湖南省長(zhǎng)沙市歷經(jīng)鋪鄉(xiāng)聯(lián)校高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2012的值是()A．20122

B．2010×2009

C．2012×2013

D．2011×2012參考答案：D2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B．1－i

C．2

D．1參考答案：A3.曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為 （

）A.

B. C.

D. 參考答案：B略4.若等比數(shù)列{an}的公比q＜0，前n項(xiàng)和為Sn，則S8a9與S9a8的大小關(guān)系是（）A．S8a9＞S9a8 B．S8a9＜S9a8 C．S8a9=S9a8 D．不確定參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．

【專題】常規(guī)題型．【分析】首先對(duì)S8?a9﹣S9?a8兩式作差，然后根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，對(duì)其整理變形，進(jìn)而判斷符號(hào)可得答案．【解答】解：S8?a9﹣S9?a8=?a1q8﹣?a1q7===﹣a12q7．又q＜0，則S8?a9﹣S9?a8＞0，即S8?a9＞S9?a8．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，同時(shí)考查作差法比較大小．5.若復(fù)數(shù)z滿足|z+3+i|=，則|z|的最大值為（）A．3+ B．+ C．+ D．3參考答案：B【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】由|z+3+i|=的幾何意義，即復(fù)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)Z到定點(diǎn)P（﹣3，﹣1）的距離為畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的幾何意義，復(fù)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)Z到定點(diǎn)P（﹣3，﹣1）的距離為，可作圖象如圖：∴|z|的最大值為|OP|+=．故選：B．6.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－，0)、F2(，0)，M是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足則該雙曲線的方程是()A．

B．

C. D.參考答案：A7.已知集合，，則A∩B=（

）A.(－1,0] B.[－1,2] C.[－2,1) D.[0,1)參考答案：D【分析】解出集合，利用交集的定義得出集合.【詳解】，因此，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，同時(shí)也考查了一元二次不等式的解法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知，則函數(shù)的最小值為（

）A.4

B.5

C.2

D.3參考答案：B9.表中提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)A產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)．根據(jù)下表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為=0.7x+0.35，那么表中t的值為（）x3456y2.5t44.5A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5參考答案：A【考點(diǎn)】回歸分析的初步應(yīng)用．【分析】先求出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，樣本中心點(diǎn)是用含有t的代數(shù)式表示的，把樣本中心點(diǎn)代入變形的線性回歸方程，得到關(guān)于t的一次方程，解方程，得到結(jié)果．【解答】解：∵由回歸方程知=，解得t=3，故選A．10.已知集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，設(shè)命題函數(shù)為減函數(shù)．命題當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立．如果“”為真命題，“”為假命題，則的取值范圍是________．參考答案：若命題函數(shù)為減函數(shù)為真，則；又命題當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒為真，則，則，因?yàn)闉檎婷}，為假命題，所以，中一真一假，若真假時(shí)，則，若假真時(shí)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是．參考答案：【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式求解．【解答】解：∵=，∴復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣1），與原點(diǎn)的距離是．故答案為：．13.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q（q≠1），則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=．參考答案：Sn=（q≠1）或Sn=q（q≠1）【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知：an=a1qn﹣1，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=（q≠1），或Sn=q（q≠1）．【解答】解：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知：an=a1qn﹣1，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可知：Sn=（q≠1），或Sn=q（q≠1），故答案為：Sn=（q≠1）或Sn=q（q≠1）．14.已知x＞0，y＞0，n＞0，4x+y=1，則+的最小值為．參考答案：16【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，4x+y=1，則+=（4x+y）=8+≥8+2=16，當(dāng)且僅當(dāng)y=4x=時(shí)取等號(hào)．其最小值為16．故答案為：16．15.設(shè)(是兩兩不等的常數(shù)),則的值是____________

參考答案：016.拋物線的準(zhǔn)線方程為

▲

．參考答案：17.為了解某校高二學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)分布，從該校參加聯(lián)科的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)中抽取一個(gè)樣本，并分成5組，繪成如圖所示的頻率分布直方圖，若第一組至第五組數(shù)據(jù)的頻率之比為，最后一組數(shù)據(jù)的頻率是6，則樣本容量為

