習題全解?第八章多元函數微積分

習題8-1

1.在y軸上求與點人(1,一3,7)和點5(5,7,-5)等距離的點。

解設y軸上有點P(0,y,Q)與A和8點等距離。

則陷=7(0-1)2+(y+3)2+(0-7)2=j50+(y+3)2

|PB\=7(0-5)2+(y-7)2+(0+5)2=回

由|F=|P@得y=2

即在y軸上與點A(l,—3,7)和點5(5,7,-5)等距離的點為(0,2,0)

2.指出下列平面的特點，并畫出草圖：

(1)2x-y+3=0；(2)3x—5=0；

(3)x-z=0；(4)x+2y=0；

(5)x-y—z=0；(6)z=0.

(3)方程中，3=0=0平面過y軸。

(6)方程中，4=8=。=0平面重合于_?9平面。

3.指出下列方程所表示的曲面，并畫出草圖：

(1)%2+y~+z?=1；(2)4~y2—4x—0

(3)—+^-=1；(4)z=F

94

(5)4x2+4y2+9z2=36；(6)x2+y2--^-=1；

（7）z-y/^-x2—y2；（8）z=2-Jx2+y2.

解（1）表示球心在原點，半徑為1的球面

（3）表示母線平行于z軸的橢圓柱面

（4）表示母線平行于x軸的拋物柱面

（5）表示旋轉橢球面

(8)表示圓錐面

4.寫出下列旋轉面的方程：

(1)zQx面上的直線z=2x分別繞x軸、z軸旋轉而成的旋轉面；

(2)yOz面上的拋物線＞2=3z繞z軸旋轉而成的旋轉面；

(3)yOz面上的圓丁+z?=4繞y軸旋轉而成的旋轉面；

(4)面上的橢圓f+4y2=4繞x軸旋轉而成的旋轉面.

解(1)繞x軸旋轉：4x2-(y2+z2)=0.繞丁軸旋轉：22-4(/+/)=0

(2)/+y2-3z=0

222

(3)x+y+z=4

⑷x2+4(y2+z2)=4

5.畫出下列曲面所圍立體的圖形：

(1)旋轉拋物面z=8-爐一產與平面：

(2)旋轉拋物面z=/+y2與平面z=4；

(3)圓柱面Y+y2=16與平面y+z=4,Z=0

(4)曲面Z=J%2+y2與Z=j2_j2_y2

解⑴

夕

(2)

%

(4)

習題8-2

1.已知函數f(x,y)=x2y-xy2,試求/(xcosy,xsiny)

解/(xcosy,xsiny)=(xcosj)2xsiny-xcosy(xsiny)2

=x2cos2y?xsiny-xcosy-x2sin2y

=x3cosysiny(cosy-siny)

2.已知函數f5,%w)=試求f(x+y,x-y,xy)

解f(x+y,x-y,xy)=(x+y)x~y+xy2x

3.求下列函數的定義域：

(1)z=yjx2+y2+ln(4-x2-y2)

x2+y2-1>0

2

解要使函數有意義，須使］4-X-/>0

解得』2+y2<4

所以函數的定義域為{(x,Mic/<4}

(2)/U,y)=arcsin^

解要使函數有意義，須使］為

XHO

解得%>0時，》<0時，

所以函數的定義域為

{(x,y)\x>0,-xWyWx}u{(x,y)|x<O,x<y<-x}

⑶z=4x-6

x-y[y>0

解要使函數有意義，須使0

解得丘0,”0,%2。

所以函數的定義域為{(x，y)kN°，yN°，x2Ny}

(4)u=^9-x2-y2-z2

解要使函數有意義，須使八一一丁一之。

^x2+y2+Z2<9

所以函數的定義域為{x2+y2+z2<9}

4.下列函數在哪些點間斷？

z，+3y-l

⑴x-2

解當苫=2時，函數間斷

所以函數有一條間斷線為{(%y)k=2}

eq

,7=-------

⑵x4+/

解當x=O,y=O時，函數間斷

所以函數間斷點為(°。)

