第3章正弦交流電路3.1

正弦交流電的基本概念

隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓、電流稱為正弦交流電（簡稱交流電）表達式

正弦交流電的三要素：振幅、初相、角頻率3.1.1正弦交流電的三要素

周期T頻率f角頻率

正弦交流電壓波形圖

3.1.2正弦交流電的有效值將直流電流I和正弦電流i(t)通過電阻R時的功率和能量作一比較，導出正弦電壓電流的有效值。3.1.3同頻正弦交流電的相位差通常把兩個同頻率的正弦量的相位之差稱為相位差，用表示

如兩個同頻率的正弦電流電流i1(t)與i2(t)間的相位差為相位差

反映出兩個正弦量在時間上的超前和滯后關系：當

=

1-

2>0時，表明i1(t)超前i2(t)，超前的角度為

。當

=

1-

2<0時，表明i1(t)滯后i2(t)，滯后的角度為|

|。上式表明兩個同頻率正弦交流電在任意時刻的相位差均等于它們初相之差，與時間t無關。(a)電流i1超前于電流i2,(b)電流i1滯后于電流i2當

=

1-

2=0時，i1(t)與i2(t)同相。當

=

1-

2=

時，i1(t)與i2(t)反相。當

=

1-

2=/2時，i1(t)與i2(t)正交

(c)同相(d)正交(e)反相例1

已知正弦電壓的振幅為10V，周期為100ms，初相為2

/3。試寫出正弦電壓的函數(shù)表達式和畫出波形圖。解：角頻率函數(shù)表達式為波形如右圖。例2

試求正弦電壓的振幅Um

、初相

與頻率f

。解：將正弦量表達式化為基本形式：所以Fm=10，

=/3rad,

=100rad/s,f=

/2=50Hz例3

已知正弦電壓u(t)和電流i1(t),i2(t)的表達式為試求:u(t)與i1(t)和i2(t)的相位差。

u(t)與i2(t)的相位差為解：u(t)與i1(t)的相位差為

習慣上將相位差的范圍控制在-180°到+180°之間。如：我們不說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為-240

，而說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為(360

-240

)=120,即：u(t)超前于i2(t)120

。3.2正弦量的相量表示一個正弦量可由其振幅（有效值）、角頻率和初相位3個要素來確定.3.2.1復數(shù)及其四則運算直角坐標形式：A=a+jb三角形式：A=r(cos

+jsin

)指數(shù)形式：A=rej

極坐標形式：A=r

+1jr

ab0復數(shù)的復平面表示a=rcos

b=rsin

(2)復數(shù)運算A=a1+ja2=a∠

，B=b1+jb2=b∠φ

A×B=ab∠

(

+φ)

則：A±B=a1±b1+j(a2±b2)若A=B

則a1=b1，a2=b2=b

或,a=b,∠=∠φ例3.2.1已知A=4+j3，B=10-600，求A+B,A-B,AB,A/B。分析正弦穩(wěn)態(tài)的有效方法是相量法(Phasormethod)，相量法的基礎是用相量或復數(shù)來表示正弦量的振幅和初相。注意：其頻率不變。稱為：f(t)的振幅相量

3.2.2正弦量的相量表示+1jFm

0相量圖Fm

sin

Fm

cos

正弦量

f(t)的有效值相量有效值相量正弦量有效值與復值的關系：正弦量f(t)是以角速度ω沿反時針方向旋轉的旋轉相量虛軸投影。即：1j

t2

t2tf(t)正弦量與其相量的對應關系：可見，一個按正弦規(guī)律變化的電壓和電流，可以用一個相量(復常數(shù))來表示。已知正弦量的時間表達式，可得相應的相量。反過來，已知電壓電流相量，也就知道正弦電壓電流的振幅和初相，再加上角頻率，就能寫出正弦電壓電流的時間表達式(兩者存在一一對應關系)。即或：顯然，有一般地：可以任意選用振幅相量或有效值相量來表示同一個正弦量；但選用有效值相量更為普遍些。在沒有特指的情況下，指的是有效值相量。相量：用復平面(二維空間)中的復常數(shù)表示正弦量的振幅或有效值、初相。以正弦電壓為例：相量圖：為了形象描述各個相量(表示正弦量)之間的相位關系，把一些相量畫在同一張復平面內。參考相量：上圖中假設為零相位的相量。例4

已知電流i1(t)=5cos(314t+60

)A,i2(t)=-10sin(314t+60

)A。寫出它們的相量，畫出相量圖。解：相量圖如圖所示。相量圖的另一個好處是可以用向量和復數(shù)的運算法則求同頻率正弦電壓或電流之和。平行四邊形法則。從相量圖容易看出各正弦電壓電流的相位關系：i2(t)超前于i1(t)90°。１。試求下列正弦量的振幅相量和有效值相量２。試寫出下列相量所代表的正弦量。已知3.3