；眾數(shù)為

參考答案：40,102.5三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知f（x）=logmx（m為常數(shù)，m＞0且m≠1），設(shè)f（a1），f（a2），…，f（an）（n∈N+）是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）若bn=anf（an），記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)m=時(shí)，求Sn；（3）若cn=anlgan，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得{cn}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】等比關(guān)系的確定；數(shù)列的函數(shù)特性；數(shù)列的求和．【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得f（x）的解析式，進(jìn)而求得an，進(jìn)而根據(jù)推斷出數(shù)列{an}是以m4為首項(xiàng)，m2為公比的等比數(shù)列（2）把（1）中的an代入bn=anf（an）求得bn，把m代入，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法求得Sn．（3）把a(bǔ)n代入cn，要使cn﹣1＜cn對(duì)一切n≥2成立，需nlgm＜（n+1）?m2?lgm對(duì)一切n≥2成立，進(jìn)而根據(jù)m的不同范圍求得答案．【解答】解：（1）由題意f（an）=4+2（n﹣1）=2n+2，即logman=2n+2，∴an=m2n+2∴∵m＞0且m≠1，∴m2為非零常數(shù)，∴數(shù)列{an}是以m4為首項(xiàng)，m2為公比的等比數(shù)列（2）由題意bn=anf（an）=m2n+2logmm2n+2=（2n+2）?m2n+2，當(dāng)∴Sn=2?23+3?24+4?25+…+（n+1）?2n+2①①式乘以2，得2Sn=2?24+3?25+4?26+…+n?2n+2+（n+1）?2n+3②②﹣①并整理，得Sn=﹣2?23﹣24﹣25﹣26﹣…﹣2n+2+（n+1）?2n+3=﹣23﹣[23+24+25+…+2n+2]+（n+1）?2n+3==﹣23+23（1﹣2n）+（n+1）?2n+3=2n+3?n（3）由題意cn=anlgan=（2n+2）?m2n+2lgm，要使cn﹣1＜cn對(duì)一切n≥2成立，即nlgm＜（n+1）?m2?lgm對(duì)一切n≥2成立，①當(dāng)m＞1時(shí)，n＜（n+1）m2對(duì)n≥2成立；②當(dāng)0＜m＜1時(shí)，n＞（n+1）m2∴對(duì)一切n≥2成立，只需，解得，考慮到0＜m＜1，∴0＜m＜．綜上，當(dāng)0＜m＜或m＞1時(shí)，數(shù)列{cn}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)19.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓C的方程．（2）直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C的右頂點(diǎn)．直線AM與直線BM分別與y軸交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N使得?若是，求出定點(diǎn)N坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．參考答案：（1）橢圓C的方程是；（2）線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)．試題分析：（1）由題意結(jié)合橢圓所過(guò)的點(diǎn)和橢圓的離心率可求得，.則橢圓的方程為.（2）設(shè)存在定點(diǎn)使得.聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得.設(shè),結(jié)合韋達(dá)定理有直線的方程為:,則,直線的方程為:,則.由向量垂直的充要條件有，據(jù)此求解關(guān)于n的方程可得.則存在定點(diǎn)使得.試題解析：（1）由題意可知,又,即,.解得,即.所以.所以橢圓的方程為.（2）設(shè)存在定點(diǎn)使得.由得.設(shè),則.因?yàn)?所以直線的方程為:,則,直線的方程為:,則.則有,,由得,整理得,故.所以存在定點(diǎn)使得.點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．20.已知二項(xiàng)式(N*)展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．參考答案：(Ⅰ)

……………2分(舍去)．

……………6分(Ⅱ)展開(kāi)式的第項(xiàng)是，

，

……………10分

故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是．

……………12分

略21.（本小題滿分12分）在三棱錐P－ABC中，△PAC和△PBC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，AB＝2，O是AB中點(diǎn)．(1)求三棱錐P－ABC的外接球的表面積；(2)求證：平面PAB⊥平面ABC；(3)求二面角P－BC－A的余弦值．參考答案：(1)OA=OB=OC=OP=1

外接球半徑r=1

表面積s=(2)連結(jié)OC、OP∵AC＝CB＝，O是AB中點(diǎn)，AB＝2，∴OC⊥AB，OC＝1.同理，PO⊥AB，PO＝1.又PC＝，∴PC2＝OC2＋PO2＝2，∴∠POC＝90°，∴PO⊥OC.∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC＝O，∴PO⊥平面ABC.∵PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面