習題8-3

1.求下列函數的偏導數和全微分

i2

(1)z=xy-xy+1

解-3z^=3x2y-y2S-z^=x3-2xydz=(3x2y-y2)dx+(x3-2xy)dy

oxdy

力z=xln(孫)

dz..yi/、i

—二In(孫x)+x—=in(xy)+1

dxxy

—dz=xx—=x—

dyxyy

dz=(Inxy-^V)dx+—dy

y

7=^-y

⑶1+孫

dz=(x-y)'(l+盯)-(x-y)(l+xy)'=l+xy—jcy+y2=]+/

解dx(1+xy)2(1+Ay)2(1+xy)2

dz_(x-y)71+xy)-(x-y)(l+xy)'_-(l+jcy)-(x-y)x_1+x2

~8y~(1+xy)2-(1+xy)2—(1+xy)2

-^4小力

dz=

(1+個>(1+Ay)2

z=arcsinjx?+V

(4)

dz_12x_x

解222222

Gx^\-x-y2而2+y2^i-x-yyjx+y

,X.y

dz=i—1----------=dx+

u=ysinx+2xz'

(5)

dudu3〃,2

ycosx+2z3——=sinx——=oxz

解dxdydz

du-(jcosx+2z3)(i￥+sinxdy+6xz2dz

(6)—(If)”

解.=_yz(i_%y)zT

S=TZ(1-xyy-1

2=(1-xyy-/n(1-xy)

du=-yz(l-孫)1Jx-xz(l-打尸dy+(1-孫)'ln(l-xy)dz

2.設函數于。，y)=(x+2y),求/；(0,l)和4(0,1)

解因為￡=e"cosx(x+2y)+eW所以?((),])=3

因為小網《+2)所以A°，l)=2

3設/(%,y2)=口2+”2+〃2,求力(0,2,1),九(1,0,2),/；；(0-1,0)t點(2,0,1)

解因為力=八2笈所以￡'(0,2,1)=4

因為力：=2x所以￡1(1,0,2)=2

因為/：=2個+z?,<：=2z所以聚(0,-1,0)=0

以為工'=2yz+V,￡=2y,笈=。所以工黑2,0,1)=0

4.求下列函數的二階偏導數：

(1)z=cosQx-3y)

解^=-sin(2x-3y>2|-f-=-4cos(2x-3y)

—=sin(2x-3y)-3=-9cos(2x-3y)

dydy

d2zd2z

------=-------=6cos(2x-3y)

dxdydxdy

z=arctan—

x

dz_1(yS2z_2xy

解dxy2Ix2)x2+y2dx2(x2+y2)2

1+-T

x

dz_1x_-2xy

力一VGy2-，+y2)2

]H---T

22

y7

Sxdydxdy(x2+y2J

(3)z=x'

2

6z)Tdz2

解率=.加=如-2

^=xy\n2x

—=xy\nx

dy2

d2z_d2z

=xy~l(1+yInx)

dxdydxdy

(4)

dxdydxdy

5.設z=e”，證明/瓦+丁g22

Sz_-(H)18z_-(21

證明因為五=?-7詼=e-

6.設z=ln(e'+"),證明數鏟=(蒜產

dz_exdz_ey

證明因為陵e+ey6ye+ey

d2z_exeyd2z_exeyd2z_gJgv

dx2(e'+ey)2dy2(ex+ey)2dxdy(e'+ey)2

必無淤,啊「e'e'

22xyv2

dxdy~(e+eJSxdy~(e'+e)

d2zd2z_d2z2

所以&2/2QxQy

習題8-4

x^2+y2

L求函數Z=(f+y2)e=的一階偏導數.

解設〃+y2,u=^則有z=〃e-

dzdzdudzdv

—=--------1--------

dxdudxdvdx

■+—―9―十/22

=[exy+(x2+y2)exy-]-2x+(x2+y2)exy(一，)y

xyxy

x2+y222/+y2

=e=[(1+^^-)?2幻+e=[(/+y2).(—￡4Z_)]

孫xy

=e等②+組工3]

yxy

?+'44

A3，

二e盯(2X+7)

xy

—dz=d--z--d-u---1-d--z--d-v--

dydudydvdy

v+ucv—,2,y+ucv(——)x

v)v

-2+y2/+y2/+'2?2

=[exy+(x2+y2)e肛—]-2y+(x2+y2)e盯)x

孫xy

x2+y222x2+y2?2

=尸[(1+±±21).2)[+尸口2+/).(_三字)]

xyxy

=用次空工qt]

