第一章預備知識

第三節(jié)不等式

3.1不等式（解析版）

一.選擇題（共13小題）

1.己知a,b,c為實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若〃c>bc>0,貝!JB.若a>b>0,則。c〉Z?c

C.若〃02>反2,貝UD.若a>b,則4c

答案：c

【解析】解：由題意，可知：

對于A：可設〃=-5,b=-4,c=-3,很明顯滿足4c>bc>0,但故選項A不正確;

對于8：因為不知道。的正負情況，所以不能直接得出就>反，故選項3不正確；

對于C:因為idA。一，所以（?2>0,所以〃>0,故選項C正確；

對于。：若。=0,貝I」不能得至1」〃。2>衣2,故選項。不正確.

故選：C.

2.已知a>b,則下列不等式成立的是（）

A.a2>b2B.

ab

C.ac2>bc2D.總_>耳（cWO）

c2c2

答案：D

【解析】解：A當〃=-2,》=3時，〃2=4,02=9,42Vb2,所以A錯誤.

B當a=3,。=2時，—<C—,所以3錯誤.

ab

C當c=0時ac2=bc2,所以C錯誤.

D因為J〉。，3.〉小一，所以。正確.

c2c2

故選：D.

3.下列命題正確的是（）

A.若包>k,則B.若〃2>廬，則〃

CC

C.若」_〉」」，貝D.若心<~瓜,貝

2,2

ab

答案：D

【解析】解：A.<0時，由且〉上，可得因此不準確；

CC

B.由〃2>廬，可得或aVb,因此不正確；

C」->」」，可得〃2V廬，可得〃或"V。，因此不正確；

212

ab

D/<?利用不等式的基本性質(zhì)即可得出：a<b,因此正確.

故選：D.

4.下列結(jié)論不正確的是（）

A.若a>b,c>0,則〃c>Z?cB.若a>b,c>0,則￡_〉二

ab

C.若a>b,則〃+c>Z?+cD.若a>b,貝!J〃-c>b-c

答案：B

【解析】解：A.a>b,c>0,則”c>Z?c

B.若a>。，c>0,則q與q的大小關系不確定，因此不正確.

ab

C.a>b,則〃+c>Z?+c,正確；

D.a>b,貝!Ja--c,正確.

故選：B.

5.若a>b>c,ac<0,則下列不等式一定成立的是（）

A.ab>0B.bc<0C.ab>acD.b（〃-c）>0

答案：C

【解析】解：u：a>b>c,ac<0,

???取a=l,b=0,c=-1代入，排除A、B、D,

故選：C.

6.已知a,b,mGR,則下列說法正確的是（）

A.若〃>。，則B.若a〈b,貝!J〃m2〈加：2

C.若工<工，則a>6D.若/>/,貝Ija>6

ab

答案：D

【解析】解：A.a>b得不出加，比如，a=4,。=-2時；

B.m=0時，a<b得不出am2<bm2；

得不出a>b,比如，a=-2,0=4；

ab

D.?.?y=r3是增函數(shù)，得出〃>瓦

故選：D.

7.已知〃，b,c>0,則互，￡,包的值（）

abc

A.都大于1B,都小于1

C.至多有一個不小于1D.至少有一個不小于1

答案：D

【解析】解：令a=b=c,則互益算=1，排除A,B.

abc

令a=l,b=2,c=4,則旦=2=2,且排除C.

abc4

對于。，假設立<1,—<C1,—<C1>則b<a,c<b,a<c,

abc

相加得a+6+c<a+b+c,矛盾，

故選：D.

8.若M=2/-3a+5,N=a2-a+4,則M與N的大小關系為（）

A.M沁B.M>NC.M<ND.MWN

答案：A

【解析】解：M-N=2a2-3a+5-（a1-a+4）=（T-2a+l=（a-1）2^0；

故選：A.

9.某學習小組，調(diào)查鮮花市場價格得知，購買2只玫瑰與1只康乃馨所需費用之和大于8元，而購買4只

玫瑰與5只康乃馨所需費用之和小于22元.設購買2只玫瑰花所需費用為A元，購買3只康乃馨所需費

用為2元，則A,2的大小關系是（）

A.A>BB.A<B

C.D.A,B的大小關系不確定

答案：A

f2x+y>8

【解析】解：由題意得|，2x=A,3y—B,

4x+5y<C22

整理得X=a,y=L,

23

,A+f>8

2A卷〈22

將A+殳>8乘以-2與2A+&<22相加，解得B<6,

33

將8<6代入A>8-旦中，解得A>6,

3

故A>2,

故選：A.