正弦交流電路中的電阻、電感、電容元件電阻元件R

電感元件L

電容元件C

電阻的模型和相量圖

3.3.1電阻元件的伏安關系及相量形式當電流i(t)=Imcos(

t+

i)時，電阻上電壓電流關系：電壓和電流是同頻率的正弦時間函數(shù)。其振幅或有效值之間服從歐姆定律，其相位差為零(同相)，即時域：由上述推導，得在關聯(lián)參考方向下電阻電壓電流的相量形式為或相應相量模型如圖(b)所示，反映電壓電流相量關系的相量圖如圖(c)所示，由此可看出電阻電壓與電流的相位相同。電感的模型和相量圖3.3.2電感元件伏安關系的相量形式

當i(t)=Imcos(

t+

i)時電感上電壓電流關系：由上述推導，得在關聯(lián)參考方向下電感元件電壓和電流相量的關系式感抗感納電感元件的相量模型如圖(b)，伏安相量關系的相量圖如圖(c)所示。

電容的模型和相量圖3.3.3電容元件伏安關系的相量形式

當u(t)=Umcos(

t+

u)時電容的電壓和電流是同頻率。其振幅或有效值以及相位間的關系為電容電壓電流關系為由上述推導，得在關聯(lián)參考方向下電容元件電壓和電流相量的關系式這個復數(shù)方程包含振幅間與幅角間的關系。電容元件的相量模型如圖(a)所示，其相量關系如圖(b)所示。(a)1j(b)或容抗容納解3.4基爾霍夫定律的相量形式

電路中全部電流都具有同一頻率ω，則可用振幅相量或有效值相量表示：3.4.1.基爾霍夫電流定律的相量形式

KCL:代入KCL中得:

相量形式的KCL定律：對于具有相同頻率的正弦電路中的任一節(jié)點，流出該節(jié)點的全部支路電流相量的代數(shù)和等于零。1流出節(jié)點的電流取”+”號，流入節(jié)點的電流取”-”號。2流出任一節(jié)點的全部支路電流振幅(或有效值)的代數(shù)和并不一定等于零。即,一般情況下:注意：解由KCL相量形式得

得例已知試求電流i(t)及其有效值相量。解：根據(jù)圖(a)電路的時域模型，得圖(b)所示的相量模型——將時域模型中各電流符號用相應的相量符號表示。ii1i2(a)iS(b)列圖(b)相量模型中節(jié)點1的KCL方程，由此可得則：相量圖如右圖所示，用來檢驗復數(shù)計算的結果是否基本正確。有效值相量íí2í1+1jKVL:相量形式的KVL定律：對于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一回路，沿該回路全部支路電壓相量的代數(shù)和等于零。相量形式為：3.4.2.

基爾霍夫電壓定律的相量表示

1與回路繞行方向相同的電壓取”+”號，相反的電壓取”-”號。2沿任一回路全部支路電壓振幅(或有效值)的代數(shù)和并不一定等于零，即一般來說注意例6

求uS(t)和相應的相量，并畫出相量圖。已知解：根據(jù)電路的時域模型，畫出右圖相量模型,并計算出電壓相量。+u1--u3++u2-+uS-+--++

-+

-圖(b)，以順時針為繞行方向，列出的相量形式KVL方程由相量得時間表達式各相量的關系如右圖j+1阻抗：可得歐姆定律的相量形式：一般無源二端網絡N0相量模型導納：顯然：N0+-3.5阻抗與導納RLC元件的阻抗

RLC元件電壓與電流相量間的關系類似歐姆定律，電壓與電流相量之比是一個與時間無關的量3.5.1阻抗：阻抗是復數(shù)，實部R稱為電阻分量，虛部X稱為電抗分量，

Z=

v-

i稱為阻抗角，阻抗的模

|Z|=U/I一般情況：RX|Z|

Z阻抗三角形：當X=XL-XC>0時，

Z>0，電壓超前于電流，電路呈感性，等效為R串聯(lián)電感；當X=XL-XC<0時，

Z<0，電流超前于電壓，電路呈容性，等效為R串聯(lián)電容；當X=XL-XC=0時，

Z=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，等效為R。G、C、L元件的導納如下G、C、L元件的導納是一個與時間無關的量，它是一個復數(shù)。3.5.2導納：實部G稱為電導分量，虛部B稱為電納分量，導納角