X盯

一+-44

=exy(2y+y-%)

xy

、n21nycc_u.OZOZ

2.設z=，lnu,而u=—,v=2x-3y,求一,一.

xdxdy

_d_z—_d_z_d_u_|__d_z_d_v

解dxdudxdvdx

=2?lnV(-^-)+M2-2

XV

=至1n(2x—3y)(T+《J7r2

xxx2x-3y

=當J'7-ln(2x-3y)]

x2x-3y

—dz=-d-z-d-u-1--d-z-d-v

dydudydvdy

13

=2wlnV(-)+W2-(-3)

XV

=-ln(2x-3y)(—)+斗--^――(-3)

xxx2x-3y

=4[21n(2x-3y)--^—]

x2x-3y

3.設z=〃u+sin/，而u=el,v=cost,求生.

dt

解設z=/(x,y9z)

dz_dfdfdudfdv

dtdtdudtdvdt

=cosZ+-wsinr

=cosr+cos〃-elsint

=er(cost-sinr)+cosz

4.設z=；ln，+y2),而y=e*,求為警

解法1利用鏈導法則，有

dzdzdzdy

—=---1------

dtdxdydx

2Iii2

2y2)

2

x-2xye-x2x(l-2e~2x2)

x2+y2x2+e-2x2

21

解法2將y="尸代入z=-ln(x2+/)得

z=^ln(x2+e~2x)

dz_12x+e^2x-(-4x)

故有

dx2x2+e~2x2

dzx(l—2e2a)

dxx2+e”'

5.設z=y+/（〃）,而％=J-J,其中/（〃）為可導函數,求證:

dzdz

y----Fx—=x.

dxdy

證明由已知可得—=r（w）-2x

dxdudx

=1+?=1+r(〃)?(一2y)=1-2yf'M

dydudy

3zdz

所以y—+=^xyf'(u)+x(l-2yf'(u))=x

dxdy

dzdz

即Hny----FX-=x成"

'dxdy

6.求下列函數的一階偏導數（其中，具有一階連續偏導數）:

(1)z=f(x2-y2,exy),⑵"=/(),一),

xy

(3)z=f(x3,xy,x+y),(4)s=f(x3^xy+xyz).

解（1）令〃=--/，丫=6"，則z=/（M,V）,于是

包=〃包+笠型=2x紅+y*堂

dxdudxdvdxdudv

包=生辿+或曳=_或+x*或

dydudydvdydudv

(2)令s=2/=三則〃=/(sJ),于是

xy

du_dfds^dfdt_ydf

dxdsdxdtdxx2ds

du_^ds更史_,更_三笠

dydsdydtdyxduy2ds

du_dfdsdfdt_Idf

dzdsdzdtdzyds

(3)令〃=冗3,口=9,卬=工+＞，則z=/(〃,匕w),于是

dz_dfdu^dfdv^dfdw_dfdf^df

dxdudxdvdxdwdxdudvdw

dz_dfdu^dfdvdfdw_df^df

dydudydvdydwdydvdw

(4)令〃=d+xy+盯z,則s=/(%),于是

dsdfduxdf

dxdudxdu

dsdfdu.df

—=-.......=(x+xz)x—

dydudydu

ds_dfdu_df

——AV

dzdudzdu

習題8-5

3zdz

1.求由下列方程所確定的隱函數的偏導數一和一：

dxdy

(1)x+2y+3z—2A/孫z=0，(2)—=In—.