10.生活中有這樣一個實際問題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜.若b

>a>0,n￡R*,則下列數(shù)學模型中最能刻畫“糖水變得更甜”的是（）

A.a+n>b+nB.a~*'n->—C.a+n<b+nD.a~*~—<—

b+nbb+nb

答案：B

【解析】解：若6>a>0,“CR*,設糖的量為m糖水的量設為6,添加糖的量為w,

選項A,C不能說明糖水變得更甜，

糖水甜可用濃度體現(xiàn)，而空口>旦，能體現(xiàn)糖水變甜；

b+nb

選項。等價于。v〃，不成立，

故選：B.

二.填空題（共3小題）

11.如果給出下列不等式：（1）—<-5-；②/>序；③@2ac2>2bc2；（5）-3.>1；（6）?2+/?2+1

>ab+a+b.

其中一定成立的不等式的序號是一②⑥.

【解析】解：,不一定成立，例如取〃=2,b=-1；

ab

②利用函數(shù)y=/在R上單調(diào)遞增，可知：〃3>及，正確；

③不一定成立，例如4=1,b=-2；

21

（4）2ac>2bcf不一定成立，例如取c=0時；

?—>b不一定成立，例如取〃=2,b=-1；

b

@a2+fe2+l>ab+a+b化為：(a-1)2+(Z?-1)2>(a-1)(/?-1).[a-1-^-(b-1)]2+2缶一1)2〉

0,時，a>l,...左邊恒大于0,成立.

其中一定成立的不等式的序號是②⑥.

故答案為：②⑥

12.對于實數(shù)a、b、c,有下列命題①若a>6,貝!Jac<bc；②若ac?〉/?。?，則。>6；③若a<6<0,則/

>ab>b2；④若c>a>b>0,則—―—；⑤若a>b,—,則a>0,b<0.其中正確的是

c-ac-bab

②③④⑤.

【解析】解：當c=0時，若a>b,則ac=A,故①為假命題；

若acbbc1,則c#0,c2>0,故a>b,故②為真命題；

若a<6<0,則且">廿，即。2>詔>/,故③為真命題；

若c>a>b>0,則￡<￡,則匕包<￡二｝，則3>_L,故④為真命題；

ababc-ac-b

若a>b,L>L,即去一故a?Z?<0,則a>0,b<0,故⑤為真命題；

ababab

故答案為：②③④⑤

13.已知-則a-6的取值范圍是(-2,0)

【解析】解：V-l<a<l,-Kb<l

：.-1<-b<\,

-1-l<a-b<l+l

：.-2<a-b<2,又a〈b,：.a-b<0

故答案為：(-2,0)

三.解答題(共7小題)

14.已知aCR且aWl,試比較_X_與1+°的大小.

l-a

12

【解析】解：???，-（1+4）=W_.可得

l-a1-a

①當〃=0時,―--=1+&；

l-a

②當。＞1時，——＜0，

l-al-a

21

③當〃V1且4/0時，＞0，???二一〉l+a?

1-a1-a

綜上可知：當〃=0時，1=1+&;

1-a

當〃>1時，

1-a

當〃V1且。W0時,——〉］_+&.

l-a

15.已知〃，Z?為正數(shù)，且aWb,比較〃?+/與/匕+次^的大小.

【解析】解：：（浸+/）-（"2。+4必）=/+/一“2。一

=a2（〃-/?）-b2（q-b）

=（a-b）（/-房）

=（〃-6）2（4+。）；

9：a>0,。>0且”》；

/.（〃-。）2>0,a+b>0；

（a-b）2（”+。）>0；

即（?3+Z?3）-（"2。+〃//）>0；

/./+/>c^b+ab2.

16.(1)已知〃>b>0,cVO求證：￡>￡.

ab

(2)比較(〃+3)(〃-5)與(a+2)(Q-4)的大小.

【解析】證明：(1)〈a〉。〉。，

.*..L>.L>o,

ba

再由(?<o,可得￡>>￡.

ab

故要證的不等式成立；

解：(2)(。+3)(〃-5)-(〃+2)(?-4)

=“2-2〃-15-(。2-2〃-8)

=-7<0,

(。+3)(〃-5)<(。+2)(〃一4).

17.比較大小

(1)已知x>5,比較4+5%與5f+x的大小.

(2)比較工3-和1的大小.

【解析】解：⑴Vx>5

322

/.X+5X-(5x-x)=%3+4%-5^2=%(x-5%+4)=x[x(x-5)+4)]>0

/.X3+5X>5X2+X.