Y=

i-

u=-

Z。GB|Y|

Y導納三角形：當B>0時，

Y>0，端口電流超前電壓，網絡呈容性，電納元件可等效為一個電容；當B<0時，

Y<0，端口電壓超前電流，網絡呈感性，電納元件可等效為一個電感；當B=0時，

Y=0，端口電壓與電流同相，網絡呈電阻性，可等效為一個電阻。無源網絡相量模型有兩種等效電路，一種是根據(jù)阻抗Z=R+jX得到的電阻R與電抗jX串聯(lián)電路，如圖(c)；另一種是根據(jù)導納Y=G+jB得到的電導G與電納jB的并聯(lián)，如圖(e)。且，一般情況下均為

的函數(shù)；阻抗角或導納角在一、四象限內。由于在一般情況下，注意：1.阻抗的串聯(lián)在正弦交流穩(wěn)態(tài)電路中，若有n個阻抗串聯(lián)，則總電壓為等效阻抗為3.5.3阻抗與導納的串并聯(lián)電流與端口電壓相量的關系為第k個阻抗上的電壓與端口電壓相量的關系為稱為n個阻抗串聯(lián)時的分壓公式。2阻抗的并聯(lián)（補充）

兩阻抗的并聯(lián)及等效

兩阻抗并聯(lián)時的分流公式為

電壓三角形如下：感性XL>XC容性XL<XC

Z

Z3RLC串聯(lián)電路的電壓關系（補充）4導納并聯(lián)n個導納并聯(lián)組成的單口網絡，就端口特性來說，等效于一個導納，其等效導納值等于各并聯(lián)導納之和，即電壓與其端口電流相量的關系為第k個導納中的電流與端口電流相量的關系為這是導納并聯(lián)時的分流公式。電流三角形如下：容性BC>BL感性BC<BL

Y

Y5GCL并聯(lián)電路的電流關系(補充)例9

u(t)=10cos2tV。試求i(t),uR(t),uL(t),uC(t)。解：相量模型如圖(b)所示。等效阻抗相量電流RLC元件上的電壓相量時間表達式

各電壓電流的相量圖如圖(c)所示。端口電壓u(t)的相位超前于端口電流相位i(t)45°，該RLC串聯(lián)網絡的端口特性等效于一個電阻與電感的串聯(lián)，即具有電感性。例10

求圖(a)電路在

=1rad/s和

=2rad/s時的等效阻抗和等效電路。解：1）

=1rad/s時的相量模型如圖(b)所示，等效阻抗.L=1HR=1

C=0.5Fab(a)等效電路如圖(c)所示2）

=2rad/s時的相量模型如圖(d)所示，求得等效阻抗為等效電路如圖(e)，相應的時域等效電路為一個0.5Ω的電阻與1/3F電容的串聯(lián)。例11

試求圖（a)所示電路的等效阻抗和相應的等效電路。解：相量模型如圖(b)。設在端口加電流源，用相量形式KVL方程求電壓相量等效阻抗為其等效電路如圖(c)所示。3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法相量形式的基爾霍夫定律和歐姆定律與電阻電路中同一定律的形式完全相同，其差別僅在于電壓電流用相應的相量替換，電阻和電導用阻抗和導納替換。因此，分析電阻電路的方法完全可以用到正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中來。如：等效變換，各種一般分析法和網絡定理等。

一畫電路的相量模型相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)的主要步驟：

1，將時域模型中各正弦量用相應的相量表示在電路圖上。

2，時域模型中RLC元件的參數(shù)，用相應的阻抗(或導納)表示。二、利用分析電阻電路的方法對相量模型進行分析，求解響應的相量表達式。三由所求響應相量得所求正弦量。解：作圖（a）電路的相量模型如圖(b)所示，對圖(b)由KCL和KVL得

例13

試求電流i1(t)。已知：解：1)畫相量模型如圖(b)所示，其中列圖(b)相量模型的KCL和KVL方程利用消元法解得：3）時域表達式2）法1：支路分析設網孔電流如圖(b)所示列出網孔電流方程利用消元法解得2）法2：網孔分析時域表達式：用導納參數(shù)的相量模型如圖所示，其中參考節(jié)點如圖，直接列出節(jié)點電壓方程:解得2）法3：節(jié)點分析兩個獨立電源單獨作用的電路如下圖2）法4：疊加定理有圖(b)得單獨作用時分響應為：有圖(c)得單獨作用時分響應為：（b）（c）根據(jù)疊加定理得兩個獨立電源共同作用下電路電路響應先求連接電感的網絡的戴維南等效電路2）法5：戴維南定理(1)斷開電感支路得圖(c)電路，求端口開路電壓

