第二節

等差數列及其前n項和總綱目錄教材研讀1.等差數列的有關概念考點突破2.等差數列的有關公式3.等差數列的常用性質考點二等差數列的判斷與證明考點一等差數列的基本運算考點三等差數列的性質及最值教材研讀1.等差數列的有關概念(1)定義:如果一個數列從①

第2項

起,每一項與它的前一項的②

差

都等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列.符號表示為③

an

+1-an=d

(n∈N*,d為常數).(2)等差中項:數列a,A,b成等差數列的充要條件是④

A=

,其中A

叫做a,b的⑤

等差中項

.2.等差數列的有關公式(1)通項公式:an=⑥

a1+(n-1)d

.(2)前n項和公式:Sn=⑦

na1+

d

=⑧

.3.等差數列的常用性質(1)通項公式的推廣:an=am+⑨

(n-m)d

(n,m∈N*).(2)若{an}為等差數列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則⑩

ak+al=am+an

.(3)若{an}是等差數列,公差為d,則{a2n}也是等差數列,公差為

2d

.(4)若{an},{bn}(項數相同)是等差數列,則{pan+qbn}(p,q∈R)也是等差數

列.(5)若{an}是等差數列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為

md

的等差數列.1.(2017北京房山一模,2)已知{an}為等差數列,Sn為其前n項和,若a1=2,S3=

15,則a6=

()A.17

B.14

C.13

D.3A答案

A∵S3=

=3a2=15,∴a2=5,又∵a1=2,∴d=3,∴a6=a1+5d=17,故選A.2.已知等差數列{an}前9項的和為27,a10=8,則a100=

()A.100

B.99

C.98

D.97C答案

C

設{an}的公差為d,由等差數列前n項和公式及通項公式,得

解得

an=a1+(n-1)d=n-2,∴a100=100-2=98.故選C.3.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若a3+a9=4,則S11等于

(

)A.12

B.18

C.22

D.44C答案

C∵a3+a9=2a6=4,∴a6=2,則S11=11a6=22,故選C.4.數列{an}為等差數列,滿足a2+a4+…+a20=10,則數列{an}的前21項和等

于

()A.

B.21

C.42

D.84B答案

B∵a2+a4+…+a20=10,∴

=10,即a2+a20=2.∴S21=

=

=21,故選B.5.(2016北京,12,5分)已知{an}為等差數列,Sn為其前n項和.若a1=6,a3+a5=

0,則S6=

6

.答案6解析設等差數列{an}的公差為d,∵a1=6,a3+a5=0,∴6+2d+6+4d=0,∴d=-2,∴S6=6×6+

×(-2)=6.6.(2017北京東城一模,11)已知{an}為等差數列,Sn為其前n項和.若S3=12,a2+a4=4,則S6=

6

.答案6解析由題意知

?

∴S6=6×6+

×(-2)=6.考點一等差數列的基本運算考點突破典例1(1)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公

差為

()A.1

B.2

C.4

D.8(2)等差數列{an}中,am=

,ak=

(m≠k),則該數列前mk項之和為

()A.

-1

B.

C.

D.

+1答案(1)C(2)C解析(1)等差數列{an}中,S6=

=48,則a1+a6=16=a2+a5,又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4,故選C.(2)設等差數列{an}的公差為d,由等差數列的性質及已知條件得d=

=

=

.∵a1+(m-1)d=am,∴a1=

-(m-1)

=

.∴amk=

+(mk-1)

