江蘇省淮安市洪澤縣第二中學高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f（x）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式可能是(

)A．f（x）=﹣x3 B．f（x）=+x3 C．f（x）=﹣x3 D．f（x）=﹣﹣x3參考答案：A【考點】函數的圖象．【專題】函數的性質及應用．【分析】本題是選擇題，可采用排除法，根據函數的定義域可排除選項C再根據特殊值排除B，D，即可得到所求【解答】解：由圖象可知，函數的定義域為x≠a，a＞0，故排除C，當x→+∞時，y→0，故排除B，當x→﹣∞時，y→+∞，故排除B，當x=1時，對于選項A．f（1）=0，對于選項D，f（1）=﹣2，故排除D．故選：A．【點評】本題主要考查了識圖能力，數形結合的思想，屬于基礎題2.已知集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C集合，，則.故選C.

3.已知m，n是兩條不同的直線，α是平面，則下列命題中是真命題的是（）A．若m∥α，m∥n，則n∥α B．若m⊥α，n⊥α，則m∥nC．若m∥α，m⊥n，則n∥α D．若m⊥α，n⊥m，則n∥α參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】根據空間直線與平面，直線與直線判定定理及性質定理，以及幾何特征，我們逐一對題目中的四個命題進行判斷，即可得到答案．【解答】解：對于A，若m∥α，m∥n，則n∥α或n?α，假命題；對于B，若m⊥α，n⊥α，根據線面垂直的性質，可得m∥n，真命題；對于C，若m∥α，m⊥n，則n與α位置關系不確定，假命題；對于D，若m⊥α，n⊥m，則n∥α或n?α，假命題，故選：B．4.如圖,,點在線段的延長線上,分別為的邊上的點.若與共線,與共線,則的值為A． B．0 C．1 D．2參考答案：B略5.要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向右平移個單位

B．向右平移個單位C．向左平移個單位

D．向左平移個單位參考答案：C略6.函數在區間[－3,3]的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.已知函數,,設函數，且函數的零點均在區間內，則的最小值為（

）

A、11

B、10

C、9

D、8

參考答案：B略8.已知a=log0.34，b=log43，c=0.3﹣2，則a，b，c的大小關系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c參考答案：D【考點】對數值大小的比較．【分析】利用對數函數與指數函數的單調性即可得出．【解答】解：∵a=log0.34＜0，0＜b=log43＜1，c=0.3﹣2＞0.30=1，∴a＜b＜c．故選：D．9.在△ABC中，A、B、C為其三內角，滿足tanA、tanB、tanC都是整數，且，則下列結論中錯誤的是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】首先判斷出A、B、C均為銳角，根據tanA、tanB、tanC都是整數，求得tanA、tanB、tanC的值，進而判斷出結論錯誤的選項.【詳解】由于，所以B、C都是銳角，又tanB、tanC都是正整數，這樣，可見A也是銳角.這時，，，.有，即.但是，，比較可知只可能，，.由可知，選項B是正確的.至于選項C和D，由，可知，又，故選項C正確；又由，選項D正確、A選項錯誤.故選：A.【點睛】本小題主要考查兩角和的正切公式，考查三角形內角和定理，考查分析、思考與解決問題的能力，屬于中檔題.10.已知函數f（x）＝｜x＋｜－｜x－｜，若關于x的方程f（x）＝2m有四個不同的實根，則實數m的取值范圍是A．（0，2）

B．（2，＋∞）

C．（1，＋∞）

D．（0，1）參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，若，則的取值范圍是：

.參考答案：12.如右圖，一塊曲線部分是拋物線形的鋼板，其底邊長為，高為，將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，記，梯形面積為．則關于的函數解析式及定義域為

．參考答案：，13.ABC的三個內角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，設向量＝（a＋b，sinC），

