C)與都存在(D)存在5.二元函數在點處可微的一個充分條件是（）.【C】（A）（B），且（C）（D），且問題2如何求二元函數的極限（二重極限）？答求二元函數的極限是一件困難的事情，讀者只要會求一些簡單的極限就可以了，求這些簡單極限的主要依據是：⑴一元函數極限的四則運算和冪指運算法則對二元函數成立；⑵一元函數極限的某些結論（無窮小乘有界函數、兩個重要極限）對二元函數成立；⑶二元初等函數在其定義區域（包含在定義域內的區域或閉區域）內是連續的．例求下列極限：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸.二、偏導數和全微分的計算問題3如何求初等函數的偏導數（全微分）？答類似一元函數，對一個自變量求偏導數，其余的自變量看作常數.例1.設，求與（98-3）解，，，故，.2.設，求.【】問題4如何求抽象復合函數的一、二階偏導數？答首先要正確理解和運用復合函數求導法則：設函數及都在點具有對和的偏導數，且函數在對應點具有連續偏導數，則復合函數在點的兩個偏導數存在，且可用下列公式計算,.法則表明：復合函數對自變量求導必須通過所有中間變量.然后要弄清函數、中間變量、自變量，正確使用導數記號.例1.設有二階連續偏導數，且，求.解【復合函數的二階偏導數】，.注⑴表示對第一個中間變量求導，表示先對第一個中間變量求導，再對第二個中間變量求導，其余記號有類似含義；⑵對中間變量的偏導數，仍然是兩個中間變量的函數；⑶如果函數的兩個二階混合偏導數及在區域內連續，則在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等.本題中，應該合并.2.設有二階連續偏導數，有二階連續導數，且，求.解【復合函數的二階偏導數】，.問題5如何求隱函數的偏導數？答求隱函數的偏導數的方法有：⑴兩邊求導法；⑵公式法，使用時務必正確理解和運用隱函數求導公式：設函數由方程確定，則.設函數由方程確定，則，.⑶全微分法，使用時務必正確理解和運用全微分形式的不變性：無論是自變量還是中間變量，函數的全微分.例1.設，可微，求.【】解【隱函數的一階偏導數，用公式或者用兩邊求導法】方程為，故.2.有連續偏導數，函數由方程所確定，證明.證【用公式法】方程為，，故.3.設，而是由方程所確定的，的函數，其中，，求.解【兩個方程確定的隱函數，用全微分法】取全微分法，得，，消去，得.三、極值與最值問題6如何求二元函數的極值？答求二元函數極值的步驟是：⑴解駐點方程

得駐點；⑵求駐點處的二階偏導數；⑶判別：若，則是極值，且時，是極小值，時是極大值；若，則不是極值.例1.設是由確定的函數，求的極值點和極值.（04-1）解【隱函數的極值】方程兩邊對求導，得，⑴方程兩邊對求導，得，⑵令，，得即代入方程，解得或者⑴式兩邊對求導，得，⑴式兩邊對求導，得，⑵式兩邊對求導，得，將，代入，得，故點是的極小值點，極小值為類似可得點是的極大值點，極大值為.問題7如何求條件極值？答求條件極值的步驟是：⑴先構造拉格朗日函數，其中為某一常數；⑵解駐點方程得；⑶求出相應的函數值.注這種方法稱為拉格朗日乘數法，拉格朗日乘數法可推廣到自變量多于兩個的情形.例如：求函數在條件，下的極值.先構造拉格朗日函數，再解駐點方程，得可疑極值點的坐標.例1..求橢球面的內接長方體的最大體積.解設內接長方體位于第一卦限的頂點為，則它的長、寬、高分別為，，，問題歸結為求體積在條件下的最大值.構造拉格朗日函數:解駐點方程組:得唯一駐點：，由實際意義知道，內接長方體的最大體積存在，其最大體積為.2..已知曲線：求曲線距離最遠的點和最近的點.【】問題8如何求有界閉區域上連續函數的最值？答由于有界閉區域上連續函數的最值一定存在，所以只要求出函數在的內部和的邊界上可能取得最值的點，并求出這些點處的函數值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.請讀者結合下面的例子歸納出求有界閉區域上連續函數的最值的步驟.例求二元函數在直線，軸和軸所圍成的閉區域上的最大值與最小值.解⑴先求函數在內的駐點，解方程組得區域內駐點,且,⑵再求的邊界上的可能的最值點在邊界和上,；在邊界上，，于是,由,得，且，⑶故為最大值,為最小值.四、二重積分問題9敘述二重積分的定義和性質.答二重積分的定義、性質類似定積分.例1.設其中，則（）.(A)（B）（C）（D）（A）2.設在區域上連續，是的一個內點，是以為中心，以為半徑的閉圓盤，則.3.設是平面有界閉區域，與都在上連續，且在上不變號，證明：存在，使得.問題10將二重積分表為二次積分時，如何確定積分限？答確定積分限是計算二重積分的關鍵，務必熟練掌握確定積分限的方法.若積分區域為型區域，將區域向軸投影，得，再對任一，作平行于軸的直線，交的邊界于，得，則.若積分區域為型區域，將區域向軸投影，得，再對任一，作平行于軸的直線，交的邊界于，得，則.我們把直角坐標系中確定積分限的方法形象地稱為“投影找區間，穿刺找線段”.若利用極坐標計算二重積分，從極點引一條射線穿過區域，當這條射線在區域內旋轉時，得，再對任一，射線交的邊界于，得，則.我們把極坐標系中確定積分限的方法形象地稱為“旋轉找區間，穿刺找線段”.問題11如何利用對稱性計算二重積分？答利用對稱性，可以簡化二重積分的計算.⑴若區域關于（或者）軸對稱，關于（或者）是奇函數，則；⑵若區域關于（或者）軸對稱，關于（或者）是偶函數，則；⑶若區域關于軸和軸都對稱，關于和都是偶函數，則；⑷若區域關于直線對稱（交換，區域不變），則（交換被積函數中的，積分不變），特別地，.例1.設為以為頂點的三角形區域，是在第一象限的部分，則（）.【A】(A).(B)(C)(D)2.設，為上的正值連續函數，為常數，則().【D】（A）(B)(C)(D)(C)(D)問題12如何計算二重積分？答計算二重積分的步驟是：⑴畫出積分區域；⑵考察對稱性；⑶選擇坐標系；⑷選擇積分次序；⑸確定積分限（關鍵）；⑹表為二次積分；⑺計算二次積分.注意：選擇坐標系、積分次序的依據是被積函數和積分區域（積分的兩要素）：當積分區域為圓域、環域及其部分域，被積函數含時，可以考慮采用極坐標計算二重積分.例1.計算,.）2.設，表示不超過的最大整數.計算二重積分.（05-1，）3.計算二重積分,其中.（02-1，）4.設是由在第一象限所圍區域，求.（）5.設函數區域，求.（）6..求的值，其中由圍成.（）7..設二元函數計算二重積分，其中.8.設閉區域，為上的連續函數，且，求.（02-4）解設，則，