'zy

解（1）解法1將方程x+2y+3z—2A際=0兩邊對x求導數，得

dz

dz沖+孫工

1+3—....六口=0

dxyjxyz

從中解得|￡,陪二年叵

oxox3^xyz-xy

類似可得包=笄匹

Qy^xyz-xy

解法2令尸（工,、,2）=%+2丁+32-2/&,則有

Y7

(2)將方程一二ln一兩邊對x求導數，得

zy

dzdz

z—x——

dx_ydx

z1zy

從中解得3殍z，得d笄zz

dxdxz+x

Qzz~

類似可得學二、

oyy(z+x)

d2z

2.設％2+y2+%之-4z=0,求

dx2

解將方程x2+y2+z2—4z=。兩邊對不求偏導數，得

2x+2z—-4—=0,解得走=-^-

dxdxdx4-2z

將上=上一兩邊對X求偏導數，得

dx4-2z

d2z_2(42z)-2久(2豹(Z-zT+J

dx2(4-2z)2(2-z)3

3.設z3-3砂z=l,求.0?.

dxdy

解將方程z'-3孫z=l兩邊對x求偏導數，得

a7分？

2

3z--3yz-3xy—=0f解得

dxdx

dz_yz

dxz2-xy

dyz2-xy

將它=4乙兩邊對y求偏導數，得

dxz-xy

2(z+y*)(z2-xy)-yz(2z5一x)

oz_dydy

dxdy(z2—xy)2

將r)7上XT—.代入，整理得

dyz-xy

d2z_ZQ42Ayz2一「2y2)

dxdy(z2-xy)3

Hz

4.設2sin(x+2y-3z)=x+2y—3z,求證一十二=1.

dxdy

證明將2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z兩邊對x求偏導數，得

Qzdz

2cos(x+2y-3z)(l-3—)=1-3—

dxdx

從中解得白，得包=1一2cos(x+2y-3z)=J_

dxdx3-6cos(x+2y-3z)3

Q?

類似可得z

dy3

uu”dzdz121

所以——+——=—+—=1

dxdy33

習題8-6

1.求函數/（兌y）=4（*一），）一工2一卜2的極值.

解函數的定義域為。={(x,y)|-8<x<+oo,-00<x<-Foo!

￡'(x,y)=4—2xf；(x,y)=—4—2y

N(x,y)=oJ/；(x，y)=4-2x=。

得駐點（2,-2）

/；(x,y)=0|/vUy)=-4-2y=o

又f：'(x，y)=-2,(x,y)=0,f；y(x,y)=-2

在點(2,-2)處，A=-2,B=0,C=-2

因為5?-AC=T<0,且A=—2<0,

所以點(2,-2)是極大值點，極大值/(2,-2)=8

2.求函數/(元歷=02%工+了2+2刃的極值.

解函數的定義域為￡)={(x,y)[T?<x<+oo,-oo<x<+oo}

2x22x2

/；(x,y)=2e(x+y+2y)+efy(x,y)=e'(2y+2)

222A

ZJ￡'(x，y)=0HJ￡'(x，y)=2e'(x+y+2y)+f=0

[4(X，y)=0'[4(x,y)=/*(2y+2)=0

解得駐點(g,-l)

又)')=4/"(x+/+2>)+e2v+2*

￡&y)=(2y+2)f*x,加2e2^

在點、2',處，A=10e,8=0,C=2e

因為B2-AC=T<0,且A=10e>0,

所以點（；‘一1）是極小值點，極小值/（；,一1）=—上

3.直角三角形的斜邊長為/,當它的兩條直角邊是多少時周長最大？

解設直角三角形的兩條直角邊分別是x、y,斜邊/=Jf+y2

周長C=%+y/l^—%2+I（0VxV/）

C'=1-^==，令c'=0,得駐點為X=+則y=中='

因為函數在定義域內只有一個駐點x=看，根據實際問題，直角三角形一定存在最大周

長，

所以，當此直角三角形的兩條直角邊x=y=a時，它的周長最大

4.某廠要用鋼板制作容積為2m-的無蓋長方體容器，問它的長、寬、高各取多少時，用

料最省？

解設容器的長、寬、高分別是X”?、ym、zm,則表面積為S=j^+2（yz+xz）。

222/

由已知孫z=2,知2=—,于是得S=xy+2(—+—)(x>0,y>0)

