內蒙古自治區呼和浩特市錦盛達中學高三數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數，若對任意的，關于x的方程總有兩個不同的實數根，則m的取值范圍為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】令，且，解得，根據且，結合圖象，即可求解．【詳解】由題意，函數，令，且，即，解得，又因為，且，所以要使得總有兩個不同實數根時，即函數與的圖象由兩個不同的交點，結合圖象，可得，所以實數m的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象與性質的綜合應用，其中解答中熟練應用三角函數的性質，結合圖象求解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．2.已知函數f（x）=（）x﹣cosx，則f（x）在[0，2π]上的零點個數（）A．.1B．.2C．.3D．.4參考答案：C【分析】函數f（x）=（）x﹣cosx的零點個數為（）x=cosx根的個數，即函數h（x）=（）x，g（x）=cosx的圖象的交點，畫出圖象，可得結論．【解答】解：函數f（x）=（）x﹣cosx的零點個數為（）x=cosx根的個數，即函數h（x）=（）x，g（x）=cosx的圖象的交點，畫出圖象，發現在區間[0，2π]上交點個數為3，故選C．【點評】本題考查函數的零點，考查數形結合的數學思想，正確構造函數是關鍵．3.已知，,則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.隨機擲兩枚質地均勻的骰子，它們向上的點數之和不超過5的概率記為p1，點數之和大于5的概率記為p2，點數之和為偶數的概率記為p3，則（）A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3 C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2參考答案：C【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】首先列表，然后根據表格點數之和不超過5，點數之和大于5，點數之和為偶數情況，再根據概率公式求解即可．【解答】解：列表得：（1，6）

（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）∴一共有36種等可能的結果，∴兩個骰子點數之和不超過5的有10種情況，點數之和大于5的有26種情況，點數之和為偶數的有18種情況，∴向上的點數之和不超過5的概率記為p1=，點數之和大于5的概率記為p2=，點數之和為偶數的概率記為p3=，∴p1＜p3＜p2故選：C．【點評】本題考查了樹狀圖法與列表法求概率．注意樹狀圖法與列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的結果．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．5.實數對(x，y)滿足不等式組，則目標函數當且僅當，時取最大值，設此時k的取值范圍為I，則函數在I上的值域是（

）A．(－1,2]

B．

C．[0,2]

D．參考答案：A不等式組所表示的區域如圖所示，直線z＝kx－y?y＝kx－z過(3,1)時z取最大值，即直線y＝kx－z在y軸上的截距－z最小，由圖可得直線y＝kx－z的斜率k∈=，在的值域為，故選：A.

6.設是第二象限角，為其終邊上的一點，且，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D由題意可得x＜0，r=|OP|=，故，由得x=-3，所以=.選D.

7.若實數x，y滿足，則z=的最小值為（）A．3 B． C． D．參考答案：D【考點】函數的最值及其幾何意義．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用z的幾何意義，即可得到結論．【解答】解：作出不等式組對應的平面區域，則z的幾何意義為區域內的點到原點距離，則由圖象可知，當圓心O到點A的離最小，由可得A（1，1），此時d==，故選：D8.如圖所示是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體外接球的表面積為（

）A．B．C．D．參考答案：C9.執行如圖所示的程序框圖，則輸出n的值是（）A.2 B.4 C.5 D.6參考答案：D【分析】根據題意，利用程序框圖循環結構計算求得n的值，可得答案.【詳解】初始值n=0，執行程序依次為:否；否；是，循環結束，輸出n=6故選D【點睛】本題主要考查了程序框圖的循環結構判斷求值，屬于基礎題.10.一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的表面積（單位：）為（

）．A． B． C． D．參考答案：A由三視圖可得，該幾何體為三棱錐，如圖所示，面面，，，取中點，中點，面，，，利用勾股定理得，．故選．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數則________.參考答案：0因為所以.試題立意：本小題主要考查分段函數；意在考查學生運算求解能力.12.觀察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此規律，第n個等式可為．參考答案：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…?（2n﹣1）【考點】歸納推理．

