內蒙古自治區赤峰市元寶山區第二中學高三數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，則球O的表面積為（）A． B． C．3π D．12π參考答案：C【考點】球的體積和表面積．【分析】根據題意，三棱錐S﹣ABC擴展為正方體，正方體的外接球的球心就是正方體體對角線的中點，求出正方體的對角線的長度，即可求解球的半徑，從而可求三棱錐S﹣ABC的外接球的表面積．【解答】解：三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱錐擴展為正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的對角線的長度，∴球的半徑R==．球的表面積為：4πR2=4=3π．故選：C．2.讀程序框圖，若輸入x=1，則輸出的S=（） A．0 B． 1 C． 2 D． ﹣1參考答案：C3.在等比數列中，，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A4.若集合A={x∈N|5+4x﹣x2＞0}，B={x|x＜3}，則A∩B等于（）A．? B．{1，2} C．[0，3） D．{0，1，2}參考答案：D【考點】交集及其運算．【分析】求出A中不等式解集的自然數解確定出A，找出A與B的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x﹣5）（x+1）＜0，x∈N，解得：﹣1＜x＜5，x∈N，即A={0，1，2，3，4}，∵B={x|x＜3}，∴A∩B={0，1，2}，故選：D．5.函數的圖像大致為(

)參考答案：D6.下列函數中，圖象關于坐標原點對稱的是（A）（B）

（C）

（D）參考答案：D略7.假設你家訂了一份牛奶，奶哥在早上6：00---7：00之間隨機地把牛奶送到你家，而你在早上6：30---7：30之間隨機地離家上學，則你在離開家前能收到牛奶的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：由題意得所求概率測度為面積，已知，求使得的概率，即為考點：幾何概型概率【方法點睛】(1)當試驗的結果構成的區域為長度、面積、體積等時，應考慮使用幾何概型求解．(2)利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區域和事件發生的區域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區域．（3）幾何概型有兩個特點：一是無限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據的區域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率．8.已知函數，則不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C9.已知雙曲線的右焦點F，直線與其漸近線交于A，B兩點，且為鈍角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是(

)A.（）

B.（1，）

C.（）

D.（1，）參考答案：D10.設集合若，則的值為（）

A.0

B.1

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義域為的偶函數滿足對，有，且當時，，若函數在上至多有三個零點，則的取值范圍是

．參考答案：12.關于平面向量，有下列三個命題：①若，則.②若，，，則k＝－3.③非零向量和滿足，則與的夾角為60°.其中真命題的序號為

．(寫出所有真命題的序號)參考答案：略13.已知是坐標原點，點.若點為平面區域上的一個動點，則的取值范圍是__________.參考答案：[0,2]略14.設函數是奇函數的充要條件是a=

．參考答案：115.已知數列為等差數列，若，，則

.參考答案：4516.在△ABC中，邊AC=1，AB=2，角，過A作AP⊥BC于P，且，則λμ=

．參考答案：考點：向量的線性運算性質及幾何意義．專題：計算題；平面向量及應用．分析：建立坐標系，用坐標表示向量，求出點P的坐標，代入，求出λ、μ的值，即得結果．解答： 解：建立坐標系，如圖，；設點P（x，y），則=（x，y），∵=（2，0），||=1，∠CAB=，∴=（﹣，）；∴=﹣=（﹣，）；又∵⊥，∴﹣x+y=0①；與共線，∴（x﹣2）﹣（﹣y）=0②；由①②組成方程組，解得x=，y=，∴=（，）；又∵，∴（，）=λ（2，0）+μ（﹣，）=（2λ﹣μ，μ），即，解得，∴λμ=×=；故答案為：．點評：本題考查了平面向量的線性運算以及向量垂直和共線等問題，是綜合性題目．17.已知拋物線y2=8x的焦點恰好是橢圓+y2=1（a＞0）的右焦點，則橢圓方程為．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質；橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質．【分析】求得拋物線的焦點坐標，則c=2，a2=b2+c2=5，即可求得橢圓方程．【解答】解：拋物線y2=8x焦點在x軸上，焦點F（2，0），由F（2，0）為橢圓+y2=1（a＞0）的右焦點，即c=2，則a2=b2+c2=5，∴橢圓的標準方程為：，故答案為：【點評】本題考查拋物線的性質，橢圓的標準方程，考查轉化思想，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，、分別是、的中點，點在直線上，且滿足。（1）證明：；（2）若平面與平面所成的角為，試確定點的位置。