（c）得圖(e)電路，求電流(2)將圖(c)電路中獨立電源置零，得圖(d)電路，求單口網絡的輸出阻抗

（d）（e）3.7正弦交流電路的功率

本節(jié)討論正弦穩(wěn)態(tài)單口電路的瞬時功率、平均功率(有功功率)、無功功率、視在功率、復功率和功率因數(shù)。端口電壓和電流采用關聯(lián)參考方向，它吸收的功率為正弦穩(wěn)態(tài)時，端口電壓和電流是相同頻率的正弦量，即瞬時功率瞬時功率為

Z=

u-

i是電壓與電流的相位差。瞬時功率由一個恒定分量和一個頻率為2ω的正弦分量組成，周期性變化，當p(t)>0時，該網絡吸收功率；當p(t)<0時，該網絡發(fā)出功率。瞬時功率的波形如圖所示。

ZUIcos

Z3.7.1平均功率及功率因數(shù)

平均功率不僅取決于電壓電流有效值乘積UI，還與阻抗角

=

u-

I有關。功率因數(shù):幾種不同情況下電路的平均功率。1、電路等效阻抗為一個電阻。此時電路電壓與電流相位相同，即

=0,cos

=1，此時平均功率：

2、電路等效阻抗為一個電抗。此時單口網絡電壓與電流相位為正交關系，即

Z=

u-

i

=

90

,(+電感－電容)顯然，平均功率為3、任意二端電路的情況電阻分量消耗的平均功率，就是單口網絡吸收的平均功率。設二端電路3.7.2、無功功率和視在功率1、無功功率無功功率反映電源(或外電路)和單口網絡內儲能元件之間的能量交換情況，單位為乏(var)(無功伏安：voltamperreactive)2、視在功率表示一個電氣設備的容量，是單口網絡所吸收平均功率的最大值，單位：伏安(VA)。例如我們說某個發(fā)電機的容量為100kVA，而不說其容量為100kW功率因素補充：復功率

為了便于用相量來計算平均功率，引入復功率。工作于正弦穩(wěn)態(tài)的電路，其電壓電流采用關聯(lián)的參考方向，設單位：VAN功率三角形

ZPQS阻抗三角形，導納三角形，電壓三角形，電流三角形和功率三角形都是相似三角形。例14

電路相量模型如圖，端口電壓的有效值U=100V.試求該電路的P、Q、、S、λ。解:設端口電壓相量為：16

j16

-j14

+-電路的等效阻抗：因此故：所以[例3-15]求P、Q、S。已知關聯(lián)參考方向下無源二端網絡的端口電壓u(t)和i(t)分別為:(1)u(t)=10cos(100t+70?)，i(t)=2cos(100t+40?)；解：（1）端口電壓有效值、電流有效值及阻抗角分別為U=5V，I=A，?Z=φu–φi

=70-40=30?因此，P=UIcos?Z=10cos30?=8.66WQ=UIsin?Z=10sin30?=5varS=UI=10VA無功功率Q>0，該二端網絡呈感性。（2）u(t)=20cos(50t+20?)，i(t)=2cos(50t+50?)。解：（2）端口電壓有效值、電流有效值及阻抗角分別為U=10V，I=A，?Z=φu–φi

=20-50=-30?因此，P=UIcos?Z=20cos(-30?)=17.32WQ=UIsin?Z=20sin(-30?)=-10varS=UI=20VA無功功率無功功率Q<0，該二端網絡呈容性。3.8諧振電路含有電感、電容和電阻元件的單口網絡，在某些工作頻率上，出現(xiàn)端口電壓和電流相位相同的情況時，稱電路發(fā)生諧振。能發(fā)生諧振的電路，稱為諧振電路。

諧振電路是電路分析和通信技術中的基本電路，人們利用諧振現(xiàn)象做成了各種功能電路，用來選擇信號和處理信號。最常用的諧振電路是串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振電路。3.8.1串聯(lián)諧振

RLC串聯(lián)電路

圖(a)表示RLC串聯(lián)諧振電路，圖(b)是相量模型，由此求出其輸出阻抗為RLC串聯(lián)諧振條件與諧振特性當時，

Z=0,Z(j

)=R,電壓u(t)與電流i(t)相位相同，電路發(fā)生諧振。即，RLC串聯(lián)電路的諧振條件為ω0稱為固有諧振角頻率，簡稱諧振角頻率，它由元件參數(shù)L和C確定。1諧振條件當電路激勵信號的頻率與諧振頻率相同時，電路發(fā)生諧振。用頻率表示的諧振條件為RLC串聯(lián)電路在諧振時的感抗和容抗在量值上相等RLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振時，阻抗的電抗分量導致即阻抗呈現(xiàn)純電阻，達到最小值。電路諧振電流為2諧振時的特點電流有效值達到最大值，且電流與電壓源電壓同相。此時電阻、電感和電容上的電壓分別為其中稱為串聯(lián)諧振電路的品質因數(shù)。電路諧振時的相量圖如圖