＝（a＋c，sinB－sinA），若∥，則角B的大小為_____________．

參考答案：略14.若函數的圖像為C，則下列結論中正確的序號是__________．①圖像C關于直線對稱；②圖像C關于點對稱；③函數f(x)在區間內不是單調的函數；④由的圖像向右平移個單位長度可以得到圖像C．參考答案：①②對于①：若函數的對稱軸方程為，當時，，故①正確；對于②，若函數的對稱中心為，當時，對稱中心為，故②正確；對于③，函數的遞增區間為，所以函數在區間單調遞增，故③錯；對于④，的圖像向右平移個單位長度后得到的函數解析式為，故④錯．所以應填①②．15.定義在R上的奇函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，且當0＜x≤1時，f（x）=log3x，則方程在區間（0，10）內所有的實根之和為．參考答案：30【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】由題意求出函數周期，并求得方程的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每個區間上存在兩個關于區間中間值對稱的兩解．然后結合中點坐標公式求得答案．【解答】解：∵y=f（x）是定義在R上的奇函數，則f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），又f（x）關于直線x=1對稱，∴f（1+x）=f（1﹣x），可得f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（4+x）=﹣f（2+x）=﹣[﹣f（x）]=f（x）．∴f（x）是以4為周期的周期函數．當0＜x≤1時，f（x）=log3x≤0，當﹣1≤x＜0時，0＜﹣x≤1，∴f（﹣x）=log3（﹣x），則f（x）=﹣log3（﹣x）≥0．=﹣＜0．∴方程的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每個區間上存在兩個關于區間中間值對稱的兩解．則方程在區間（0，10）內所有的實根之和為2×1+2×5+2×9=30．故答案為：30．16.函數的單調遞減區間是__________.參考答案：（0，+∞）略17.設函數f（x）=，g（x）=，對任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，則正數k的取值范圍是．參考答案：【考點】函數恒成立問題．【分析】利用參數分離法將不等式恒成立進行轉化，利用基本不等式求出函數f（x）的最小值，利用導數法求出函數g（x）的最大值，利用最值關系進行求解即可．【解答】解：對任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，則等價為≤恒成立，f（x）==x+≥2=2，當且僅當x=，即x=1時取等號，即f（x）的最小值是2，由g（x）=，則g′（x）==，由g′（x）＞0得0＜x＜1，此時函數g（x）為增函數，由g′（x）＜0得x＞1，此時函數g（x）為減函數，即當x=1時，g（x）取得極大值同時也是最大值g（1）=，則的最大值為=，則由≥，得2ek≥k+1，即k（2e﹣1）≥1，則，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．（Ⅰ）求函數f（x）的最小值m；（Ⅱ）若正實數a，b足+=，求證：+≥m．參考答案：【考點】不等式的證明；基本不等式．【專題】選作題；不等式．【分析】（Ⅰ）利用f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2求函數f（x）的最小值m；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可證明．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2，…（2分）當且僅當x∈[3，5]時取最小值2，…（3分）∴m=2．…（4分）（Ⅱ）證明：∵（+）[]≥（）2=3，∴（+）×≥（）2，∴+≥2．…（7分）【點評】本題主要考查絕對值不等式和均值不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．19.已知平面四邊形MNPQ中，MN＝，MP＝1，MP⊥MN，PQ⊥QM．（Ⅰ）若PQ＝，求NQ的值；（Ⅱ）若∠MQN＝30°，求sin∠QMP的值．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由題意可得∠QMN＝150，根據余弦定即可求出，（Ⅱ）∠QMP＝θ，由題意可得QM，∠MNQ，在△MNQ中，由正弦定理結合三角恒等變換整理可得tanθ，再根據同角三角函數的基本關系，即可求出【詳解】解：（Ⅰ）如圖：∵MN＝，MP＝1，MP⊥MN，PQ⊥QM，∴PQ＝＝，∴sin∠QMP＝＝，∴∠QMP＝60°，∴QM＝PM＝，∴∠QMN＝150°，由余弦定理可得NQ2＝QM2+MN2﹣2MN?QM?cos∠QMN＝+3﹣2×××（﹣）＝，∴NQ＝，（2）：∵MN＝，MP＝1，MP⊥MN，PQ⊥QM設∠QMP＝θ，由題意可得QM＝cosθ，∠MNQ＝60°﹣θ，在△MNQ中，由正弦定理可得＝，即＝2，整理可得tanθ＝，∵sin2θ+cos2θ＝1，∴sinθ＝，故sin∠QMP＝．【點睛】本題考查了三角函數的化簡和求值，以及正弦定理余弦定理的應用.20.（12分）已知函數f（x）=xlnx，g（x）=．（I）當k=e時，求函數h（x）=f（x）﹣g（x）的單調區間和極值；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）恒成立，求實數k的值．參考答案：【考點】：函數恒成立問題．【專題】：計算題；綜合題；探究型；分類討論．【分析】：（Ⅰ）把k=e代入函數解析式，求出函數的導函數，由導函數的符號得到函數的單調區間，進一步求得函數的極值；（Ⅱ）求出函數h（x）的導函數，當k≤0時，由函數的單調性結合h（1）=0，可知h（x）≥0不恒成立，當k＞0時，由函數的單調性求出函數h（x）的最小值，由最小值大于等于0求得k的值．解：（Ⅰ）注意到函數f（x）的定義域為（0，+∞），h（x）=lnx﹣，當k=e時，，若0＜x＜e，則h′（x）＜0；若x＞e，則h′（x）＞0．∴h（x）是（0，e）上的減函數，是（e，+∞）上的增函數，故h（x）min=h（e）=2﹣e，故函數h（x）的減區間為（0，e），增區間為（e，+∞），極小值為2﹣e，無極大值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當k≤0時，h′（x）＞0對x＞0恒成立，∴h（x）是（0，+∞）上的增函數，注意到h（1）=0，∴0＜x＜1時，h（x）＜0不合題意．當k＞0時，若0＜x＜k，h′（x）＜0；若x＞k，h′（x）＞0．∴h（x）是（0，k）上的減函數，是（k，+∞）上的增函數，故只需h（x）min=h（k）=lnk﹣k+1≥0．令u（x）=lnx﹣x+1（x＞0），，當0＜x＜1時，u′（x）＞0；當x＞1時，u′（x）＜0．∴u（x）是（0，1）上的增函數，是（1，+∞）上的減函數．故u（x）≤u（1）=0當且僅當x=1時等號成立．∴當且僅當k=1時，h（x）≥0成立，即k=1為所求．【點評】：本題考查了函數恒成立問題，考查了數學轉化思想方法和函數構造法，訓練了利用函數的導函數判斷函數的單調性，訓練了利用導數求函數的最值，是有一定難度題目．21.（14分）