【專題】壓軸題；閱讀型．【分析】通過觀察給出的前三個等式的項數，開始值和結束值，即可歸納得到第n個等式．【解答】解：題目中給出的前三個等式的特點是第一個等式的左邊僅含一項，第二個等式的左邊含有兩項相乘，第三個等式的左邊含有三項相乘，由此歸納第n個等式的左邊含有n項相乘，由括號內數的特點歸納第n個等式的左邊應為：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每個等式的右邊都是2的幾次冪乘以從1開始幾個相鄰奇數乘積的形式，且2的指數與奇數的個數等于左邊的括號數，由此可知第n個等式的右邊為2n?1?3?5…（2n﹣1）．所以第n個等式可為（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…（2n﹣1）．故答案為（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…（2n﹣1）．【點評】本題考查了歸納推理，歸納推理是根據已有的事實，通過觀察、聯想、對比，再進行歸納，類比，然后提出猜想的推理，是基礎題．13.如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=BC=AB=DC=2，點E，F分別為線段AD，BC的三等分點，O為DC的中點，則=__________．參考答案：以O為坐標原點建立如圖所示平面直角坐標系，連接BO，易證得為等邊三角形，所以，則所以，所以14.設復數z=，則+?z+?z2+?z3+?z4+?z5+?z6+?z7=_________．參考答案：略15.下面有四個命題：①函數y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π．②函數f（x）=3sin（2x﹣）的圖象關于直線x=π對稱；③在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有三個公共點．④把函數y=3sin（2x+）的圖象向右平移得到y=3sin2x的圖象．其中真命題的序號是

．（寫出所有真命題的編號）參考答案：①②④【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】證明題；轉化思想；分析法；三角函數的圖像與性質．【分析】根據二倍角的余弦公式，平方差公式，同角三角形函數平方關系，化簡解析式，再由余弦函數的周期性，可以判斷①的真假；根據正弦函數的圖象和性質，可以判斷②③的真假；根據函數圖象的平移變換法則，可以判斷④的真假；進而得到答案．【解答】解：函數y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos?x）?（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x的最小正周期是π，故①正確；函數y=sin（2x﹣）圖象的對稱軸方程是x=，k∈Z，當k=1時，x=，故②正確；在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有一個公共點，故③錯誤；把函數y=3sin（2x+）的圖象向右平移得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin2x的圖象，故④正確．故答案為：①②④．【點評】本題考查的知識點是命題的真假判斷及其應用，余弦型函數的周期性，終邊相同的角，正弦函數的性質，圖象的平移變換，及三角函數的單調性，熟練掌握上述基礎知識，并判斷出題目中4個命題的真假，是解答本題的關鍵．16.已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為＿＿＿＿參考答案：由三視圖知，此幾何體是一個組合體，上面是球，其半徑為1，下面是半圓柱，底面半圓直徑為1，高為2．所以組合體的體積為．17.已知，那么

▲

；參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.三棱錐P﹣ABC，底面ABC為邊長為的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D為AP上一點，AD=2DP，O為底面三角形中心．（Ⅰ）求證DO∥面PBC；（Ⅱ）求證：BD⊥AC；（Ⅲ）設M為PC中點，求二面角M﹣BD﹣O的余弦值．參考答案：考點：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質；二面角的平面角及求法．專題：計算題；證明題；空間位置關系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）連接AO交BC于點E，連接PE，通過DO∥PE，利用直線與平面平行的判定定理，證明求證DO∥面PBC；（Ⅱ）通過證明AC⊥平面DOB，利用直線與平面垂直的性質定理證明BD⊥AC；（Ⅲ）設M為PC中點，以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出A、B、P、C、D、M的坐標，求出向量，，設出平面BDM的法向量為，利用，求出，利用求二面角M﹣BD﹣O的余弦值．解答： （本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）連接AO交BC于點E，連接PE．∵O為正三角形ABC的中心，∴AO=2OE，且E為BC中點．又AD=2DP，∴DO∥PE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵DO?平面PBC，PE?平面PBC∴DO∥面PBC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵PB=PC，且E為BC中點，∴PE⊥BC，又平面PBC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由（Ⅰ）知，DO∥PE，∴DO⊥平面PBC，∴DO⊥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣連接BO，則AC⊥BO，又DO∩BO=O，∴AC⊥平面DOB，∴AC⊥BD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA，EB，EP兩兩互相垂直，且E為BC中點，所以分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，則﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴設平面BDM的法向量為，則，令y=1，則．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由（Ⅱ）知AC⊥平面DBO，∴為平面DBO的法向量，∴，由圖可知，二面角M﹣BD﹣O的余弦值為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣點評：本題考查直線與平面的平行的判斷，在與平面垂直的性質定理的應用，二面角的求法，考查空間想象能力與計算能力，以及邏輯推理能力．19.已知數列，，，．（Ⅰ）求證：為等比數列，并求出通項公式；（Ⅱ）記數列的前項和為，且，求．參考答案：（1）令，可得；