=1,∴該數列前mk項之和Smk=

·mk=

.方法技巧解決等差數列運算問題的思想方法(1)方程思想:等差數列的基本量為首項a1和公差d,通常利用已知條件及

通項公式或前n項和公式列方程(組)求解.(2)整體思想:當所給條件只有一個時,可將已知和所求都用a1,d表示,尋

求兩者間的聯系,整體代換即可求解.(3)利用性質:運用等差數列性質可以化繁為簡、優化解題過程.1-1

(2018北京海淀高三期末,10)已知公差為1的等差數列{an}中,a1,a2,a4成等比數列,則{an}的前100項的和為

5050

.答案5050解析∵a1,a2,a4成等比數列,∴

=a1·a4,即(a1+1)2=a1·(a1+3),解得a1=1,∴S100=100×1+

×1=5050.1-2

(2017北京朝陽一模,11)已知{an}為等差數列,Sn為其前n項和.若S6=

51,a1+a9=26,則數列{an}的公差d=

3

,通項公式為an=

3n-2

.答案3;3n-2解析由題意知

∴

∴an=1+3(n-1)=3n-2.典例2已知數列{an}的前n項和Sn=

(n=1,2,3,…).(1)求a1的值;(2)求證:(n-2)an+1=(n-1)an-1(n≥2);(3)判斷數列{an}是否為等差數列,并說明理由.考點二等差數列的判斷與證明解析(1)由題意知S1=

,即a1=

,解得a1=1.(2)證明:因為Sn=

(n=1,2,3,…),所以Sn-1=

(n≥2).因為an=Sn-Sn-1(n≥2),所以an=

(n≥2),即(n-2)an+1=(n-1)an-1(n≥2).(3)數列{an}是等差數列.理由如下:由題意知Sn-2=

(n≥3),所以an-1=Sn-1-Sn-2=

(n≥3).結合(2)可得an-an-1=

(n≥3),即(n-2)an-2(n-2)an-1+(n-2)an-2=0(n≥3).因為n≥3,所以an-2an-1+an-2=0(n≥3),即an-an-1=an-1-an-2(n≥3),所以數列{an}是以1為首項,a2-1為公差的等差數列.方法技巧1.等差數列的識別依據(1)若數列{an}是等差數列,則數列{λan+b}仍為等差數列,公差為λd.(2)若{bn},{an}(項數相同)都是等差數列,則{an±bn}仍為等差數列.(3)an=pn+q(p,q為常數)?{an}是等差數列.(4)數列{an}的前n項和Sn=An2+Bn(A,B為常數)?{an}是等差數列.2.證明等差數列的兩種基本方法(1)定義法:證明an-an-1=d(n≥2,d為常數).(2)等差中項法:證明2an=an-1+an+1(n≥2).2-1在數列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).(1)證明:數列

是等差數列;(2)求數列{an}的通項公式.解析(1)證明:∵3anan-1+an-an-1=0(n≥2),∴3anan-1=an-1-an,∴

=3,∴

-

=3(n≥2),又

=1,∴數列

是以1為首項,3為公差的等差數列.(2)由(1)可得

=1+3(n-1)=3n-2,∴an=

(n∈N*).典例3(1)在等差數列{an}中,a1=29,S10=S20,則數列{an}的前n項和中最大

的為

()A.S15

B.S16

C.S15和S16

D.S17(2)設等差數列{an}的前n項和為Sn,已知前6項和為36,最后6項的和為18

0,Sn=324(n>6),則n=

.(3)等差數列{an}的前m項和為30,前3m項和為90,則它的前2m項和為

.考點三等差數列的性質及最值解析(1)∵S10=S20,∴10a1+

d=20a1+

d,又a1=29,∴d=-2,∴Sn=29n+

×(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.∴當n=15時,Sn取得最大值.(2)由題意知a1+a2+…+a6=36,

①an+an-1+an-2+…+an-5=180,

②①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,∴a1+an=36,又Sn=

=324,∴18n=324,∴n=18.(3)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數列,可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,即S2m=

=

=60.答案(1)A(2)18(3)60方法技巧1.等差數列和的性質(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).(2)S2n-1=(2n-1)an.(3)當項數為偶數2n時,S偶-S奇=nd;項數為奇數2n-1時,S奇-S偶=an,S奇∶S偶

=n∶(n-1).2.求等差數列前n項和Sn最值的兩種方法(1)函數法:等差數列前n項和Sn=An2+Bn,通過配方,借助求二次函數最值

的方法求解.(2)鄰項變號法:①a1>0,d<0時,滿足

的項數m使得Sn取得最大值Sm;②當a1<0,d>0時,滿足

的項數m使得Sn取得最小值Sm.3-1設Sn是等差數列{an}的前n項和,若

=

,則

=

()A.1