參考答案：（1）略。（2）點P在B1A1的延長線上，且|A1P|＝．（1）

證明：如圖，以AB，AC，AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A－xyz．則P（λ，0,1），N（，，0），M（0,1，），

（2分）從而＝（－λ，，－1），＝（0,1，），

（2分）＝（－λ)×0＋×1－1×＝0，所以PN⊥AM;

（3分）（2）平面ABC的一個法向量為n＝＝（0,0,1）．（1分）設平面PMN的一個法向量為m＝（x，y，z），由（1）得＝（λ，－1，）．

（2分）由

（1分）解得．

（1分）∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，∴|cos〈m，n〉|＝||＝＝，

（1分）解得λ＝－．

故點P在B1A1的延長線上，且|A1P|＝．

（2分）

略19.（13分）已知函數，其中a＞0．（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；（Ⅱ）若直線x﹣y﹣1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數a的值；（Ⅲ）設g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在區間上的最大值．（其中e為自然對數的底數）參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【專題】計算題；壓軸題；分類討論．【分析】（Ⅰ）先求導函數，直接讓導函數大于0求出增區間，導函數小于0求出減區間即可；（Ⅱ）直接利用切線的斜率即為切點處的導數值以及切點是直線與曲線的共同點聯立方程即可求實數a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的導函數，分情況討論出函數在區間上的單調性，進而求得其在區間上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）′因為函數，∴f′（x）==f′（x）＞0?0＜x＜2，f′（x）＜0?x＜0，x＞2，故函數在（0，2）上遞增，在（﹣∞，0）和（2，+∞）上遞減．（Ⅱ）設切點為（x，y），由切線斜率k=1=，?x3=﹣ax+2，①由x﹣y﹣1=x﹣﹣1=0?（x2﹣a）（x﹣1）=0?x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=﹣代入①得a=﹣1，∵a＞0．故所求實數a的值為1（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），∴g′（x）=lnx+1﹣a，且g′（1）=1﹣a，g′（e）=2﹣a．當a＜1時，g′（1）＞0，g′（e）＞0，故g（x）在區間上遞增，其最大值為g（e）=a+e（1﹣a）；當1＜a＜2時，g′（1）＜0，g′（e）＞0，故g（x）在區間上先減后增且g（1）=0，g（e）＞0．所以g（x）在區間上的最大值為g（e）=a+e（1﹣a）；當a＞2時，g′（1）＜0，g′（e）＜0，g（x）在區間上遞減，故最大值為g（1）=0．【點評】本題主要考查利用導數求閉區間上函數的最值以及利用導數研究函數的單調性，是高考的常考題型．20.已知橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．⑴求橢圓的方程．⑵設直線：與橢圓交于兩點，坐標原點到直線的距離為，且的面積為，求實數的值．參考答案：解：⑴設橢圓的半焦距為，依題意，得，，所求橢圓方程為．

……………5分⑵設，．由已知，得．……6分又由，消去得：，，．

……8分

又，化簡得：，解得：

。

………12分21.已知函數在處的切線與直線垂直，函數．（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）若函數存在單調遞減區間，求實數b的取值范圍；(3)設是函數的兩個極值點，若，求的最小值．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）(3)試題分析：（Ⅰ）由函數在處的切線斜率即為函數在處的導數，從而得出；（Ⅱ）函數存在單調遞減區間，則在上有解，從而得出b的取值范圍；(3)由，構造函數設由其單調性求出最小值.所以設，所以在單調遞減，，故所求的最小值是

…………12分考點：1.導數的應用；2.不等式；22.（本小題共13分）已知函數，.（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若在區間上是減函數，求的取值范圍.參考答案：解：（