肛xy

力-—福f^,y)=x-±

/；(x，y)=y-W=o

人"M，y)=o即(x解得駐點防，的)

f；(x,y)=x--r=o

函數在定義域內只有一個駐點退），此時有Z=J=。

72

根據實際問題，容器的最大表面積一定存在，因此，當長方體的長為退機、寬為偏、

1

高為"?時，容器的表面積最大。

V2

5.有一塊寬為24cm的鐵皮，現要將它的兩邊折起做成一個梯形斷面水槽，如圖8-27所示,

為使水槽中水的流量最大，即水槽的橫截面積最大，求傾角a和乩

解設兩端折起xc機，傾角為則梯形斷面的下底為24-2%,

高為15111(萬-。)=10皿。，上底為24-2x-xcosg-a)=24-2x+2xcosa

斷面面積為

S=(24-2x+2xcosa+24-2%).xsina」

2

=(24-2x+xcos6Z)xsina

S：(x,a)=2sina(12-2x+xcosa)

S"(x,<z)=x(24coscif-2xcos<z+xcos2?-xsin2a)

人

S；(x,y)=OTT

令V、得駐點(8,一)

[s；(x,y)=O,3

函數在定義域內只有一個駐點(8,

根據實際問題，水的流量一定存在最大值，因此,橫截面折起部分長8cm,傾角為土TT時,

3

水槽的橫截面積最大。

習題8-7

1.確定下列積分的值

(1),也-%2_y2db其中。是圓域：x2+y2^4

D

(2)JJ2db其中。是矩形域：—IWxWl,0WyW3

D

解(1)由二重積分的定義，該積分就是球心在坐標原點，半徑為2的上半個球體的體

積。J丁彳一彳？一y2ab=gxg%-23=與與

(2)由二重積分的定義，該積分就是高為2,長為2,寬為3的立方體的體積。

JJ2dcr=2x3x2=12

D

2.用二重積分表示所給曲面或平面所圍立體的體積：

(1)曲面z=8—_?-y2與n作平面所圍的立體；

(2)曲面Z=》2+y2與平面2=〃(力＞0)所圍的立體；

(3)圓柱面f+y2=],平面y+z=2與X。〉平面所圍的立體.

解(1)JJ(8-x2-y2)t/cr,D^2+/<8

D

(2)jj(h—x2—y2)d(r,Dvc2+y2<h

D

(3)(2—y)da,Djc2+y2<l

D

習題8-8

1.計算下列二重積分

(1)，(尤3+3%2y+y3)db,其中。是矩形閉區域：0<X<1,0<y<1.

D

解U(/+3/y+y3Mb=￡公1(d+3/y+y3)辦

D

門〉+|丹2+”拉“1+#+；卜

[-x^-x3+]現=1

42

(2)Jj(2x+3y—l)db,其中。是由直線x+y=2和兩坐標軸圍成的閉區

D

域.

解將區域。(如圖所示)用不等式組表示為

0<y<2-x

04x?2

Jj(2x+3y-\)d<y=］：公］；*(2x+3y-1)dy

D

=J：［2盯+#一對公口一UT+4H

2}

1,114

=[—x—x~?+4x]9=—

6203

(3)［2］。，其中。是由直線y=x,y=2x,x=2,x=4所圍成的閉區域.

Dx

解將區域。(如圖所示)用不等式組表示為

x<y<2x

2<x<4

=^-xdx=[-x^2=9

(4)\\e-y2d(y,其中。是由直線y=x,y=l及y軸所圍成的閉區域.

D

解將區域。(如圖所示)用不等式組表示為

o<J<1

OWxWy

JJeS=

D

=(⑹，內力=La㈠)

(5)\\xyda,其中。是由拋物線y2=x與直線y=x—2軸所圍成的閉區域.

D

解將區域。(如圖所示)用不等式組表示為

-i<y<2

V

y2<x<y+2

J?孫加=[例；孫小x2y]ydy

￡

->3+2/+2y-；>5)dy

l

-

[8-

-45

8一

(6)JjxcosU+jW，其中。是頂點為(0,0),(1,0),(孫］)的三角形閉域.

D

解將區域。(如圖所示)用不等式組表示為

2.改變下列二次積分的積分次序:

(1)J；辦J；/(x,y)公；(2)1：沖哈/(樂丁)公;

-lnx

⑶J公］/(x,y)dy；Wof(x,y)dy.