再令，得是等比數列.（2）由，得時，，也適合，故略20.如圖是某小區2017年1月至2018年1月當月在售二手房均價（單位：萬元/平方米）的散點圖.（圖中月份代碼1—13分別對應2017年1月—2018年1月）根據散點圖選擇和兩個模型進行擬合，經過數據處理得到兩個回歸方程分別為和，并得到以下一些統計量的值：

殘差平方和0.0005910.000164總偏差平方和0.006050（1）請利用相關指數判斷哪個模型的擬合效果更好；（2）某位購房者擬于2018年6月份購買這個小區平方米的二手房（欲購房為其家庭首套房）.若購房時該小區所有住房的房產證均已滿2年但未滿5年，請你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問題：（i）估算該購房者應支付的購房金額.（購房金額=房款+稅費；房屋均價精確到0.001萬元/平方米）（ii）若該購房者擬用不超過100萬元的資金購買該小區一套二手房，試估算其可購買的最大面積.（精確到1平方米）附注：根據有關規定，二手房交易需要繳納若干項稅費，稅費是按房屋的計稅價格進行征收.（計稅價格=房款）征收方式見下表：契稅（買方繳納）首套面積90平方米以內（含90平方米）為1%；首套面積90平方米以上且144平方米以內（含144平方米）為1.5%；面積144平方米以上或非首套為3%增值稅（賣方繳納）房產證未滿2年或滿2年且面積在144平方米以上（不含144平方米）為5.6%；其他情況免征個人所得稅（賣方繳納）首套面積144平方米以內（含144平方米）為1%；面積144平方米以上或非首套均為1.5%；房產證滿5年且是家庭唯一住房的免征參考數據：，，，，，，，.參考公式：相關指數.參考答案：（1）【考查意圖】本小題以購房問題為背景，以散點圖、相關指數為載體，考查回歸分析等基礎知識，考查數據處理能力、推理論證能力、運算求解能力和應用意識，考查統計與概率思想等.【解法綜述】只要理解相關指數的意義便可通過簡單估算解決問題.【錯因分析】考生可能存在的錯誤有：不懂相關指數的意義導致判斷錯誤.【難度屬性】易.（2）（i）【考查意圖】本小題以估算購房金額為載體，考查回歸分析、函數等基礎知識，考查抽象概括能力、運算求解能力、應用意識，考查統計與概率思想、分類與整合思想、函數與方程思想等.考查學生在復雜的問題情境中獲取有用信息分析問題和解決問題的能力.【解法綜述】通過散點圖確定2018年6月對應的的取值，代入（1）中擬合效果更好的模型，并利用參考數據即可求出二手房均價的預測值，通過閱讀稅收征收方式對應的圖表信息，選擇有用的信息，進行合理分類建立正確的函數模型，便能順利求解.思路：由（1）的結論知，模型的擬合效果更好，通過散點圖確定2018年6月對應的的取值為18，代入并利用參考數據即可求出二手房均價的預測值，通過閱讀稅收征收方式對應的圖表信息，選擇有用的信息，進行合理分類建立正確的函數模型，便能順利求解.【錯因分析】考生可能存在的錯誤有：不能根據散點圖得到2018年6月對應的的取值為18，導致2018年6月當月在售二手房均價預測錯誤；不能從大量復雜的文字和圖表中