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若，，求的值．參考答案：解析：（1）設橢圓C的方程為，

拋物線方程化為，其焦點為，

橢圓C的一個頂點為，即，……………3分

由，得，

∴橢圓C的方程為．……………………6分

（2）由（1）得，…………7分設

，，顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，代入，并整理得，

………9分∴．………10分又，

，由，，得，，∴，

………………12分∴．

………………14分

22.由中央電視臺綜合頻道（）和唯眾傳媒聯合制作的《開講啦》是中國首檔青年電視公開課.每期節目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對于生活和生命的感悟，給予中國青年現實的討論和心靈的滋養，討論青年們的人生問題，同時也在討論青春中國的社會問題，受到青年觀眾的喜愛，為了了解觀眾對節目的喜愛程度，電視臺隨機調查了A、B兩個地區的100名觀眾，得到如下的2×2列聯表，已知在被調查的100名觀眾中隨機抽取1名，該觀眾是B地區當中“非常滿意”的觀眾的概率為0.35.

非常滿意滿意合計A3015

Bxy

合計

（1）現從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進行問卷調查，則應抽取“非常滿意”的、地區的人數各是多少.0.0500.0100.0013.8416.63510.828

（2）完成上述表格，并根據表格判斷是否有95%的把握認為觀眾的滿意程度與所在地區有關系.（3）若以抽樣調查的頻率為概率，從A地區隨機抽取3人，設抽到的觀眾“非常滿意”的人數為X，求X的分布列和期望.附：參考公式：.參考答案：（1）A抽6人，B抽取7人；（2）沒有的把