0<x<4

解：（1）積分區域為不等式組《y也可以表示成不等式組，

（0<y<2Ifv"

因此1y）"x=「公r于（X，y）"y

“2

-71-r<x<yl\-y-也可以表示成不等式組

（2）積分區域為不等式組（

0<y<l

0<y<-\/l-x2

因此/(x,y)dy

Q<x<2

（3）積分區域為不等式組《,-------也可以表示成不等式組

2-x<y<\2x-x"

2-y<x<l+

0<y<l

廣22x-x2(*\fl+Jl-y2

因此letf^y)dy^LdyL于",y)dx

O<y<Inx0<J<1

（4）積分區域為不等式組《,也可以表示成不等式組1

l<x<eey<x<e

因此「甸：f(x,y)dy=￡可,f(x,y)dx

3.利用極坐標計算下列二重積分：

（1）Jj/db,其中。是由圓爐+尸=1與f+,2=4所圍成的環形閉區域；

D

（2）Jjln（l+x2+/W（r,其中。是由圓周V+y2=i與兩坐標軸所圍成的在第一

D

象限內的閉區域；

（3）jj（l-2x-3y）db,其中3是圓域?+-425；

D

（4）Jj（4一x-y）d（r,其中。是圓域/+VW2y.

D

1<r<2

解：（1）區域。可表示為：<八，于是

Q<0<2TT

r2cos23rda=/d0^r3cos2Odr

DD

=『號均ejj

112萬

(±，,sin26)

24041

15

=-71

4

0<r<l

(2)區域。可表示為：〈7t,于是

0<6?<-

2

*.

jjln(l+x2+y2)da=jjln(l+r2)-rd<j=[2d0[ln(l+r2}rdr

JoJo

DD

TT

=^(21n2-l)

0<r<5

(3)區域。可表示為:,于是

<O<0<2TT

jj(l-2x-3y)db=jj(l-2〃cose-3rsin0)rdrdO-￡[l-r(2cos^+3sin^)]rJr

DD

=￡Tfr-r2(2cos^+3sin^)]Jr=￡T[^-^|^(2cos^+3sin^)]c/^

=g。一竽(2sin。—3cos6)]j

=25%

(4)區域。的邊界曲線方程x2+y242y化成極坐標形式為r〈2sin。。積分區域。

0<r<2sin6>

可表示為:于是

0<0<71

jj(4-x-y)da=jj(4-rcosO-rsin0)rdrdO=￡dgj^(4-rcos^-rsinO)rdr

DD

2sin0

=［：W?；/-(cos。+sin6)?g，］

0

Mell1A

=8f(sin2^――s/Ocos。——sin40)d0

J。33

=3兀

4.利用二重積分計算由下列曲線所圍成的平面圖形的面積:

2222

(1)y=x9y=4x-x；(2)y=2x+l,y=-2x+l.

解：(1)如圖4u所示，所圍區域可以表示為不等式組：r->-4x~x

0<x<2

于是，所求面積為

°=JJ加=Iodx『辦=￡(4x-2/a=g

DJ

-\<y<l

(2)如圖4-2所示，所圍區域可以表示為不等式組：\/_1,一1

-----<%<------

I22

于是，所求面積為

]尸一11

叩加工班了dx=\\-y2dy

。2

=2j；L，=2(TH=g

5.計算由下列曲面或平面所圍立體的體積：

(1)平面2x+3y+z-6=0與三個坐標平面所圍成的立體;

（2）旋轉拋物面Z=6—/—y2與圓錐面2=，^+；/所圍成的立體；

（3）圓柱面x?+），=16與平面y+z=4,z=0所圍成的立體.

解：（1）由己知作出圖形如圖5-1所示，所求立體是一個三棱錐，可直接求出三棱錐的

體積。

V=-x—x2x3x6=6

32

（2）由已知作出圖形如圖5-2所示，所圍立體圖形上半曲面是拋物面，下半曲面是開

口向上的錐面，由二重積分的幾何意義，所求體積為

V=JJ[(6—X2—y2)+Jx2+y2]dxdyD:x2+y2<4

(2)

可轉化為極坐標計算:

=[[[(6—x2—y2)+Jx2+y2]dxdy=fdOf(6+r—r2)rdr=

JJDJOJO3

（3）由已知作出圖形如圖5-3所示。所求立體圖形是底面為平面閉區域。：/+y2<16,

頂是平面y+z=4的曲頂柱體，故體積為

V=jj(4-y)dxdy=jj(4-rsinO)rdrdO

DD

=jJd"：(41一產sinO)dr=((32-sin0)d0=64萬

6.設平面薄片所占的閉區域。是由拋物線>=/與直線y=x所圍成，它在點(x,y)處的

面密度為/?(x,y)=x-y,求該薄片的質量.

解：如題所示，區域D可表示為

0<y<l

_y<x<y[y

于是，所求薄板的質量為圖6

m=Jjx2ydcr=fdy^x2ydx

D

=-x3y^dy=-—y"My='

的,y3Jo35

TT

7.設平面薄片所占的閉區域。是由螺線，「=26上的一段弧(0W64一)與直線

2

6=1所圍成，它的面密度為雙乂田二/^+丁，求該薄片的質量.

解：如題所示，區域D可表示為

JT

0<0<-

.2

O<r<20

于是，所求薄板的質量為

m=JJJ—+y2dcr=JJrrdrdO

DD

=p-r32°d9=p泊曲=—圖7

Jo30Jo324

習題8-9

1.計算，(x+>)dx+{y—x)dy,其中L為下列幾種情形：

(1)拋物線y=2/上從點(0,0)到點(1,2)的一段弧;

(2)拋物線丁=4%上從點(0,0)到點(1,2)的一段弧；

(3)直線y=2x上從點(0,0)到點(1,2)的一段弧；

(4)先沿直線從點(0,0)到點(1,0),再沿直線從點(1,0)到點(1,2).

解：(1)L的方程為了=2J,6=4火反，起點x=0,終點x=l

所以

[(x+y)dx+{y-x)dy

-j(x+2x2)dx+(2x2-x)4xdx

=￡(8x3-2x2+x)dx

=(2x4--x3+—x)1

320

_n

6

(2)L的方程為y2=4x,龍=?,起點為x=0,

終點y=0，終點y=2

所以

，(x+y)dx+(y-x)dy

<?2y21y2

=Jo(丁+y)5ydy+(y--—)dy

1413122

=(z—y+—y'+-y-)

32-1220

19

~~6

(3)L的方程y=2x，ay=2dx,起點x=0,終點x=l

所以

工(尤+了)dx^^y-x)dy

[(x+2x)dx+C2x-x)2dx

Jo

5xdx

5

2

(4)由曲線積分對路徑的可加性，有

j(龍+y)dx+(y-x)dy

其中Li：y=0,0Wx<Ltfy=0

L2：x=1,0<^<2,t/x=0

￡(x+y)dx+{y-x)dy

-￡(x+y)公+(y-x)dy+，(x+y)dx+(y-x)dy

=(y-l)Jy

11J2

=-x2+(-y2-y)

202'-o

_]_

-2

2.利用曲線積分計算下列曲線所圍平面圖形的面積：

、口?,,、x-acosyt

(1)星形線《§；

y=asint

(2)圓/+y2一4%=0.

解：⑴

S=；￡xdy-ydx

1,2"□oa,

=—￡(3cos'/sinrcosr+3sinrcostsint)dt

3.2”27

=—sin-rcostdt

2Jo

31,2乃

=^--￡(l-cos4r)Jz

3

——71

8

x=2+2cosf

（2）圓的參數方程為4

y=2sinf

所以

5=^j^xdy-ydx

],2兀

—[(2+2cosZ)2cosr-2sinr(-2sinZ)]Jr

112”

=

~](](4cos/+4辿

=4)

3.計算曲線積分?（f一肛3）公+（,2_2xy）dy，其中心是頂點分別為（0,0）.（2,0）、

（2,2）、（0,2）的正方形區域的正向邊界，并驗證格林公式的正確性.

解：P(x,y)=x2-xy3,Q(x,y)^y2-2xy

dQ_dP=-2y+3砂2

dxdy

記L所圍閉區域為。，。可表示為

（O<^<2

由格林公式，得

￡，_xy^）dx+（y2-2xy）dy

=jj（-2y+3xy2）dc

D

=￡域（一2y+3孫2心

=「（6y2-4y）dy

=8

驗證：利用曲線積分的計算方法直接積分。將積分弧L分成四段4+4+4+4，